NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/10/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Définition >>> Propriétés >>> Aire du triangle quelconque – Principe >>> Aire du triangle quelconque – Comparaisons >>> Aires proportionnelles dans le triangle >>> Aire du triangle – Calcul analytique >>> Aire du triangle avec coordonnées des sommets >>> Aire du triangle via le DÉTERMINANT de vecteurs >>> Triangles quelconques – Relations >>> Construction du triangle quelconque >>> Triangle héroniens

TRIANGLES QUELCONQUES

Quelles sont leurs propriétés: les propriétés générales communes à tous les triangles ?

Comment calculer l'aire de ces triangles?

Anglais: arbitrary triangle

Source image : https://www.emaze.com

Définition du triangle quelconque & du triangle scalène

Triangle quelconque: aucune relation particulière avec les angles ou avec les côtés. Voir Types de triangles On aurait pu dire triangle "ordinaire" ou triangle "lambda". Le qualificatif quelconque est surtout utilisé pour introduire une hypothèse dans un énoncé: soit un triangle quelconque. On pourrait tout aussi bien dire: soit un triangle. En anglais: let ABC be any triangle. Le plus souvent, l'emploi du qualificatif "quelconque" vise à exclure des égalités sur les côtés ou des valeurs remarquables sur les angles, comme l'angle droit. Formellement la notion de triangle quelconque englobe toutes sortes de triangles. Cependant, cette précision avertit qu'il ne faut pas compter sur une propriété particulière pour conduire une démonstration sur ce triangle. Toute précision complémentaire sur le triangle lui retire son statut de quelconque. Cas du triangle scalène Le triangle scalène est proche du triangle quelconque avec cependant une nuance: cet adjectif a été introduit pour distinguer les triangles selon la longueur des côtés: 3 côtés égaux: triangle équilatéral, 2 côtés égaux: triangle isocèle, et 0 côtés égaux (tous de différentes longueurs): triangle scalène. Équilatéral Isocèle Scalène NB. les angles du triangle scalène sont également différents, mais il n'est pas interdit que l'un d'eux soit droit. Auquel cas, le triangle est rectangle non-isocèle. Anglais: A scalene triangle is a triangle that has no congruent sides. With a right angle, it is a right scalene triangle. Quelconques, mais "entiers": Si la longueur des côtés est un nombre entier, le triangle est un triangle entier. S'il est rectangle, il s'agit d'un triangle de Pythagore. Si de surcroit, l'aire est un nombre entier, le triangle est héronien.

Merci à Raphaël L.G. pour ses remarques pertinentes

Propriétés de tout triangle

Il n'est pas si simple de tracer un triangle quelconque en évitant une particularité sur les angles ou les côtés Voir Construction du triangle quelconque Générales La somme des trois angles est égale à 180° soit deux angles droits (ou encore radians. Ce qui implique que deux des angles sont toujours aigus. Voir Les trois géométries La somme des longueurs de deux côtés est toujours plus grande que la longueur du troisième côté. C'est l'inégalité triangulaire qui s'explique par le fait que la plus courte distance d'un point à un autre est la ligne droite. Soit trois longueurs, elles ne constituent un triangle que si l'une d'entre elles est plus grande que la somme des deux autres. La différence des longueurs de deux côtés est toujours plus petite que la longueur du troisième côté. Conséquence de la propriété précédente: si a + b > c alors en retranchant b de chaque côté: a > c – b. Au plus grand angle est opposé le plus grand côté. Résumé des propriétés des angles et des côtés Voir Brève 54-1079 Particulières Triangle isocèle: l'axe de symétrie est également bissectrice, médiane, médiatrice été hauteur. Triangle équilatéral: les trois axes de symétrie sont également bissectrice, médiane, médiatrice été hauteur. Avancée Inégalité d'Ono (1914) démontrée vraie pour les triangles acutangle par Balitrand (1916) et fausse pour les autres cas, par exemple pour le triangle (1, ½, ¾) – Avec A = aire du triangle. 27 (a² + b² – c²)² (b² + c² – a²)² (c² + a² – b²)² (4A)^6

