NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 28/09/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Polygones

 

Débutants

Général

HEXAGONE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Polygones

 

Géométrie

 

Généralités

Dimensions

Pavage

Rosace

Hexagramme

Construction

Puzzle

Magique

 

 

Sommaire de cette page

>>> Hexagone

>>> Construction

>>> Hexagone de Graham

>>> Étoile mystique de Pascal

>>> Théorème de Pappus

 

 

 

HEXAGONE & ÉTOILE à 6 branches

La FRANCE est en forme d'hexagone, avec six côtés réguliers:

*      Trois côtés sont maritimes, et

*      Trois côtés sont terrestres.

Pavage avec des hexagones

 

 

 

HEXA GONE

du grec:

hexa,   six,

gônia, angle

Les SIX-GONES sont de retour! ou

Gambas les SIX-GONES

Quand passent les cigognes:

film soviétique de Mikhail Kalatozov – 1957.

Gone est synonyme de gosse, moufflet …

Voir Pensées & humour / Épigone

 

 

Les flocons de neige (snowflake) ont la forme d'étoiles à 6 branches.

 

snowflake.jpg

Les alvéoles des ruches sont hexagonales

(The cells of a beehive honeycomb are hexagonal)

honeycomb.jpg

 

 

HEXAGONE

Polygone

Hexagone régulier

Angles intérieurs

Périmètre

à six côtés

les six côtés sont égaux (a)

120°

6a

 

Aire hexagone régulier

Aire hexagone régulier unité

Aire du cercle de même rayon unité

2, 598076 …

3, 1416 …

Pavage

infini du plan (comme triangle équilatéral ou le carré).

Anglais: hexagon (sexagon). An hexagon is a six-sided polygon

 

 

Tracé de l'hexagone au compas

 

*      Dessin initial du cercle rose.

*      Avec la même ouverture du compas, choisir un point quelconque sur ce cercle et dessiner le cercle bleu.

*      En conservant l'ouverture du compas, dessiner le cercle vert ayant pour centre un des points d'intersection des deux premiers cercles.

*      Le segment rouge est l'un des côtés de l'hexagone.

*      Poursuivre la même procédure pour les autres côtés.

 

Notez que cette construction permet la trisection de l'angle de 180° en angles de 60°.



 

Tracé complet

 

 

 

Calcul de l'aire de l'hexagone régulier

 

*    L'hexagone régulier est formé de six triangles équilatéraux de côté a ou de 12 triangles rectangles de côtés: a, a/2 et h.

*    Avec Pythagore:

*    Aire du triangle rectangle:

*    Aire de l'hexagone:

 

h est l'apothème

Voir Construction / Six cercles +1 / Rosace

 

 

HEXAGONE DE GRAHAM (1975)

 

*    Aire de l'hexagone régulier de diamètre unité.

*    Aire de l'hexagone de Graham: diamètre unité et aire maximale.

*    Supplément de surface entre les deux

 

0, 649 519 …

0, 674 981…

 

3,92 %

*    Alors que l'aire de l'hexagone régulier est connue directement

*    Celle de l'hexagone de Graham est racine de l'équation

 

4096 x10 +8192x9 − 3008x8 − 30848x7 + 21056x6 + 146496x5 − 221360x4 + 1232x3 + 144464x2 − 78488x + 11993 = 0

Anglais: Graham's biggest little hexagon.

Polygon whose diameter is 1, and it has largest area.

 

 

ÉTOILE MYSTIQUE de Pascal

Hexagramma Mysticum

 

*    Découverte par Pascal en 1640, à l'âge de 16 ans.

 

*    Six points sur une conique (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Les intersections A, B, C sont trois points alignés.


 

*    Les six points forment un hexagone. Soit le théorème:

 

Dans tout hexagone inscrit dans une conique, il existe trois couples de cordes dont les trois points de concours sont alignés.

 

Voir Théorème de Pascal / Théorème de Brianchon

 

Théorème de Pappus

 

*    Un cas particulier avait déjà été trouvé par Pappus d'Alexandrie (300 av. J.-C.)

 

*    Deux droites, trois points quelconques sur chacune des deux droites.

Les droites dessinées, celles qui joignent les deux points autres que le vis-à-vis, se coupent en trois points alignés. Les pointa A, B et C sont situés sur la droite de Pappus.


 

Réciproque du théorème de Pappus

 

*    Soit deux points, et trois droites passant par chaque point.
On obtient six points d'intersection. Les trois droites les reliant deux à deux sont concourantes.

*    Plus précisément:

*         Les trois droites bleues concourantes (A,B,C) et les trois vertes (a,b,c);

*         Les couples de points d'intersection: (A,c) et (C,a) ; (A,b) et (B,a); et (B,c) et (C,b) sont reliés pour former les trois droites rouges.

*         Ces trois droites rouges sont concourantes, dit la réciproque du théorème de Pappus.

 

Cas du rectangle (droites parallèles)

 

*    Un cas particulier est constitué par le rectangle. Il existe 6 combinaisons de ce type dans un rectangle:

 

 

 

 Voir Théorème de Ménélaüs / Homologie / Points / 10 Arbres

 

 

Quelques hexagones typiques

Voir Fractale de Koch

 

  

 

Suite

*       Hexagone – Pavage

*       Hexagone – Rosace

*       Hexagramme, étoile de David

*       Hexagone dans le carré

*       Hexagone dans le carré magique de Dürer

*       Jeu du Rikudo – grille hexagonale

*       Triangles dans l'hexagone

*       Bissection de l'hexagone par un cercle

*       Convergence vers une étoile à six branches

Voir

*       Cercle en 6

*       Chiffre SIX

*       Combien de triangles

*       Étoile à 5 branches

*       France

*       Géométrie

*       Nombres étoilés

*       Polygones

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/SixEtoi.htm