NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Types de TRIANGLES

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

Types

Quelconque

Obtusangle

Rectangle

Isocèle

Équilatéral

Sphérique

Homologique

Calabi

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Propriétés

>>> Aire du triangle quelconque – Principe

>>> Aire du triangle quelconque – Comparaisons

>>> Aires proportionnelles dans le triangle

>>> Aire du triangle – Calcul analytique

>>> Triangles quelconques – Relations

>>> Construction du triangle quelconque

>>> Triangle héroniens

 

 

 

 

 

TRIANGLES QUELCONQUES

 

 

Quelles sont leurs propriétés: les propriétés générales communes à tous les triangles ?

Comment calculer l'aire de ces triangles?

 

Anglais: arbitrary triangle

 

Source image : https://www.emaze.com

 

Définition du triangle quelconque

& du triangle scalène

 

*    Triangle quelconque: aucune relation particulière avec les angles ou avec les côtés.

Voir Types de triangles

 

*    On aurait pu dire triangle "ordinaire" ou triangle "lambda".

 

Le qualificatif quelconque est surtout utilisé pour introduire une hypothèse dans un énoncé: soit un triangle quelconque. On pourrait tout aussi bien dire: soit un triangle.

En anglais: let ABC be any triangle.

 

Le plus souvent, l'emploi du qualificatif "quelconque" vise à exclure des égalités sur les côtés ou des valeurs remarquables sur les angles, comme l'angle droit. Formellement la notion de triangle quelconque englobe toutes sortes de triangles. Cependant, cette précision avertit qu'il ne faut pas compter sur une propriété particulière pour conduire une démonstration sur ce triangle. Toute précision complémentaire sur le triangle lui retire son statut de quelconque.

 

*    Cas du triangle scalène

Le triangle scalène est proche du triangle quelconque avec cependant une nuance: cet adjectif a été introduit pour distinguer les triangles selon la longueur des côtés:

*       3 côtés égaux: triangle équilatéral,

*       2 côtés égaux: triangle isocèle, et

*       0 côtés égaux (tous de différentes longueurs): triangle scalène.

 

        Équilatéral             Isocèle                              Scalène

 

NB. les angles du triangle scalène sont également différents, mais il n'est pas interdit que l'un d'eux soit droit. Auquel cas, le triangle est rectangle non-isocèle.

 

Anglais: A scalene triangle is a triangle that has no congruent sides. With a right angle, it is a right scalene triangle.

 

*    Quelconques, mais "entiers":

Les triangles quelconques dont les mesures des côtés sont entières sont des triangles de Pythagore.

Les triangles quelconques dont les mesures des côtés et de l'aire sont entières ou rationnelles sont dits héroniens.

 

Merci à Raphaël L.G. pour ses remarques pertinentes

 

Propriétés de tout triangle

 

 

*    Il n'est pas si simple de tracé un triangle quelconque en évitant une particularité sur les angles ou les côtés

 Voir Construction du triangle quelconque

 

 Générales

*    La somme des trois angles est égale à 180° soit deux angles droits (ou encore  radians. Ce qui implique que deux des angles sont toujours aigus.

Voir Les trois géométries

 

*    La somme des longueurs de deux côtés est toujours plus grande que la longueur du troisième côté. C'est l'inégalité triangulaire qui s'explique par le fait que la plus courte distance d'un point à un autre est la ligne droite.

Soit trois longueurs, elles ne constituent un triangle que si l'une d'entre elles est plus grande que la somme des deux autres.

 

La différence des longueurs de deux côtés est toujours plus petite que la longueur du troisième côté. Conséquence de la propriété précédente:
si a + b > c alors en retranchant b de chaque côté: a > c – b.

 

*    Au plus grand angle est opposé le plus grand côté.

 

Particulières

*    Triangle isocèle: l'axe de symétrie est également bissectrice, médiane, médiatrice été hauteur.

*    Triangle équilatéral: les trois axes de symétrie sont également bissectrice, médiane, médiatrice été hauteur.

 

Avancée

*    Inégalité d'Ono (1914) démontrée vraie pour les triangles acutangle par Balitrand (1916) et fausse pour les autres cas, par exemple pour le triangle (1, ½, ¾) – Avec A = aire du triangle.

27 (a² + b² – c²)² (b² + c² – a²)² (c² + a² – b²)²  (4A)6

 

 

Aire du triangle quelconque

 

*    Le triangle quelconque ABC est partagé en deux triangles rectangles par la hauteur CH.

*    Chacun de ces deux triangles est dupliqué et accolé au triangle initial.

 

Calcul de l'aire

Aire du rectangle AHCHA = h . cA

Aire du rectangle BHCHB = h . cA

Aire du rectangle ABCBCA = h . c

 

Aire du triangle ABC = ½  h . c

 

L'aire du triangle est égale à la moitié de celle du rectangle.