Aire du triangle quelconque
Le triangle quelconque ABC est partagé en deux triangles rectangles par la hauteur CH. Chacun de ces deux triangles est dupliqué et accolé au triangle initial. Calcul de l'aire Aire du rectangle AHCHA = h . cA Aire du rectangle BHCHB = h . cB Aire du rectangle ABHBHA = h . c Aire du triangle ABC = ½ h . c	L'aire du triangle est égale à la moitié de celle du rectangle.
Alternative Couper la hauteur en deux moitiés et dessiner le rectangle. La tête bleue du triangle se loge dans les deux triangles jaunes. D'où la formule de l'aire: A = c x (h/2)
En fonction des trois côtés (Méthode d'Al-Khwarizmi en 820) Dans les deux triangles rectangles définis par la hauteur et avec le théorème de Pythagore.	h² = b² – (c – x)² = b² – c² + 2cx –x² h² = a² – x² b² – c² + 2cx = a² x = (a² – b² + c²) / 2c
Triangle (13, 15, 14) En reprenant les formules ci-dessus. Le plus petit triangle acutangle avec une aire rationnelle. Connus des Grecs, des Hindous et des Arabes. Même source ou alors découvertes séparées?	x = (13² – 15² + 14²) / (2x14) = 140 / 28 = 5 h² = 13² – 5² = 144 h = 12 A = ½ x 12 x 14 = 84 Voir Résolution complète

Voir Toutes les formules de calcul de l'aire du triangle /

Relations de Héron pour le calcul de l'aire en connaissant les côtés /

Coordonnées barycentriques dans le triangle

Devinette

Deux droites parallèles. Un segment AB formant la base de trois triangles ayant M, P et Q pour sommets. Quel est le triangle qui a la plus grande aire et celui qui a le plus petit périmètre ?

Solution

AIRE des triangles – Comparaison
Tous les triangles de cette figure ont la même aire: AB x HH' / 2. Un côté commun et un sommet sur une parallèle à ce côté commun.
Deux triangles de même sommet et de base alignées; le rapport de leur aire est égal au rapport des longueurs de leur base.

Voir Démonstration du théorème de Thalès / Rapport des aires dans le triangle isocèle /

Problème du triangle dans quatre carrés / Défi des cinq triangles dans le triangle / Trisection du quadrilatère

Énigme Comment calculer l'aire de la partie jaune par rapport à celle du triangle ? Les cercles sont identiques, le triangle est queconque.

Solution Les trois secteurs colorés, assemblés, forment un angle de 180° (somme des angles du triangle). Les trois secteurs non-jaunes du triangle forment un demi-cercle dont l'aire vaut L'aire de la partie jaune est égale à celle du triangle diminuée de celle du demi-cercle.

AIRE proportionnelle dans le triangle
Calculons l'aire du triangle ABM et du triangle AMC. Aire ABM = ½ bh Aire AMC = ½ ch Comparons ces deux aires
Une sécante dans un triangle quelconque partage le triangle en deux parties d'aires proportionnelles aux longueurs des segments découpés sur le côté. Si b = c, la sécante est la médiane et cette médiane partage le triangle en deux triangles de même aire. Si le triangle est en métal, il y a autant de matière d'un côté et de l'autre de la médiane; le centre de gravité est quelque part sur cette médiane

Voir Parallélogramme 123

Aire du triangle quelconque – Analytique
Dessinons le triangle sur un système d'axes qui permet de fixer les coordonnées des trois sommets. M1 (x1, y1) M2 (x2, y2) M3 (x3, y3) L'aire du triangle se calcule facilement en calculant l'aire des deux trapèzes (bleu et mauve) en déduisant l'aire du rectangle (jaune). Dans le cas général (base non parallèle à l'axe x), le rectangle devient lui aussi un trapèze)
Rappel: aire du trapèze	Produit de la hauteur par la demi-somme des bases. >>>
Formulation analytique de l'aire du triangle
Application numérique

Voir Calcul analytique de l'aire du quadrilatère quelconque

Aire du triangle avec coordonnées des sommets (calcul général)

