NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Super-factorielles

Primorielle

 

Sommaire de cette page

>>> Factorielle plus un

>>> Factorielles doubles

>>> Multifactiorielle

>>> Hyperfactorielle

>>> Factorielles géantes

 

 

 

 

FACTORIELLES diverses

 

Quelques autres formes de factorielles, dérivées des factorielles classiques.

 

 

 

FACTORIELLE 1

Premiers

 

3! – 1  =          5

4! – 1  =          23

6! – 1  =          719

7! – 1  =          5 039

 

 

 

  1 ! + 1 =        2

  2 ! + 1 =        3

  3 ! + 1 =        7

11 ! + 1 =        39 916 801

 

Carrés

 

1! – 1 =          

2! – 1 =          

 

 

 

 

Exploration avec 2 et 3

1! – 2 =          

2! – 2 =          

3! – 2 =          

2! – 3 =          

 

 

4! + 1 =      25 =  

5! + 1 =    121 = 11²

7! + 1 = 5 041 = 71²

Les trois seuls cas (problème de Brocard). Avec coquetterie en 71 pour le troisième.

 

 

2! + 2 =          

1! + 3 =          

3! + 3 =          

 

n! + 1 = premier: existence en nombre infini ?

n! + 1 = carré:    existence en nombre infini ?

Suite en Premiers factoriels / Premiers multifactoriels / Factorielle – 1

Voir Premier primoriels / Nombres complexes (i et i²) / Factorielles moins un

 

 

Factorielles doubles

 

*    Le produit des nombres impairs successifs est appelé (bizarrement) factorielle double (notée !!) – Anglais: double factorial.

*    Le produit des nombres pairs successifs ne porte pas de nom, mais est aussi parfois appelé factorielle double.


 

9!! = 945

Ne pas confondre avec la factorielle de factorielle: (3!)! = (6)! = 720.

Voir Calcul des factorielles en 1/2

 

 

 

Définition de la factorielle double selon que n est impair ou pair

 

*    Soit un nombre impair n = 2k – 1:

 

 

Exemple:

 

*    Soit un nombre pair n = 2k:

 

Exemple:

 

 

 

*    Le logiciel Mapple calcule cette fonction directement avec doublefactorial.

Ex:

   42849873690624000

 

Voir Identité / Quart de finale et factorielle impaire / Puzzle utilisant les factorielles doubles

 

 

MULTI-FACTORIELLE

 

Formulation

 

La notion de factorielle simple ou double peut être généralisée aux factorielles triples, quadruples …

 

 

Tables des multifactorielles

 

Tables des multifactorielles premières

Il s'agit des multifactorielles premières moins un: notée en rouge en haut du nombre multifactoriel (noir);
         et des multifactorielles
premières plus    un: notée en rouge en bas du nombre multifactoriel.

 

Exemples: 4! = 24 et  4! – 1  = 23 nombre premier.

                  6!! = 48 est double-factoriel premier par les deux côtés, en plus (49) et en moins(47), nombres qui sont tous deux premiers (jumeaux)

 

Voir Nombres factoriels premiers

 

 

 

HYPERFACTORIELLE

 

*    Factorielle dont les termes sont les nombres habituels (1,2, 3 …), mais porté à la puissance égale à la valeur du terme (11, 22, 33 …)

 

3!H  =  11 x 22 x 33 =  1 x 4 x 27 = 108


 Valeur pour n de 1 à 10

 

 

Factorielles géantes ...x

 

Produit-factorielle (parfois nommées superfactorielle)

*      n$ = produit des factorielles de 1 à n

2$ = 1! x 2!                             = 1 x 2                   =     2

3$ = 1! x 2! x 3!                      = 2 x 3! = 2 x 6     =   12

4$ = 1! x 2! x 3!  x 4!              = 12 x 24              = 288

5$ = 1! x 2! x 3!  x 4!  x 5!      = 288 x 120    = 34 560


Notion introduite par Sloane and Plouffe

Voir Divisibilité des produits de différences

 

 

 

 

Superfactorielles

 

*      Superfactorielle de n = n! = factorielle de n à la puissance n! et cela n! fois.

2! = 22^2 = 24 = 16

3! = 66^6^6^6^6^6 = 66^6^6^6^46656 = 66^6^6^2659…

avec le dernier exposant  égal à 0,26 1036306; 6  puissance ce nombre dépasse la capacité de calcul des logiciels spécialisés.

 

*      n! 2 = superfactorielle n à la puissance superfactorielle de n et cela superfactorielle n  fois. Nombre au-delà de l'imagination! L'indice 2 peut passer à 3, 4   
Voici ce qu'en dit un l'auteur de cette notation(Sanchez):

 

Three standard arithmetic symbols, 9! 9, is all we need to define a finite number so large that the standard writing of its precise sequence of digits would surely require a volume of paper much more greater than the volume of the visible universe. (Pour écrire ce nombre, le volume de papier dépasserait largement la taille de l'Univers).

 

Notion introduite par C.A.Pickover et Antonio L. Sánchez

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Nombres permutés

*    Factorielle et dénombrement

*    Voir haut de page

 

Voir

*    Compter

*    Débutant et dénombrement

*    Factorielle: nième différence d'une puissance n

*    Factorielles divisées

*    Factorielles et grands nombres

*    Factorielles et leurs diviseurs

*    Factorielles impaires

*    Formule de Stirling

*    Problème de Brocard (n! + 1 = k²)

*    Programmer la fonction factorielle

*    Théorème de Wilson

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