Théorème de Pythagore, Démonstrations historiques

Édition du: 19/09/2023

INDEX Triangles Géométrie Puissances	Théorème de Pythagore
	Débutants	Nomenclature – Types de démonstrations		Applications
	Toute figure	Approche	Calcul Aires	Dissections
	Triplets de P.	Historiques	Similitudes	Hypoténuse
	Pappus-Clairaut	Chinoise (Chou Pei)	Algébrique	Pyramide

Démonstrations historiques du

Théorème de Pythagore

Revue des nombreuses démonstrations de ce célèbre théorème dit de Pythagore. Cette page présente certaines démonstrations dues çà des hommes célèbres (on en trouvera d'autres pages).

Toutes les démonstrations connues ont été recensées en 1940 (2^e édition) par Elisha Loomis (1852-1940). Henry Dudeney (1857-1930) a publié de nombreuses dissections (puzzles ou casse-têtes).

Sommaire de cette page

>>> Antiquité

>>> Démonstration de Liu Hui

>>> Démonstration d'Euclide

>>> Démonstration de Léonard de Vinci

>>> Démonstration telle que présentée en 1634

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Voir Types de démonstrations du théorème de Pythagore

Antiquité		haut
Babylone (vers -1700) Ce dessin mésopotamien représente le relevé des nombres cunéiformes figurant sur une tablette. Ils sont exprimés par des fractions en base 60. Une très bonne approximation de racine de 2.
Chine (entre – 1000 et 200) Les Chinois connaissaient les propriétés du triangle rectangle vers -1100 (Tschou-Gun). Ce dessin chinois représente une preuve très ancienne figurant dans le Zhoubi Saunjing. L'aire du carré oblique vaut la moitié de 4 fois les rectangles 3x4 plus une unité: 2 x 24 + 1 = 25; et, côté de ce carré vaut: 5. Inde (entre – 800 et – 600) Ce théorème a été aussi mentionné dans les Baudhayana Sulba-sutra. Dans les deux cas la relation du théorème n'est pas exprimée explicitement, mais les indications s'y ramènent. Voir Démonstration de Chou Pei Suan Ching / Brève 53-1058
Égypte (avant – 600) Ils connaissaient les propriétés du triangle rectangle et les triplets associés. Le triangle isiaque (3, 4, 5), sacré pour les prêtres égyptiens. Les triplets pour les arpenteurs: ils mesuraient 6 pieds, 8 pieds sur les côtes du triangle et s'arrangeant pour avoir 10 pieds sur le troisième côté.
Pythagore (vers – 580 à – 495) Pythagore et son école sont sans doute les premiers à avoir démontré ce théorème qui porte. La raison est à chercher dans le fait que cette école considérait toute mesure commensurable à l'unité. Les figures ne comportant que des nombres entiers ont sans doute été propices au raisonnement. Pythagore connaissait le triangle isiaque (3, 4, 5), utilisé quatre fois sur cette figure pour démonter le théorème. Lui et son école avaient mis en évidence les triplets dits de Pythagore. Ils auraient démontré ce théorème vers - 540. Cependant de nombreux chercheurs réfutent l'idée que Pythagore en soit l'auteur. En tout cas, nous ne connaissons pas la démonstration de Pythagore.

Démonstration de Liu Hui

haut

Démonstration par dissection.

Puzzle de Gouzu par Liu Hui

Puzzle reconstitué d'après les commentaires de Liu Hui dans le livre: Jiuzhang suanshu (Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique – 206 av.–220 apr. J.-C.) et le Zhoubi Suanjing

Instructions

Liu Hui donne des couleurs aux triangles et indique ceux qui doivent sortir (découpe) et se placer (doigt) pour former le grand carré oblique.

Notez que les trois déplacements à effectuer, se réalise par une translation en diagonale.

