NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 29/12/2013

Débutants

Géométrie

GÉOMÉTRIE   OBJETS 3D

Glossaire Géométrie

 

CÔNE de RÉVOLUTION

 

 

Présentation

Calculs

Équations

 

 

 

 

Présentation de cette page

 

Sommaire de cette page

 

Le cône, une pyramide à base circulaire

 

>>> APPROCHE

>>> CÔNE en général

>>> MESURES

>>> SECTION du cône

>>> ANGLAIS

 

    Cônes en biologie: cellule visuelle de la rétine, déterminant la perception des formes et des couleurs. Mnémotechnique: COCO pour COnes COuleurs; les bâtonnets, eux, sont sensibles à la lumière mais pas à la couleur.

    Cônes en zoologie: gastropode marin carnassier et venimeux.

 

 

 

 


 

 

Approche

*  Un cône est formé par une droite mobile passant par un point fixe en s'appuyant sur une courbe donnée.

 

*  Dans le cas du cône usuel :

*    La courbe est un cercle,

*    L'axe du cône passe par le centre du cercle et, il est perpendiculaire au plan contenant ce cercle.

C'est un cône de révolution
(ou circulaire droit).

 

 

*  Un cône de révolution est un solide composé d’un disque de base, d’un sommet appartenant à la perpendiculaire au disque de base passant par le centre de ce disque et d’une seule face latérale, non plane.

 

*  Un cône de révolution est un solide que l'on peut créer en faisant pivoter un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit.

 

*      La base du cône de révolution (sa directrice) est un disque.

*      Le sommet du triangle autour duquel il pivote pour former le cône est le sommet du cône.

*      Le segment portant l'axe de rotation est la hauteur.

*      L'hypoténuse du triangle rectangle, ou apothème du cône, engendre (développe) une surface dite surface latérale du cône (ou développement du cône).

*    La surface latérale peut être déroulée dans un plan. On obtient alors un secteur circulaire.

 

NB Le disque est la surface délimitée par un cercle

 

 

 

Cône en général

 

*  Une courbe dans un plan: la directrice du cône.

*  Un point S extérieur au plan: le sommet du cône.

*  Toutes les droites (génératrices) passant par S et s'appuyant sur toute la longueur de la directrice engendrent une surface conique.

 

Définition

Cône: surface réglée dont les génératrices passent par un point fixe appelé sommet du cône. Un cône est parfaitement  déterminé par son sommet et une courbe de sa surface rencontrant toutes les génératrices, appelée directrice du cône.

 

 

 

 

 

Oblique et droit

*  La directrice est une courbe plane fermée. C'est la base du cône. Son plan est situé à une distance h du sommet.

*    Si l'axe est perpendiculaire à la base, le cône est droit

Si la base est un cercle, c'est un cône de révolution,

Si l'angle au sommet vaut 90°, le cône est rectangle (hauteur = rayon)

 

Si la hauteur est plus grande: cône acutangle,

Si la hauteur est plus petite: cône obtusangle.

*    Sinon, il est oblique ou scalène.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Cône oblique          Cône de révolution

 

 

Mesures – Cône oblique

 

Volumes

 

Volume du cône usuel (base d'aire A)

 

Tronc de cône usuel (bases A et A', hauteur h)

 

 

 

V = 1/3    A . h

 

V = 1/3 h [ A + (A.A') + A' ]

 

 

Rappel

Le volume d'une pyramide est égal

au TIERS

de celui du prisme qui la contient

 

V CÔNE

= 1/3   r ² h

= 1/12   D ² h

V CYLINDRE

=        r ² h

= 1/4    D ² h

Formules découvertes par Démocrite. Prouvées par Eudoxus

 

 

Mesures – Cône  de révolution (droit)

 

Longueur

 

Cône de révolution: longueur de l'apothème

 

 

Centre de gravité

 

 

 

a² =     R² + h²

a  =  ( R² + h² )

 

H = ¼ h

 

Aires

 

Aire latérale du cône de révolution

 

 

 

 

 

S =        R .        a

    =       R .  ( R² + h² )

 

    =       R² / sin

    =       h² . tg  / cos

 

 

Aire complète du cône de révolution

            (aire latérale plus disque de base)

 

 

Sc =      R ( R + a )

 

Aire d'un disque à la hauteur x du cône

 

Sx = 2   (R²/h²) x²

 

Tronc de cône: R et R', les rayons des bases circulaires  parallèles (Rm rayon moyen) et H et H', les distances de ces bases au sommet du cône.

