Hexagone

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		Sommaire de cette page >>> Hexagone >>> Tracé de l'hexagone au compas >>> Calcul de l'aire de l'hexagone régulier >>> Construction >>> Hexagone de Graham >>> Étoile mystique de Pascal >>> Théorème de Pappus >>> Quelques hexagones typiques

HEXAGONE & ÉTOILE à 6 branches

La FRANCE est en forme d'hexagone, avec six côtés réguliers:

Trois côtés sont maritimes, et

Trois côtés sont terrestres.

Pavage avec des hexagones

HEXA GONE

du grec:

hexa, six,

gônia, angle

Les SIX-GONES sont de retour! ou

Gambas les SIX-GONES

Quand passent les cigognes:

film soviétique de Mikhail Kalatozov – 1957.

Gone est synonyme de gosse, moufflet …

Voir Pensées & humour / Épigone

Les flocons de neige (snowflake) ont la forme d'étoiles à 6 branches.

Les alvéoles des ruches sont hexagonales

(The cells of a beehive honeycomb are hexagonal)

Devinette

Cet hexagone irrégulier est construit à partir d'un triangle quelconque.

Chaque côté est prolongé de part et d'autre d'une longueur précisément égale à celle du côté prolongé.

Quelle est l'aire de l'hexagone en fonction de cette du triangle ?

Brève 363

Solution

HEXAGONE

Polygone Hexagone régulier Angles intérieurs Périmètre	à six côtés les six côtés sont égaux (a) 120° 6a
Aire hexagone régulier
Aire hexagone régulier unité Aire du cercle de même rayon unité	2, 598076 … 3, 1416 …
Pavage	infini du plan (comme triangle équilatéral ou le carré).

Anglais: hexagon (sexagon). An hexagon is a six-sided polygon

Tracé de l'hexagone régulier au compas

· Dessin initial du cercle rose.

· Avec la même ouverture du compas, choisir un point quelconque sur ce cercle et dessiner le cercle bleu.

· En conservant l'ouverture du compas, dessiner le cercle vert ayant pour centre un des points d'intersection des deux premiers cercles.

· Le segment rouge est l'un des côtés de l'hexagone.

· Poursuivre la même procédure pour les autres côtés.

Notez que cette construction permet la trisection de l'angle de 180° en angles de 60°.

Tracé complet

Calcul de l'aire de l'hexagone régulier
· L'hexagone régulier est formé de six triangles équilatéraux de côté a ou de 12 triangles rectangles de côtés: a, a/2 et h. · Avec Pythagore: · Aire du triangle rectangle: · Aire de l'hexagone:	h est l'apothème

Voir Construction / Autres mesures dans l'hexagone / Six cercles +1 / Rosace

Merci à Patrick H.

HEXAGONE DE GRAHAM (1975)
· Aire de l'hexagone régulier de diamètre unité. · Aire de l'hexagone de Graham: diamètre unité et aire maximale. · Supplément de surface entre les deux		0, 649 519 … 0, 674 981… 3,92 %
· Alors que l'aire de l'hexagone régulier est connue directement
· Celle de l'hexagone de Graham est racine de l'équation	4096 x¹⁰ +8192x⁹ − 3008x⁸ − 30848x⁷ + 21056x⁶ + 146496x⁵ − 221360x⁴ + 1232x³ + 144464x² − 78488x + 11993 = 0

Anglais: Graham's biggest little hexagon.

Polygon whose diameter is 1, and it has largest area.

ÉTOILE MYSTIQUE de Pascal

Hexagramma Mysticum

· Découverte par Pascal en 1640, à l'âge de 16 ans.

· Six points sur une conique (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Les intersections A, B, C sont trois points alignés.

· Les six points forment un hexagone. Soit le théorème:

Dans tout hexagone inscrit dans une conique, il existe trois couples de cordes dont les trois points de concours sont alignés.

Voir Théorème de Pascal / Théorème de Brianchon

Théorème de Pappus

· Un cas particulier avait déjà été trouvé par Pappus d'Alexandrie (vers 300 ap. J.-C.)

· Deux droites, trois points quelconques sur chacune des deux droites.

Les droites dessinées, celles qui joignent les deux points autres que le vis-à-vis, se coupent en trois points alignés. Les pointa A, B et C sont situés sur la droite de Pappus.

Réciproque du théorème de Pappus

· Soit deux points, et trois droites passant par chaque point.
On obtient six points d'intersection. Les trois droites les reliant deux à deux sont concourantes.

· Plus précisément:

· Les trois droites bleues concourantes (A,B,C) et les trois vertes (a,b,c);

· Les couples de points d'intersection: (A,c) et (C,a) ; (A,b) et (B,a); et (B,c) et (C,b) sont reliés pour former les trois droites rouges.

· Ces trois droites rouges sont concourantes, dit la réciproque du théorème de Pappus.

Cas du rectangle (droites parallèles)

· Un cas particulier est constitué par le rectangle. Il existe 6 combinaisons de ce type dans un rectangle:

Voir Théorème de Ménélaüs / Homologie / Points / 10 Arbres / Théorème de Pappus-Clairaut

Devinette – Solution

Le tracé des parallèles (en vert) à chaque côté du triangle et passant par le sommet opposé, révèle une figure comportant 12 triangles qui sont égaux* au triangle original.

L'aire de l'hexagone est donc égale à 13 fois celle du triangle originel.

H = 13 t

Explications

Les triangles formés par le prolongement des côtés sont égaux: un angle égal et deux côtés égaux (Illustration du milieu).

Du fait du tracé des parallèles, les autres triangles (Illustration du bas) sont également égaux: un angle égal et deux côtés égaux.

* Aujourd'hui, on dit superposables ou isométriques.