Accueil

Orientation générale

Barre de recherche

DicoNombre

DicoMot Math

DicoCulture

Atlas des maths

Rubriques

Index alphabétique

Nouveautés

Actualités

Références

Édition du: 08/03/2020

M'écrire

Brèves de Maths

 

INDEX

 

Triangle – Général

Triangle – Constructions

Carré

Quadratures

Triangles

Parabole

Cercle

 

 

 

Quadrature du triangle

 

Il s'agit de transformer un triangle quelconque en un carré de même aire, en utilisant rège et compas seulement.

Ces constructions reposent sur la propriété remarquable des triangles rectangles: le carré de la hauteur issue du sommet droit est égal au produit des longueurs découpées sur l'hypoténuse:  AH² = HB . HC (relation dite de la moyenne proportionnelle ou moyenne géométrique).

 

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle quelconque en rectangle

>>> Triangle en Carré – Puzzle

>>> Quadrature du triangle quelconque

>>> Quadrature du triangle rectangle

>>> Quadrature du triangle équilatéral

>>> Quadrature du rectangle

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

 

 

Triangle quelconque en rectangle

haut

 

Construction

Triangle ABC

E est le milieu de la hauteur

Rectangle construit sur AB et E.

 

Validation

Aire triangle = AC . CE

Voir Constructions élémentaires / Constructions dans les triangles

 

 

Triangle en Carré – Puzzle (dissection)

haut

 

 

 

 

Cette illustration montre comment passer d'u triangle équilatérale en un carré de même aire.

 

 

 

La figure colorée montre comment les pièces peuvent être articulées pour passer du triangle au carré par simple rotations.

Voir Dissections

 

 

 

Quadrature du triangle quelconque (1)

haut

 

Construction

Triangle quelconque ABC.

Hauteur issue de C et son milieu D.

Perpendiculaire en B à AB.

Cercle de centre B et de rayon CD.

Intersection avec AB en E.

Milieu F de AE pour tracer le cercle vert. Intersection G.

BG est le côté du carré.

 

 

Démonstration

Le triangle AGE est inscrit dans un demi cercle, il est rectangle en G.

GB est une des hauteurs de ce triangle

Relation métrique avec la hauteur.

 

GB² = BA.BE = BA.CD

Aire du carré = base x demi hauteur de ABC

                       = Aire du triangle

Anglais  Rectangle squaring

 

 

Quadrature du triangle quelconque (2)

haut

 

 

Construction (autre disposition)

Triangle équilatéral ABC.

D est le milieu de AB.

Carré DBF.

H est le milieu de FG.

Cercle (H, HG).

Le triangle GKF est rectangle en K.

BK² = BG . BF = AB . h/2 = Aire du triangle.

BK est le côté d'un carré de même aire que le triangle ABC.

 

Cas particuliers

Les méthodes exposées ci-dessus sont valables pour tout type de triangle. Ci-dessous, quelques exemples avec méthodes particulières; toujours basée sur le même principe de la moyenne proportionnelle.

 

Quadrature du triangle rectangle

haut

 

Construction

Rectangle ABC.

Cercle (A, AC).

Intersection avec AB prolongé en C'.

I milieu de AC' et J milieu de IB

Cercle (J, IJ)

Intersection avec AC prolongé en K

AK est le côté du carré.

 

Démonstration

Triangle IKB inscrit dans un demi-cercle: il est rectangle en K.

Relation dans ce triangle:
AK² = AB . AI = AB . AC/2
Aire du carré = aire du triangle.

 

Merci à Patrick Villemin pour cette construction

 

 

Quadrature du triangle équilatéral

haut

 

 

Construction

Triangle équilatéral ABC.

D est le milieu de BC.

Carré de côté BD.

H est le milieu de GF.

Cercle (H, GF)

Intersection en K avec le prolongement de BC

KB est le côté du carré.

 

Démonstration

Du même type que celle présentée ci-dessus:
KB² = BG . BF = BC . AD / 2

 

 

Quadrature du rectangle

haut

 

 

Construction

Rectangle ABCD.

Report longueur BC sur prolongement de AB: point F.

G est le milieu de AF.

Report longueur GF sur prolongement de BC: point H

BH est le côté du carré

 

Démonstration

BH est moyenne géométrique de BA et BF:  BH² = AB . BF = AB . BC

Aire du carré  = aire du rectangle.

 

 

 

 

Haut de page

 

Retour

*      Triangle

*      Carré

Suite

*      Quadrature du cercle

*      Constructions élémentaires

*      Constructions dans les triangles

Voir

*      Allumettes

*      Carré Index

*      Construction à la règle et au compasIndex

*      DénombrerIndex

*      DicoMot Maths

*      Énigmes classiques

*      Ensembles – les compter

*      GéométrieIndex

*      JeuxIndex

*      Le terrain de basket

*      Losange

*      Rectangles dans le cube

*       Rectangles emboîtés

Sites

*      Quadrature du triangle – Serge Mehl

*       Quadrature du triangle équilatéral avec GeoGebra

*       La quadrature du triangle – Andrés Navas – CNRS – Façon puzzle (dissection)

*      Triangle squaring – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/Quadratu.htm