 

S  =    2 Rm . H

S  =     ( R + R' ) (H – H')

 

 

Volumes

 

Cône

 

 

Le volume des cônes de même angle au sommet varient comme le cube de la hauteur.

 

 

V = 1/3  R² . h

    = 1/3 R .  ( S² –  R4 )

Calcul

S² = ² R² (R²+h²)

h² = (S² - ² R4) / ² 

V² = 1/9 ² R4

h² = 9 v² / ² R4

9 V² / ² R4  = (S² - ² R4) / ² R²

9 V² =         (S² - ² R4)

   V  = 1/3 R  (S² - ² R4)

 

 

V  = 1/3 p R3 / tg

    = 1/3 p h3 . tg²

 

 

Tronc de cône

 

Comme fonction des aires des surfaces basse, milieu et haute (formule valable pour tout tronc de pyramide).

 

V = 1/3  h [ R² + R.R' + R'² ]

 

    = 1/6 h ( Ab + 4ªm + Ah )

Calcul

V = 1/3  h [ R² + R.R' + R'² ]

   = 1/6  h [ 2R² + 2R.R' + 2R'² ]

   = 1/6  h [ R² + (R + R')² + R'² ]

    = 1/6  h [ R² + 4 ((R + R') /2 )² + R'² ]

    = 1/6 h    [ Ab + 4 Am  + Ah]

 

 

Angles

 

Angle au sommet

 

Angle de la surface latérale développée sur un plan

 

 

 

A = 2

 

AS =   2 r / a   radians

     = 360  r / a   degrés

 

Longueur de la circonférence du secteur

LS = 2 R

 

Longueur de la corde

LC = 2 a . sin As

 

 

 

 

 

SECTION DU CÔNE

 

Par un plan

- parallèle à la base

- perpendiculaire à la base

 

- quelconque

 

 

 

Un cercle

Deux droites obliques

 

Une conique

 

 

 

 

English corner

*  A right circular cone is a solid generated by the revolution of a right-angle triangle about one of the sides containing the right angle as axis.

*      The point at the top is called the vertex, and the angle (which is twice the angle of the revolving triangle is the vertical angle.

 

 

Allemand et hollandais: Kegel

Espagnol: Cono, bolse

Italien: Birillo, cartoccio

 

Cône

Cône de révolution

 

En forme de cône

Tronc de cône

Cone

Circular cone

Right-circular cone

Cone-shaped

Truncated cone

Frustum (of cone)

Conical frustum

 

Sommet

Angle au sommet

 

Demi-angle au sommet

Axe du cône

Hauteur

 

Directrice

Génératrice

Hypoténuse

Apothème

Base

Surface latérale

Vertex

Vertical angle

Cone aperture

Semi—vertical angle

Cone axis

Height

Altitude

Directrix

Generating line

Hypotenuse

Slant height

Base

Lateral surface

Curved surface

 

Cornet à glace

 

Ice-cream cone

 

 

 


 

SUITE

*  Amusements avec les cônes

Aussi

*  Cercle

*  Cône, demi-sphère et cylindre

*  Cylindre – double-cône = sphère

*  Coniques

*  Coniques – Théorème de Pascal

*  Cône et triangle rectangle

*  Cylindre

*  Pyramides

*  Vocabulaire de la géométrie

Sites

*  Cône de révolution (et plus)

*  CôneHomeomath

*  Calcul de surface et volume (calculette)

*  Surfaces coniques

*  Conefrom Wolfram MathWorld

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