NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

Introduction

Addition

Multiplication

Formes

Déterminant

Inversion

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Multiplication 2 x 2

>>> Multiplication 3 x 3

>>> Multiplication & permutation de matrices

 

 

 

 

MATRICES – Multiplication

 

La multiplication: une opération un peu compliquée, mais une fois apprivoisée …

 

 Voici le genre de calculs à effectuer:

Une application ludique: la manipulation de carrés latins >>>

 

 

 

APPROCHE

 

Multiplier par un nombre, facile: il s'agit d'une addition multiple: 3 x 4 = 4 + 4 + 4.

 

Voyons pour deux matrices simples: vecteur-ligne par vecteur-colonne

Somme des produits des coefficients de même rang.

 

Le produit est dit "produit scalaire".

 

4

5

6

=

20

24

7

8

28

32

 

 

1

2

5

= 1x5 + 2x7 = 19

 

 

7

 

 

 

 

 

5

= 2x5 - 4x6 + 8x7

= 10 – 24 + 56

= 42

2

4

8

-6

 

 

 

7

 

 

 

 

MULTIPLICATION Matrice 2 x 2

 

 

 

La matrice résultat est formée de coefficients qui sont le produit de la matrice ligne par la matrice colonne, toutes deux correspondant au rang du coefficient résultat.

 

 

1

2

5

6

=

a

b

3

4

7

8

c

d

 

 

Calcul

 

1

2

5

= 1x5 + 2x7 = 19 = a

 

 

7

 

1

2

6

= 1x6 + 2x8 = 22 = b

 

 

8

 

3

4

5

= 3x5 + 4x7 = 43 = c

 

 

7

 

 

3

4

6

= 3x6 + 4x8 = 50 = d

 

 

8

 

Résultat

 

 

1

2

5

6

=

19

22

3

4

7

8

43

50

 

 

 

 

Quelques résultats pour vous entraîner.

 

1

0

1

1

=

1

1

0

1

1

1

1

1

 

0

1

1

1

=

0

1

1

1

0

1

1

2

 

1

1

1

0

=

2

0

0

0

1

0

0

0

 

1

1

1

1

=

2

2

1

1

1

1

2

2

 

1

1

1

1

=

0

0

1

1

-1

-1

0

0

 

1

1

2

2

=

3

3

2

2

1

1

6

6

 

1

0

a

b

=

a

b

0

1

c

d

c

d

 

10

11

7

8

=

169

190

12

13

9

10

201

226

 

 

Formule générique:

 

 

a

b

x

y

=

ax + bz

ay + bt

c

d

z

t

cx + dz

cy + dt

 

 

 

 

MULTIPLICATION Matrice 3 x 3

 

 

 

Même principe que pour 2 x 2

en utilisant, pour chaque nouveau coefficient,

le produit de la ligne par la colonne

qui lui correspond.

 

1

2

3

x

1

2

3

=

a

b

c

2

3

1

2

3

1

d

e

f

3

1

2

3

1

2

g

h

i

 

Calcul

 

 

 

 

x

1

= 1x1 + 2x2 + 3x3

= 14= a

1

2

3

2

 

 

 

3

 

 

 

 

x

2

= 1x2 + 2x3 + 3x1

= 11= b

1

2

3

3

 

 

 

1

Etc.

 

 

Résultat

1

2

3

 

1

2

3

 

14

11

11

2

3

1

2

3

1

11

14

11

3

1

2

 

3

1

2

 

11

11

14

 

 

 

 

Quelques résultats pour vous entraîner

 

 

1

0

0

x

1

2

3

=

1

2

3

0

1

0

4

5

6

4

5

6

0

0

1

7

8

9

7

8

9

 

1

1

1

x

1

2

3

=

12

15

18

1

1

1

4

5

6

12

15

18

1

1

1

7

8

9

12

15

18

 

1

1

1

x

2

2

2

=

6

6

6

1

1

1

2

2

2

6

6

6

1

1

1

2

2

2

6

6

6

 

1

1

1

x

2

2

0

=

6

6

0

1

1

1

2

2

0

6

6

0

0

0

0

2

2

0

0

0

0

 

1

2

3

x

1

2

3

=

30

36

42

4

5

6

4

5

6

66

81

96

7

8

9

7

8

9

102

126

150

 

8

9

10

x

16

15

14

=

345

318

291

11

12

13

13

12

11

462

426

390

14

15

16

10

9

8

579

534

489

 

1

-1

1

x

a

b

c

=

a-96

b-96

c-96

-1

1

-1

100

100

100

-a+96

-b+96

-c+96

1

-1

1

4

4

4

a-96

b-96

c-96

 

 

Formule générique

a

b

c

x

x

y

z

d

e

f

r

s

t

g

h

i

u

v

w

 

=

ax + br + cu

ay + bs + cv

az + bt + cw

dx + er + fu

dy + es + fv

dz + et + fw

gx + hr + iu

gy + hs + iv

gz + ht + iw

 

NB

Le produit de deux matrices est toujours possible sur des matrices carrées.

 

Il est aussi possible si le nombre de colonnes de A et égal au nombre de lignes de B.

 

Exemple de produit de matrices (2,4) par (4,2), résultat une matrice 4,4)

 

1

4

x

 

 

 

 

=

17

14

11

8

2

3

1

2

3

4

14

13

12

11

3

2

4

3

2

1

11

12

13

14

4

1

 

 

 

 

8

11

14

17

 

Calcul

 

1

4

x

1

= 1x1 + 4x4 = 17

 

 

4

 

1

4

x

2

= 1x2 + 4x3 = 14

 

 

3

Etc.

 

 

 

Multiplication & permutation de matrices

Comment par simple multiplication permuter les lignes et les colonnes d'une matrice?

 

Ce cas se pose dans le traitement des carrés latins. Comment passer d'un carré latin quelconque à un carré latin normalisé (ou standard): sa première ligne comme sa première colonne montrent les nombres de 1 à n dans l'ordre.

 

 

Carré latin quelconque     &     Carré latin normalisé

 

 

Tous les carrés latins peuvent être normalisés par permutations des lignes et des colonnes.

 

Sélection d'une ligne ou d'une colonne

Multiplication par une matrice comportant un seul 1: effet ?

Attention la multiplication de matrices n'est pas commutative.

Déplacement de ligne ou de colonnes

 

Ante-multiplication: le 1 positionne en (2,3) déplace la ligne 3 en position 2.

Post-multiplication: le 1 positionne en (2,3) déplace la colonne 2 en position 3.

Normalisation du carré latin

 

La première matrice avec une ante-multiplication arrange les lignes en bon ordre.

 

Exemple: le 1 sur la première ligne indique que je vais chercher la 4e ligne pour la mettre en première ligne.

 

La seconde matrice avec une post-multiplication arrange les colonnes en bon ordre.

Suite en  Mathématique des carrés latins

 

 

 

 

 

Suite

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