Alternative

Couper la hauteur en deux moitiés et dessiner le rectangle. La tête bleue du triangle se loge dans les deux triangles jaunes. D'où la formule de l'aire: A = c x (h/2)

 

 

En fonction des trois côtés

(Méthode d'Al-Khwarizmi en 820)

 

Dans les deux triangles rectangles définis par la hauteur et avec le théorème de Pythagore.

 

h² = b² – (c – x)²

    = b² – c² + 2cx –x²

h² = a² – x²

 

b² – c² + 2cx = a²

x = (a² – b² + c²) / 2c

 

Triangle (13, 15, 14)

En reprenant les formules ci-dessus.

 

Le plus petit triangle acutangle avec une aire rationnelle.

 

Connus des Grecs, des Hindous et des Arabes. Même source ou alors découvertes séparées?

 

 

x = (13² – 15² + 14²) / (2x14)

  = 140 / 28 = 5

h² = 13² – 5² = 144

h = 12

A = ½ x 12 x 14 = 84

 

Voir Résolution complète

Voir Relations de Héron

 

 

 

AIRE des triangles – Comparaison

 

 

Tous les triangles de cette figure ont la même aire: AB x HH' / 2.

Un côté commun et un sommet sur une parallèle à ce côté commun.

 

Voir Démonstration du théorème de Thalès  /  Rapport des aires dans le triangle isocèle

 

 

AIRE proportionnelle dans le triangle

Calculons l'aire du triangle ABM et du triangle AMC.

 

Aire ABM = ½ bh

Aire AMC = ½ ch

 

Comparons ces deux aires

 

 

 

Une sécante dans un triangle quelconque partage le triangle en deux parties d'aires proportionnelles aux longueurs des segments découpés sur le côté.

 

Si b = c, la sécante est la médiane et cette médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
Si le triangle est en métal, il y a autant de matière d'un côté et de l'autre de la médiane; le centre de gravité est quelque part sur cette médiane

 

Voir Parallélogramme 123

 

 

Aire du triangle quelconque – Analytique

Dessinons le triangle sur un système d'axes qui permet de fixer les coordonnées des trois sommets.

*    M1 (x1, y1)

*    M2 (x2, y2)

*    M3 (x3, y3)

 

L'aire du triangle se calcule facilement en calculant l'aire des deux trapèzes (bleu et mauve) en déduisant l'aire du rectangle (jaune).

 

Dans le cas général (base non parallèle à l'axe x), le rectangle devient lui aussi un trapèze)

 

Rappel: aire du trapèze

Produit de la hauteur par la demi-somme des bases. >>>

Formulation analytique de l'aire du triangle

 

Application numérique

Voir Calcul analytique de l'aire du quadrilatère quelconque

 

 

 

  

Triangles quelconques - RELATIONS

On pose:

 

p   = 1/2 (a + b + c)

  =  p ( p – a  )( p – b )( p – c )

Ma = 1/2 ( b² + c² ) – 1/4 a²

 

 

 

Côtés

Hauteurs

Cercle

Circonscrit

Cercle

Inscrit

Périmètre

Facteur

 

a, b, c

ha, hb, hc

R

r

p

k

Hauteur

 

 

bc = 2ha R

 

 

ha = 2k / a

Médiane

ma = Ma

 

 

 

 

 

Gravité

 

AG = 2/3ha

 

 

 

 

Rayon

 

 

 

 

 

R = abc/ 4k

Aire

*

 A = 1/2 ah

abc / 4R

 

A = p r

A = k

 

* Voir Formule d'Héron

 

 

 

Triangles héroniens

 

Les triangles dont les mesures des côtés et de l'aire sont entières ou rationnelles sont dits héroniens.

Voir Triangles héroniens

Lorsque de tels triangles sont rectangles, ils donnent lieu à des développements considérables avec la notion de nombres congruents.

 

 

Bien gondolé, ce quelconque!

 

Suite

*    Construction des triangles

*    Résolution des triangles

*    Pavage avec le triangle quelconque

*    Point de Fermat du triangle quelconque

*    Trisection dans le triangle quelconque

*    Théorème Napoléon

 

Voir

*    Aire égale pour trois triangles dans un rectangle

*    Allumettes

*      Angle

*    Carrés

*    Centre de gravité

*    Cercles

*    Droite

*    Égalités des triangles

*    Jeux

*    Polygones

*    Probabilité d'obtenir un triangle obtusangle

*    Quadrupler le triangle

*    Résolution du triangle quelconque

*    Symétries

*      TriangleIndex

*      Triangle de Pythagore

*    Types de triangles

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