Interprétation d'après Liu Hui

Puzzle en deux étapes

Démonstration d'Euclide		haut
Démonstration express par transitivité des aires	1) Le triangle rectangle initial et deux carrés sur les côtés. 2) Les deux parallélogrammes ont même aire que les carrés. 3) En les faisant glisser, ils se plaquent sur le triangle initial. 4) Ces parallélogrammes ont la même aire que les rectangles dont la somme des aires est celle du grand carré.

Démonstration détaillée

Proposition 47 du livre I (I, 47) des Éléments d'Euclide (vers -300).

Construction

Triangle rectangle ABC.

Les carrés construits sur les côtés.

La perpendiculaire BL.

Démonstration

Deux couples de triangles colorés qui ont la même aire car même base et sommet sur une parallèle à la base:
Aires: AFG = AFC
Aires: ADL = ADB

Les deux triangles colorés AFC et ABD sont égaux (isométriques):

· du fait des carrés:
AF = AB, et

AC = AD.

· Angles en A
FAC = 90° + a, et
BAD = a + 90°

Effectivement avec un angle et deux côtés égaux les deux triangles dont isométriques.
Aires: AFC = ABD

On reprend nos égalités:
Aires: AFG = AFC
Aires: AFC = ABD
Aires: ABD = ADL

Par transition:
AFG = ADL = Aire de chacun des triangles marron

Par addition:
Aire carré ABGF = Aire AMLD

Même raisonnement avec la partie droite qui conduit à l'égalité des surfaces jaunes

Addition:

Aire du petit carré + aire du moyen carré
= aire du grand carré.

Démonstration de Léonard de Vinci (1452-1519)			haut
Construction Un triangle rectangle T₁. Carrés notés A, B et C le long des côtés du triangle T₁. Le triangle T₂ est obtenu par rotation de 180° de T₁ autour du sommet de l'angle droit. Le triangle T₃ est construit sur un côté du carré C; il est identique à T₁. C'est possible car ils ont une longueur d'hypoténuse commune.
Principe de la démonstration (en termes d'aires)
VERT = VERT pointillé ROUGE = ROUGE pointillé	VERT = ROUGE	VERT = ROUGE
Alignement (figure du haut) On construit le segment FK qui partage les deux carrés jaunes en deux parties égales le long de leur diagonale. C'est un axe de symétrie. Les deux triangles T₁ et T₂ sont isométriques; alors, le point B se trouve sur l'axe de symétrie; les points F, B et K sont colinéaires. Deux hexagones partagés en deux parties égales ACKHGF (vert) et ADLECB (rouge). Ils sont tous deux partagés en deux parties égales par FK et par BL. En effet: · Dans le cas VERT: chaque moitié contient les moitiés des deux carrés jaunes et un triangle identique de chaque côté. · Dans le cas ROUGE: les deux triangles sont partagés de la même manière; ainsi que le carré bleu. Symétrie axiale de centre le milieu de BL. Comparaison VERT et ROUGE (figure du bas) Quadrilatère ACKF (vert) et ADLB (rouge). Ils semblent identiques et superposables par rotation de 90° autour de A. Effectivement: Angle FAC = angle BAD = α + 90° Angle ACK = angle ADL = β + 90° FA = AB ; AC = AD; CK = DL Les deux quadrilatères (vert et rouge) ont deux angles respectivement égaux situés entre trois côtés respectivement égaux, ils sont isométriques. Comparaison des deux hexagones En doublant chacun des quadrilatères, on obtient deux hexagones isométriques: ACKHGF et ADLECB. Chacun contient deux triangles T. En retirant ces deux triangles en haut, il reste les deux carrés jaunes et en retirant deux triangles en bas, il reste le carré bleu. Conclusion: aire des deux carrés jaunes = aire du carré bleu.

Merci à Michaël Aupetit pour ses remarques

Démonstration telle que présentée en 1634

Cours mathématique demonstré d'une nouvelle, briefve et claire méthode

De Pierre Hérigone (Mathématicien) – 1634

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Sites	· Quelles démonstrations pour le théorème de Pythagore ? – Alain Bernard et Brigitte Roussel Voir liste des liens
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Pythagore/DemoHi.htm