Voir Aire du trapèze / Exercice sur l'aire du triangle / Exemple avec équation des droites

Aire du triangle via le déterminant de vecteurs
Triangle ABC
Aire du triangle ABC = valeur absolue du déterminant développé (jaune), aussi appelé produit mixte.
Exemples Triangle jaune: Aire = 42/ 2 = 21; Valeur vérifiable car le triangle est rectangle: ½ (6 x 7) = 21. Triangle rouge: Aire = 36 / 2 = 18; Valeur vérifiable graphiquement. Le triangle vert est égal au rouge à une rotation près. Aire du triangle vert: 7,2 x 5 = 18.

Voir démonstration en Aire du parallélogramme

Triangles quelconques - RELATIONS

On pose:

p = 1/2 (a + b + c)

k² = p ( p – a )( p – b )( p – c )

M_a = 1/2 ( b² + c² ) – 1/4 a²

	Côtés	Hauteurs	Cercle Circonscrit	Cercle Inscrit	Semi-périmètre	Facteur
	a, b, c	ha, hb, hc	R	r	p	k
Hauteur			bc = 2ha R			ha = 2k / a
Médiane	ma = Ma
Gravité		AG = 2/3ha
Rayon						R = abc/ 4k
Aire	*FH	1/2 a h	a b c / 4R	p r	p r	k

*FH Voir Formule d'Héron

Voir Toutes les relations pour la résolution du triangle quelconque

Exemple: Aire avec le rayon du cercle inscrit

Avec le cercle inscrit

Demi-périmètre = (10 + 5 + 8,0623) /2 = 11,53115

Aire du triangle = 11,53115 × 1,7344 = 19,999 …

Classique avec la hauteur

Aire du triangle = ½ 10 × 4 = 20

Notez que, du fait de 5 et 4, le pied de la hauteur coupe AB en 3 et 7.

Voir Démonstration de la formule / Brève 48-941

Triangles héroniens
Les triangles dont les mesures des côtés et de l'aire sont entières ou rationnelles sont dits héroniens. Voir Triangles héroniens Lorsque de tels triangles sont rectangles, ils donnent lieu à des développements considérables avec la notion de nombres congruents.

Bien gondolé, ce quelconque!

Devinette – Solution

Question Deux droites parallèles. Un segment AB formant la base de trois triangles ayant M, P et Q pour sommets. Quel est le triangle qui a la plus grande aire et celui qui a le plus petit périmètre ? Aire (A) Tous les triangles avec base AB et un sommet quelconque sur la droite PQ ont la même aire: A = ½ AB × MH. Périmètre (P) C'est le triangle isocèle AMB qui a le plus petit périmètre. En effet: Dessiner le point B' symétrique de B par rapport à la parallèle MQ. MS est la médiatrice de BB' MB = MB' et QB = QB' Périmètres: PAMB = AM + MB + BA = AB' + AB PAQB = AQ + QB + BA = AQ + QB' + AB Or, dans le triangle AQB': AB' < AQ + QB' Lorsque le point Q se rapproche de M, le périmètre diminue. Il est minimum lorsque Q = M; le triangle est alors isocèle.

Aire APB = Aire AMB = aire AQB = AB x MH / 2 AB' < AQ + QB' Le triangle isocèle a le plus petit périmètre.

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Merci à Dan B. et Philippe S. pour leurs remarques pertinentes

Suite	Construction des triangles Pavage avec le triangle quelconque Point de Fermat du triangle quelconque Relations pour la résolution du triangle quelconque Résolution des triangles Théorème Napoléon Tout triangle quelconque est isocèle (?) Trisection dans le triangle quelconque Trois carrés sur le triangle
Voir	Aires des bandes dans le triangle - Énigme Aire égale pour trois triangles dans un rectangle Allumettes Angle Carrés Centre de gravité Cercles Droite Égalités des triangles Formulaires – Index Jeux Polygones Probabilité d'obtenir un triangle obtusangle Quadrupler le triangle Résolution du triangle quelconque Symétries Triangle – Index Triangle de Pythagore Types de triangles
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