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Édition du: 06/03/2020

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Démonstrations du Théorème de Pythagore

par calcul des aires

 

Revue des nombreuses démonstrations de ce célèbre théorème dit de Pythagore.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Démonstration du président Garfield

>>> Démonstration avec trapèze

>>> Démonstration avec parallélogrammes

>>> Démonstration avec hexagone

>>> Démonstration avec double triangles

>>> En trois dimensions (tétraèdre)

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

Voir Types de démonstrations du théorème de Pythagore

 

 

Démonstration du Président Garfield (1870-1880)

haut

 

Cette démonstration considère la figure en forme de trapèze constituée de deux triangles rectangles identiques bleus et du triangle rectangle en jaune.

Deux évaluations de l'aire du trapèze:

 

Trapèze

½ somme des côtés x base

½ (a + b) x (a + b)

= ½ (a² + 2ab + b²)

Trois triangles

½ base x hauteur

½ ab + ½ ab + ½ cc

= ab + c²/2

Conclusion

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

En fait, c'est une variante de la méthode par échange de triangles. Il suffit de tracer le complément (en pointillés) pour s'en rendre compte.

 

Coin historique

Cette démonstration est attribuée au 20e président américain James A. Garfield. (1831-1881). En fait, elle est due au mathématicien italien Mascheroni (1750-1800). On l'a aussi attribuée à Paul Painlevé (1863-1933), homme politique et mathématicien. Bonaparte fit sensation en la présentant devant l'Académie des sciences.

 

 

 

Démonstration avec trapèze

haut

 

Le triangle de base ABC est répété quatre fois. La figure forme un trapèze.

Les deux triangles à gauche et à droite sont isocèle (côté c) et rectangle (complémentarité des angles dans les triangles rectangles.

 

Aire du trapèze

1/2 (a + b) (2a + 2b)

= (a + b)²

= a² + 2ab + b²

Quatre triangles (a, b, c)

4 x 1/2 ab = 2 ab

Deux triangles (c, c)

2 x 1/2 c² = c²

Comparaison

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

a² + b² = c²

 

Note: on aurait pu ne travailler que sur le trapèze rectangle à droite (ou à gauche) et retrouver le même résultat.

 

 

 

Démonstration avec parallélogrammes 

haut

 

Construction

On utilise la figure des trois carrés construits autour du triangle rectangle.

On duplique le grand carré vers le haut (petit pointillé).

 

On s'intéresse au parallélogramme jaune KMAP puis à son voisin KMBQ en montrant que les aires valent a² et b²  et qu'elles contribuent à former l'aire c².

 

Ce principe est souvent employé: on fait pivoter le carré pour le redresser de façon à exprimer son aire en fonction de c. Cas d'Euclide

 

Démonstration

Avec ses côtés parallèles et son angle droit en M, le quadrilatère MGKF est un rectangle de côté a et b et de diagonale c. Les deux angles complémentaires en M sont égaux à ceux du triangle originel. Par conséquent, KM est parallèle à AD et à BC.

 

 

 

On a ainsi: KM parallèle à PA et de même longueur c.

On a aussi: AM parallèle à EF ou PK.

Le quadrilatère KMAP est un parallélogramme.

Avec la base AM et la hauteur FM, son aire vaut b².

Avec la base KM et la hauteur AR, son aire vaut c.AR.

 

On montre de la même manière que KMBQ est un parallélogramme et son aire  s'exprime également de deux façons.

 

Aire KMAP = b² = c.AR

 

Aire KMBQ = a² = c.RB

 

La somme

 a² + b² = c (AR+ RB) = c²

 

 

 

 

Démonstration avec hexagone  

haut

 

Construction

Le triangle est tripliqué sur les côtés du carré ABCD.

On trace la droite PQ (passant par M ?)

 

Le principe consiste à évaluer l'aire du quadrilatère entouré de rose de deux manières:

*      c'est la moitié de l'hexagone complet, et

*      c'est la somme de trois triangles

 

 

Démonstration

Il s'agit de montrer que le point M, sommet du triangle AMB, est sur PQ.

On trace PM; le triangle APM est isocèle (AP = AM = b) et il est rectangle (angle droit en A, par complémentarité); ses angles à la base valent 45%

On trace QM; le triangle BQM est isocèle-rectangle  et ses angles à la base valent 45°.

La somme des trois angles en M (45 + 90 + 45 = 180°) montrent que les points P, M et Q sont alignés.

 

La démonstration serait de Nasîr Eddîn al Tusi (1201-1274), un mathématicien Perse auteur d'une traduction des Éléments d'Euclide.

 

 

 

Aires des triangles

Triangle isocèle-rectangle APM: b²/2

Triangle isocèle-rectangle BQM: a²/2

Triangle rectangle AMB: ab/2

 

Aire de l'hexagone

Aires des deux triangles: ab

Aire du carré: c²

 

Comparaison

ab + c² = a² + b² + ab

c² = a² + b²

 

Démonstration avec double triangles 

haut

 

Construction

Triangle rectangle ABD et son homologue tête-bêche AED. Droite BE. Le triangle rectangle à considérer est ABC.

 

Démonstration

Avec les triangles semblables  ABC et BCD: x = a² / b

Avec les triangles semblables  ACE et ECD: y = ac / b

Aire ABC = 1/2 a. (b + x)  = 1/2 a (b + a² / b)

Aire AED = 1/2 c. y = 1/2 c (ac / b)

Égalité: ab + a3 / b = ac² / b

En multipliant par b et en divisant par a: b² + a²  = c²

 

Intérêt

Démonstration un peu "tordue" qui montre que démontrer le théorème de Pythagore fut un sport pratiqué par de nombreux mathématiciens ou amateurs.

 

 

En trois dimensions (tétraèdre) 

haut

 

Soit un tétraèdre droit avec ses côtés de longueurs (a, b et c).

On s'intéresse aux triangles rectangles portés par les côtés; la somme des carrés de leur aire:

Et, maintenant, au triangle rouge qui est le triangle "hypoténuse". Son aire est : x.z

Le côté bas du triangle rouge:

Relation dans le triangle rectangle:


Le carré de l'aire du triangle hypoténuse:

 

 

 

Le carré de l'aire du triangle "hypoténuse" (rouge) est égal à la somme des carrés des aires projetées (aires des triangles portés par les côtés – bleus).

Voir Généralisation a n dimensions

 

 

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