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Édition du: 17/02/2022 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Triangles Géométrie Puissances	Théorème de Pythagore
	Débutants	Nomenclature – Types de démonstrations		Applications
	Toute figure	Approche	Calcul Aires	Dissections
	Triplets de P.	Historiques	Similitudes	Hypoténuse
	Pappus-Clairaut	Chinoise (Chou Pei)	Algébrique	Pyramide
			Produit scalaire

Démonstrations du Théorème de Pythagore Revue des nombreuses démonstrations de ce célèbre théorème dit de Pythagore.
	Sommaire de cette page >>> Moyenne proportionnelle de Colburn >>> Cercle et proportions >>> Avec un rectangle inscrit >>> Triangles rectangles proportionnels >>> Aires proportionnelles >>> Démonstration de Michael Hardy	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

Voir Types de démonstrations du théorème de Pythagore

Moyenne proportionnelle de Colburn (1910)		haut
Propriétés du triangle rectangle: moyenne proportionnelle entre les côtés et la découpe de la hauteur sur l'hypoténuse. AC² = AB . AH ou b² = cx CB² = AB . HB ou a² = cy Construction du carré ABFD sur l'hypoténuse. Hauteur CH prolongée en E Démonstration Aire du carré = aire AHED + aire HBFE c² = cy + cx = c (a² / c + b² / c) = a² + b²

Cercle et proportions		haut
Construction Cercle avec le diamètre quelconque DD'. B est son centre. Un point C sur DD'. La perpendiculaire en C à DD' qui coupe le cercle en A. Le triangle ABC est rectangle en C. Côtés prolongés pour obtenir D et E, intersections avec le cercle. Démonstration Théorème des cordes sécantes: CA.CE = CD . CD' DD' est la médiatrice de AE: CA = CE = b Exprimons CD = c – a et CD' = c + a Notre proportions sur les cordes devient: b² = (c – a) (c + a) = c² – a²

Avec un rectangle inscrit		haut
Théorème de Ptolémée Pour un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côté s opposés. AB.CD = AD.CB + AC.BD Le théorème se démontre, bien entendu sans laide du théorème de Pythagore. Application au rectangle Les diagonales sont égales, ainsi que les côtés opposés: c² = a² + b²

Triangles rectangles proportionnels		haut
Un triangle rectangle est découpé en deux triangles rectangles par la hauteur issue du sommet de l'angle droit. Les trois triangles sont montrés, chacun mis à plat avec l'hypoténuse horizontale. Ayant les mêmes angles (A + B = 90° dans chacun des triangles rectangles), ces trois triangles sont semblables. À partir des proportions entre ces triangles, ont déduit deux propriétés: le théorème de Pythagore; et la relation entre la hauteur et sa découpe sur l'hypoténuse (p² = x.y). Voir interprétation des imaginaires

Voir Triangle rectangle et sa hauteur / Démonstration à partir des similitudes

Aires proportionnelles		haut
Une démonstration expéditive pour matheux ! Une preuve voisine d'une démonstration (plus longue) de Leibniz (1646-1716). Construction Triangle rectangle ABC. Sa hauteur AH. Démonstration Aires: ABH + AHC = ABC Ces trois triangles sont semblables (cf. ci-dessus), avec pour hypoténuses: AB, AC et BC. Leurs aires suivent une proportion constante par rapport à l'aire des carrés construits sur leur hypoténuse: AB² + AC² = BC²	Explications AB/BC = BH/AB et AC/BC = HC/AC. Reformulé: AB·AB = BH·BC et AC·AC = HC·BC En additionnant: AB² + AC² = BH·BC + HC·BC = (BH+HC)·BC = BC².
Méthode voisine Triangle rectangle ABC. Carré ABDE sur l'hypoténuse. La perpendiculaire issue de C découpe le carré jaune en deux rectangles d'aires a² et b² pour une somme égale à c². Explications

Voir Brève 446

Démonstration de Michael Hardy – 1986		haut
Un triangle rectangle ABC. Un cercle de centre B et de rayon BC, l'hypoténuse. Le triangle AB'C' est rectangle en A car inscrit dans un demi-cercle. Du fait de la complémentarité des angles dans le triangle rectangle, l'angle en B' se retrouve en A et l'angle en C' se retrouve également en A. De sorte que les triangles rectangles B'AC et CAC' sont semblables. Proportionnalité des longueurs des côtés: Produit en croix (c + a) (c – a) = b² Identité remarquable c² – a² = b²

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