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Édition du: 06/12/2021

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Théorème de Pythagore - Démonstrations

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Pappus-Clairaut

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Pyramide

 

 

Théorème de Pappus-Clairaut

 

Une généralisation du théorème de Pythagore aux parallélogrammes associés aux côtés d'un triangle quelconque.

  

 

Sommaire de cette page

>>> Théorème de Pappus-Clairaut

>>> Théorème de Pythagore

>>> À partir du théorème de Pythagore

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Anglais: Pappus Area Theorem

Voir Types de démonstrations du théorème de Pythagore

 

 

Théorème de Pappus-Clairaut

haut

 

Construction

Triangle ABC.

Parallélogramme bleu (ABDE).

Parallèle en C à AE.

Point F tel que:

FC = AE = BD

Parallèles en F à AC et à BC.

Choix de K et I sur ces parallèles.

Parallélogrammes verts (KGAC et ICBH).

 

Théorème

Aire du parallélogramme bleu =

Aire des parallélogrammes verts.

 

 

Historique

Pappus présente cette propriété en prenant le parallélogramme AJLB en haut, et non celui du bas.

Le théorème, en France, est attribué à Clairaut, frère du célèbre mathématicien. C'est Ozanam qui en aurait retrouvé l'origine chez Pappus.

 

 

 

 

 

 

 

 

Démonstration

Aires des parallélogrammes verts

 

 

Aire KCAG = Aire FCAJ = idem pour tout point K, car

*      la longueur de la base FJ = KG est constante, et

*      la hauteur entre les parallèles GF et AC est constante.

Aire ICBH = Aire FCBL =  idem pour tout point I, et cela pour les mêmes raisons.

 

 

Aires du parallélogramme bleu =

deux composantes =

ALNE + LBDN

 

Les aires côté gauche sont égales: Aire LNEA = Aire FCAJ:

*      bases LN et CF égales, et

*      hauteurs entre les parallèles FN et JE sont égales.

 

Les aires côté droit sont égales pour les mêmes raisons.

 

 

Rapprochement

 

Aire ALNE = Aire AGKC

Aire LBDN = Aire BCIH

Aire ABDE = Aire AGKC + Aire BCIH.

 

Merci à François Boucher pour ses remarques

 

Vers théorème de Pythagore

haut

 

Propriété

Le théorème de Pythagore est un cas particulier du théorème de Pappus-Clairaut.

 

Conditions:

*      le triangle rose est rectangle, et

*      les parallélogrammes  sont des carrés.

 

On retrouve bien une longueur égale pour les deux segments en vert.

 

Application du théorème de Pappus-Clairaut:

 

Aire des deux carrés du haut

= aire du carré du bas.

 

 

Voir Propriétés de cette figure

 

 

 

À partir du théorème de Pythagore

haut

 

On sait démontrer le théorème de Pythagore sans le théorème de Pappus-Clairaut.

Alors, dans un triangle rectangle, on a : a² + b² = c²;  et plusieurs résultats en découlent.

 

Polygones réguliers

Tout triplet de polygones réguliers avec côté a, b et c est tel que la somme des aires des deux plus petits vaut l'aire du plus grand.

 

Exemple avec ces trois heptagones: la relation entre les aires est bien celle attendue.

 

Le cas des demi-cercles apposés aux côtés du triangle rectangle est bien connu.

 

Figures semblables

Soit deux figures semblables de rapport homothétie k, alors les aires sont dans le rapport k².

 

Dans le cas du triangle rectangle apposer trois figures semblables dans les proportions des longueurs des côtés, créera trois figures dont la somme des aires des deux plus petites vaudra l'aire de la plus grande.

 

Voir Application du théorème de Pythagore

 à tout triplet de figures semblables

 

 Autres figures

Voir le cas des triangles quelconques >>>

Voir le cas des triangles parallélogrammes >>>

 

Merci à Alain Goupil pour cette suggestion

 

Haut de page

 

 

Retour

*      Théorème de Pythagore

Suite

*      Démonstrations historiques du théorème de Pythagore

Voir

*      Théorème de Pappus

Sites

*      Théorème de Clairaut (géométrie) – Wikipédia

 

Voir liste des liens

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/Pappus.htm