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Édition du: 06/12/2021 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Triangles Géométrie Opérations sur les puissances	Théorème de Pythagore – Extensions
	Débutants	Nomenclature – Types de démonstrations		Applications
	Approche	Pythagore en linéaire (triple quad)	Pythagore pour toute figure

Théorème de Pythagore valable pour toute figure On e connait le théorème de Pythagore que sous sa forme des trois carrés accolés au triangle rectangle. Savez-vous que la propriété est vraie pour toute forme non limitée au carré, memê quelconque, pourvu qu'elles soient semblables.
	Sommaire de cette page >>> Pythagore sous toutes les formes >>> Démo d'Einstein >>> Pythagore avec triangles quelconques >>> Démo avec aires des triangles	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

Voir Types de démonstrations du théorème de Pythagore / Généralisation du théorème de Pythagore

Pythagore sous toutes les formes		haut
Polygones Ce dessin montre les polygones de 3 à 6 côtés apposés aux trois côtés d'un triangle rectangle (6; 10; 11,662). Le tableau indique les aires mesurées. Dans les quatre cas, la somme des aires des deux plus petits polygones est égale à celle du plus grand. Explication Si la propriété est vraie pour les carrés, il est normal qu'elle soit valable pour des figures qui leur sont proportionnelle. La colonne ratio du tableau indique le rapport de proportionnalité entre les aires des figures. Pour le triangle, par exemple, toutes les aires indiquées sont égales à celles des carrés multipliées par 0,433… Toute forme On connait le cas du carré, mais cette propriété s'étend donc à tous les polygones et à toute forme droite ou courbe. Dans le cas du demi-cercle, on vérifie bien la relation sur les aires: 14,14 + 39,27 = 53,41. En effet, pour le demi-cercle, le rapport de proportionnalité est égal à Pi / 8 = 0,3927… (rayon = 1/2 longueur des côtés): Pour les triangles, on aurait:

Voir Brève de maths 481

Démonstration d'Einstein (avec triangles rectangles)		haut
Approche Triangle rectangle et une des hauteurs. Duplication du triangle initial et des deux nouveaux triangles rectangles, chacun apposé aux côtés De manière évidente, la somme des aires des deux triangles internes est égale à celle du triangle complet Du fait des égalités des triangles, on a la même propriété avec les triangles externes: Aire verte + aire bleue = aire jaune = aire blanche. Comment prouver le théorème avec ces données? Démonstration d'Einstein Avec des angles identiques, ces trois triangles sont semblables. Leur aire est proportionnelle à celle d'un triangle rectangle "unitaire": hypoténuse = 1 et aire = X. Donc, proportionnelle au carré de l'hypoténuse. Aire verte + aire bleue = aire jaune c²X = a²X = b² X c² = a² + b²

Pythagore avec triangles quelconques		haut
Pythagore avec des triangles quelconques Comment construire trois triangles quelconques autour d'un triangle rectangle tout en ayant la propriété de Pythagore ? Triangle rectangle en bleu. Demi-cercle sur les côtés. Une droite à angle donné partant des sommets; intersection avec le cercle et triangle en rejoignant l'autre sommet (en vert). Inscrits dans un demi-cercle les triangles sont rectangles; ils ont les mêmes angles; ils sont semblables. La somme des aires des deux petits est égale à celle du grand: 48,71 + 86,6 = 135,32. Avec des parallèles aux côtés du triangle initial, on peut construire autant de triangles, non rectangles (marron), de même aire, et avec la même propriété.

Voir Théorème de Pappus-Clairaut avec les parallélogrammes

Démonstration avec aires des triangles		haut
Figure de gauche en haut On utilise ici, non pas les carrés, mes les triangles équilatéraux apposés aux côtés du triangle rectangle. Comment monter que la somme des aires des deux petits (bleu et mauve) est égale à celle du grand (vert) ? Comme souvent, quelques constructions sont nécessaires. Figure de droite en haut Premièrement, on replie le grand triangle sur l'hypoténuse (pointillé). Avec ce nouveau sommet, on construit le parallélogramme ocre. Figures du centre De la figure en haut on isole le pentagone avec deux découpes: à gauche: deux triangles rectangles et le grand triangle équilatéral. à droite: un triangle rectangle, les deux petits triangles équilatéraux et un losange inconnu. Comparaison Les deux triangles rectangles (jaunes) sont égaux. Un des angles du losange vaut (90 – 60) = 30°; sa hauteur est donc égale à a/2 et son aire vaut: 1/2 ab, identique à celle du triangle rectangle. Les deux figures marron clairs sont de même aire. Conclusion Les deux figure dépouillées de surfaces égales montrent que l'aire du grand triangle vaut la somme des deux autres.

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Voir	Triangles rectangles Triangles – Index
Sites	Voir liste des liens A Pythagorean Theorem for Pentagons + Einstein's Proof El teorema de Pitagoras via triangles – Vidéo muette
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/Toute.htm