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Démonstration du théorème

 

Sommaire de cette page

>>> La découverte de Pythagore

>>> Une découverte universelle

>>> La preuve

>>> Et avec d'autres unités de mesure?

>>> hypoténuse en escalier

 

 

 

 

 

 

Théorème de PYTHAGORE

Spécial débutants

 

Page de découverte pour jeunes enfants ou pour novices. Ce théorème, comme celui de Thalès, est omniprésent dans toute la scolarité, collège comme lycée et même ensuite.

Il donne la mesure de la diagonale d'un rectangle. ou encore celle du grand côté d'un triangle rectangle.

Voir aussi Le diaporama de Clément (9 ans) / Toutes les pages débutants

 

 

Compter les billes (rouge + jaunes) et les billes vertes

 

La découverte de Pythagore

Pythagore dessine des triangles rectangles, il découvre un joli triangle dont les trois côtés ont des longueurs entières en cm.

 

Ça tombe bien! Pythagore adore les nombres entiers.

 

Un triangle magnifique: que des nombres entiers pour la longueur des côtés. En plus son aire est égale à 6 et son périmètre à 7. Il est sacré.

 

Il a l'idée de comparer les carrés qu'il a dessinés à partir des trois côtés.

Il calcule l'aire de chacun.

*       L'aire du petit carré vaut:
3 x 3 = 9 cm²;

*       L'aire du moyen vaut:
4 x 4 = 16 cm²; et

*       L'aire du grand vaut:
5 x 5 = 25 cm².

 

Stupéfaction, l'aire du grand est égale à celle du petit ajoutée à celle du grand:

9 + 16 = 25

En reprenant le calcul:

3x3 + 4x4 = 5x5

On écrit avec la notation des carrés par un petit 2:

3² + 4² = 5²

 

Surface du jaune = surface des deux en marron

 

 

 

Une découverte universelle

Pythagore continue ses recherches et découvre de nombreux autres triangles avec des nombres entiers comme longueurs des côtés.

La figure montre un nouvel exemple pour lequel on vérifie encore:

 

    + 12²      = 13²

5x5 + 12x12 = 13x13

25   + 144      = 169

Cette fois, il veut en avoir le cœur net! Il dessine un triangle avec 6 cm et 7cm pour deux des côtés et il mesure le troisième.

Pas de chance, ça ne tombe pas juste! Il mesure 9,2 cm.

Il vérifie tout de même avec les carrés

 

6² + 7²  = 6x6 + 7x7

             = 36 + 49 = 85

9,2 x 9,2 = 84,64

 

Eh! Pas loin!

Il n'a pas de calculette, mais vérifie tout de même que le nombre qui au carré donne 85 est plutôt:

85 = 9,22 x 9,22

Évidemment pas possible de mesurer avec cette précision avec sa règle.

Voir Découverte du nombre qui multiplié par lui-même donne 2 (racine de 2)

 

 

 

La preuve

Pythagore trouve une preuve géométrique qui indique que:

 

Pour tout triangle rectangle:

 

Le grand côté c est appelé l'hypoténuse. Alors, on énonce:

 

Pour tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

 

Note: si on était exigeant, on dirait: le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des longueurs des carrés des deux autres côtés.

 

Le théorème ou la relation de Pythagore permet le calcul de la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle mais aussi la longueur de la diagonale du rectangle, comme celle du carré d'ailleurs.

 

Une des démonstrations possibles est illustrée par cette figure.

 

Avec quatre triangles rectangles identiques (bleus) et les deux plus petits carrés (jaunes), on forme le grand carré de gauche de 7cm de côté.

Pour former la figure de droite, on retire les deux carrés jaunes, libérant un espace dont l'aire vaut a² + c².

Tout en restant dans le même grand carré, on fait glisser les quatre triangles. L'espace central est un carré de côté c et son aire est .

Ainsi, l'espace libéré (a² + b²) a la même aire que le carré .

 

 

Les carrés en a² et b² occupent la même surface que le carré en c².

 

Peut-être un moyen pour retenir ce mot étrange

Hippopotamus est l'hippopotame en latin et en anglais

Rappel pour l'orthographe; hippos = cheval et potamos = le fleuve

Le dessin  est de

 

 

Et avec d'autres unités de mesure?

Et si je dessine un quadrillage plus petit; de plus en plus petit. Que se passe-t-il?

 

Avec le même triangle dans un quadrillage plus fin, évidemment les longueurs ne changent pas et la relation de Pythagore est toujours valable (figures de gauche).

 

Si l triangle est plus petit (figure de droite), le théorème de Pythagore s'applique toujours, seulement ce ne sont pas les mêmes unités.

 

 

Pourquoi cette remarque sur les unités de mesure

Plusieurs fois la question m'a été posée: si je mesure l'hypoténuse en suivant le quadrillage, j'ai l'impression que ça change les choses. Les marches de l'escalier deviennent de plus en plus petites.

Voyons cela …

 

 

Hypoténuse en escalier

Quelle est la longueur de l'hypoténuse si je la parcours le long des lignes du quadrillage?

 

Oups! Attention, la ligne verte de la figure n'est pas l'hypoténuse! C'est la descente d'escalier.

 

On peut compter les segments verts: il y en a 7, soit une longueur de 7 cm.

Plus simple:

*       chaque segment vert vertical est envoyé (projeté) sur le côté vertical du triangle (segments rouges), et

*       chaque segment vert horizontal est projeté sur le côté horizontal du triangle (segments rouges).

*       les segments rouges reforment complètement les deux côtés du triangle: 3 cm + 4 cm = 7 cm

 

Même en prenant un quadrillage plus petit (Figure en bas):

*       quantité de segments verts = quantité de segments rouges, et

*       longueur de l'escalier = longueur des deux côtés bleus.

 

Dans tous les cas, la longueur de l'escalier vert est égale à la longueur des segments rouges, et donc, à la longueur des deux côté du triangle.

 

Voir aussi: Problèmes du même type posée en CM2

 

 

Ne pas confondre

La longueur de l'hypoténuse n'est en aucun cas la longueur de l'escalier qui décrit l'hypoténuse en suivant le quadrillage.

Oui mais, si le quadrillage devient infiniment fin. Alors, là, on cherche les ennuis. On s'approche d'un paradoxe.

 

Merci à Thierry P. qui, par ses questions, m'a amené à composer cette page pour novices

 

 

 

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