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Édition du: 16/07/2020

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Brèves de Maths

 

 

INDEX

 

Triangles

 

Constructions

 

Géométrie

CONSTRUCTION – TRIANGLE  

Types de triangles

Constructions élémentaires des triangles

Quadrature

Constructions

Orientation

LLL

AAA

LAL

Général

hhh

bbb

Centres

Résolution des triangles

Quelconque

mmm

MMM

L: côté; A: Angle; h: hauteur; m: médiane; M: médiatrice; b: bissectrice

 

 

Construction des triangles

Considérations générales

 

Construire un triangle parait anodin lorsqu'on connait les côté et les angles. La construction à partir de la connaissance des céviennes comme les médianes ou les bissectrices est une autre histoire.

Revue de détail.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Le problème de la construction des triangles

>>> Construction à partir d'un triplet de points

>>> Cas RC-constructibles

>>> Cas RC-Non-constructibles

Débutants

Triangle

 

Glossaire

Triangle

Anglais: Triangle (location) construction problems

 

Le problème de la construction des triangles

haut

D'un côté la construction classique d'un triangle à partir de la connaissance:

*    de sa nature,

*    de ses côtés ou

*    de ses angles.

 

De l'autre côté, la construction à partir de la connaissance de céviennes:

*      leurs longueurs, ou

*      leurs directions, ou

*      leurs pieds.

Les céviennes (segments de droite partant d'un sommet et joignant son côté opposé) peuvent être quelconques, ou plus généralement particulières, comme: hauteur, médianes, médiatrices ou bissectrices.
 

 

Résumé sur les céviennes

 

Céviennes

Hauteurs

Médianes

Bissectrices

Médiatrices

Autres

Quelconque

Longueurs

 

 

 

 

 

 

Directions

 

 

 

 

 

 

Pieds

Problèmes de Wernick (triplets de points)

 

 

 

 

 

 

 

Construction à partir d'un triplet de points

haut

 

Liste des cas par Wernick

Il s'agit de construire un triangle, si possible avec la règle et le compas, à partir de la connaissance de trois éléments du triangle.

Si le problème a passionné les mathématiciens durant des siècles, c'est William Wernick qui, en 1982, a établi une liste de ces problèmes sur la base de trois de 16 points. 

 

A, B et C

Sommets

O

Centre du cercle circonscrit

Ma, Mb, Mc

Milieu des côtés

G

Centre de gravité

Ha, Hb, Hc

Pieds des hauteurs

H

Orthocentre

Ba, Bb, Bc

Pied des bissectrices internes

I

Centre du cercle inscrit

 

Les catégories de problèmes

Il existe 560 combinaisons de trois points parmi ces seize ((16x15x14) / (3x2x1) = 560).

*      Certaines ne sont pas recevables. Par exemple: la connaissance de deux sommets et du point milieu).

*      Certaines combinaisons sont similaires. Par exemple: deux sommets et le pied de la bissectrice

*      Le problème LLL (connaissance de la longueur des trois côtés) est considéré comme banal.

 

 

Wernick a recensé 139 de ces combinaisons; celles présentant des défis originaux.

Classement en quatre catégories:

*      Redondant: le 3e point est fixé par les deux premiers. Pas de solutions. 3 cas.

*      Contraint: le 3e point  dépend des deux autres. La solution exige que la contrainte soit respectée. 23 cas.

*      Constructible: les trois suffisent à déterminer le triangle ABC. 74 cas.

*      Non-constructible: aucune construction connue. Exemple avec les trois pieds des bissectrices. 39 cas.

 

En 2016, une équipe de quatre mathématiciens français et serbes (Pascal Schreck, Pascal Mathis, Vesna Marinkovic, and Predrag Janicic) publie la liste finale des 139 cas et de leur état.

 

Résultat obtenus par ordinateur.

Méthode basée sur la vérification de la constructibilité.

Développement d'un système pour trouver des constructions les plus élégantes possibles et vérifier leur justesse.

 

Extension par Harold Connelly

On peut toujours étendre les 16 points de base avec d'autres points caractéristiques du triangle.

 

Avec les quatre points proposés par Connelly, il y a 140 cas originaux supplémentaires.

 

 

Connelly propose:

 

Ea, EE, Ec

Points d'Euler

N

Centre du cercle des 9 points

 

73 sont constructibles et 11 ne le sont pas.

19 cas sous contrainte

32 cas dont on se sait pas s'ils sont faisables.

 

 

 

Cas RC-constructibles (74)

haut

 

Les cas constructibles à la règle et au compas (RC)

 

 

Cas RC-NON-constructibles (39)

haut

 

Les cas NON-constructibles à la règle et au compas, mais avec solution dans le plan Euclidien

 

 

Les autres cas sont contraints sans solutions ou avec une infinité de solutions.

 

 

 

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*      Nombres à motifs

Suite

Voir

Sites

*      On-line compendium of triangle construction problems with automatically generated solutions – Vesna Marinkovic

*      Wernick's List: A Final Update – Pascal Schreck, Pascal Mathis, Vesna Marinkovic, and Predrag Janicic

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