Approche

 

*        Un tache d'encre ou de peinture; je plie la feuille en deux et j'obtiens une image jumelle, un clone, une image symétrique par rapport à l'axe de pliure.

 

*        Une image sur une feuille; je punaise un coin et fait pivoter d'un demi-tour; j'obtiens une image tête en bas; en fait une symétrie par rapport au point où j'ai placé la punaise.

 

 

En 3D

*        Si vos deux mains étaient absolument semblables, l'une serait l'image de l'autre dans un miroir. Pourtant elles ne sont pas superposables. On dit qu'elles sont énantiomorphes.

*        Pour passer de l'une à l'autre, il faudrait les retourner comme un gant, impossible sinon en 4D!

 

Définition

 

*        Symétrie AXIALE ou symétrie ORTHOGONALE: La symétrie orthogonale dans le plan et d'axe la droite D, appelée aussi réflexion d'axe D, est l'application du plan qui à tout point M associe un point M' tel que D soit la médiatrice du segment [MM']; si M est un élément de D, alors M = M'.

 

*        Symétrie CENTRALE: La symétrie centrale dans le plan et de centre O est l'application du plan qui à tout point M associe un point M' tel que O soit le milieu du segment [MM'].

 

Voir Symétries - Débutant / Jeux de symétrie

 

 

Famille

*        La symétrie est une application affine bijective.

 

Application

 Bijection

 Transformation

 Isométrie

 Symétrie

 

*        Les symétries axiales et centrales sont des involutions (la symétrie appliquée deux fois de suite redonne l'image d'origine).

*        La symétrie centrale est un déplacement (angles orientés conservés).
La symétrie axiale est un antidéplacement (angles orientés sont opposés).

*        La symétrie centrale est équivalente à une rotation de centre O et d'un angle égal à  (demi-tour).

 

Invariants

 

La symétrie axiale ou centrale est bijective

*        Conservation des longueurs

les segments symétriques ont même longueur;

*        Conservation des angles

les angles symétriques ont même ouverture;

*        Conservation des aires

les figures symétriques ont même aire.

 

 

 

Propriétés

 

*        Toute isométrie du plan qui admet exactement une droite de points invariants est une symétrie axiale.

 

*        Toute isométrie du plan peut être décomposée en le produit d'au plus trois symétries axiales distinctes.

 

Composées

 

*        Composée de deux symétries centrales: la composée de la symétrie de centre A et de la symétrie de centre B est la translation de vecteur .

 

*        Composée de deux symétries axiales: la composée de deux symétries axiales par rapport aux droites D et D' est un déplacement

*  soit une translation si D est parallèle à D';

*  soit une rotation de centre O si D et D' sont sécantes en O.

 

Symétrie en physique

*        En physique les symétries caractérisent les répercussions sur l'espace et le temps des forces exercées par les particules.

*  La symétrie T: renversement du temps,

*  La symétrie P: parité

*  La symétrie C: conjugaison de charge

*        Selon le Modèle Standard de la physique des particules, la nature conserve la symétrie CPT.

*        Les lois ne changent pas lorsque toutes les particules d'une interaction sont remplacées par

*  leur antiparticule (C),

*  les trois directions de l'espace sont inversées (P), et

*   le temps est inversé (T).

*        La nature viole la symétrie CP (charge-parité), mais il n'y a pas de preuve expérimentale de violation de la symétrie CPT.

Symétrie en cristallographie

*        La cristallographie est le monde de la symétrie. Sept systèmes cristallins sont définis selon les axes de symétries des mailles des cristaux.

*        L'ordre 3, par exemple, signifie que l'on retrouve la même forme après une rotation de 360° / 3 ou que trois telles rotations ramène l'objet dans sa position initiale.

*        Un axe de symétrie passe par des points opposés qui peuvent être les sommets, les milieux des arêtes ou encore le centre des faces.

 

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Vocabulaire : AXE et CENTRE de SYMÉTRIE

 

 

 

Axe de symétrie

 

 

Une droite est  un axe de symétrie d'une figure si, après pliage le long de cette droite, les deux moitiés de la figure se superposent.

 

 

 

La figure ci-contre présente un axe de symétrie (pointillé bleu).

 

 

 

 

 

 

 

Les quatre axes de symétrie du carré.

 

 

Centre de symétrie

 

Une figure a un centre de symétrie si, lorsqu'on la fait tourner d'un demi-tour autour de ce point, elle ne varie pas.

 

La figure ci-contre présente un centre de symétrie (point marron).

 

 

Le centre du carré est un centre de symétrie.

C'est aussi le cas du point d'intersection des diagonales du rectangle.

 

 

Symétrie et Rotation

 

 

On prend souvent la lettre F pour visualiser les transformations.

 

Que devient la lettre F vue à travers des miroirs positionnés sur y et sur x?

 

 

 

1  2   Symétrie d'axe y

2  3   Symétrie d'axe x

3  4   Symétrie d'axe y

4  1   Symétrie d'axe x

 

1  3   Symétrie de centre O,

       ou Rotation 180° de centre O.

 

Note: dans un miroir vous vous voyez à l'envers (comme F2)

Avec deux miroirs à 90°: vous vous voyez tel que vous êtes, comme tous les autres vous voient.

 

 

L'ATLAS

 

 

Le recensement de toutes les symétries a été publié en 1985 sous le nom de Altlas of finite groups, souvent désigné simplement par l'Atlas.

Ses auteurs (notez qu'ils s'écrivent tous avec six lettres):

*    John Horton     Conway,

*    Robert Turner  Curtis,

*    Simon Phillips  Norton,

*    Richard Alan    Parker, et

*    Robert Arnott   Wilson

 

Ce document détaille les 93 groupes finis simples et autres (total 716) qui on été identifiés, principalement sous l'impulsion de Conway.

 

Sa forme électronique se trouve en

ATLAS of Finite Group Representations

It currently contains information (including 5215 representations)

on about 716 groups.

                         

 

 

 

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Anglais

 

*        Symmetrical about a line: a plane figure is symmetrical about a line L if, whenever P is a point of the figure, so too is P', where P' is the mirror-image of P in the line L.

 

The line L is called a line of symmetry.

The figure is said to have bilateral symmetry. 

 

*        Symmetrical about a point: a plane figure is symmetrical about a point O if, whenever P is a point of the figure, so too is P', where O is the midpoint of PP'.

 

The point O is called a centre of symmetry.

The figure is said to have half-turn symmetry about O.

 

En savoir plus

 

Voir suite en cliquant sur les mots de l'en-tête

 

*        38 en miroir

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*        Symétrie

*        SymétrieDébutant

*        Symétrie des polyèdres

*        Triangle et symétrie: notion de groupe

 

Sites

*        Transformations – Wikipédia

*        Jouons avec la symétrie – Introduction à la cristallographie

*        The symetry of crystals (voir chapitre 3) – Nombreux exemples en images et animations

Livre

*        La symétrie ou les maths au clair de lune – Marcus du Sautoy – Ed. Héloïse d'Ormesson – 2012 – 520 pages – 26 € – Abordable par tous.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosS/Symetrie.htm