NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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RUBRIQUE   Nombres

 

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Général

Formes permutées

 

Glossaire

Général

 

INDEX

 

Permutations

 

Motifs

 

Général

Divisibilité

12345

Algorithme simples

Algorithmes rapides

Cycles

Calcul quantité de cycles

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres permutés

>>> Quantité

>>> Somme des permutés circulairement

>>> Somme de tous les permutés

>>> Formule de la somme pour n chiffres

>>> Somme des chiffres permutés – Programme

>>> Différence des nombres permutés

>>> Multiplications permutantes

>>> Permutations – Index

>>> Permutation circulaire – Programmation

 

 

 

Nombres permutés

 

Nombres obtenus par permutation des chiffres d'un nombre, par échange des chiffres les uns avec les autres.

 

Somme des permutés en bref

 

 

Nombres permutés

 

Permutations quelconques

 

Ce sont tous les nombres obtenus par échanges des chiffres les uns par les autres.

 

Exemples

123456789 un nombre.

987654321 une forme permutée de ce nombre.

213456789 une autre forme permutée.

 

Permutations circulaires

 

Dans une permutation circulaire, les chiffres sont tous décalés vers la droite (ou vers la gauche).

 

Exemples

123456789 un nombre.

234567891 une permutation circulaire de ce nombre.

345678912 une autre permutation.

 

Le nom vient du fait que si l'on imaginait les objets disposés en cercle, la permutation circulaire consisterait simplement à faire tourner le cercle sur lui-même.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quantité (P) de nombre permutés

Avec deux chiffres distincts, il n'existe que deux possibilités. Échange des unités et des dizaines.

 

23

32 

Les deux permutations de 23.

q = 2 chiffres; P = 2 permutations

Avec trois chiffres distincts, comptons les permutations (avec n = 234)

*      le 2 étant posé, il ya 2 permutations.

*      le 3 étant posé, il ya 2 permutations.

*      le 4 étant posé, il ya 2 permutations.

*      Soit P = 3 x 2 permutations.

234

243

324

342

423

432

Les six permutations de 234.

q = 3 chiffres; P = 6 permutations

*      Avec quatre chiffres distincts, nous aurons 6 permutations pour chacune des quatre possibilités pour le premier chiffre.

*      Soit p = 4 x 6

Ou encore: P = 4 x 3 x 2

Ce qui fait: P = 4!

Les 24 permutations de 1234.

q = 4 chiffres; P = 24 permutations

*      Si q est la quantité de chiffres de n, la quantité de nombres permutés obtenus à partir de n est égale à factorielle q (noté q!)

Les P permutations de n.

Avec q chiffres distincts;

P = q!  permutations

*      Dans le cas de répétitions de chiffres, la quantité de permutations est divisée par le produit des factorielles des quantités de chaque chiffre.

Exemple

Avec 111223, on a:

6! = 720 permutations dont 3! x 2! = 12 fois redondantes soit: 720 / 12 = 60 permutations pures.

Voir le cas de Mississippi pour explications.

 

 

Somme des nombres

permutés circulairement

 

Cas d'un nombre à trois chiffres:

 

Par définition, un chiffre occupera successivement chacune des positions dans le nombre.

 

De même chaque position du nombre verra défiler chacun des chiffres du nombre.

 

  

 

La somme dans chaque colonne est égale à la somme des chiffres.

Spcircul. = 111 Schiffres

 

Voir Nombre 666

Généralisation à un nombre n de q chiffres.

 

Notez que K est fonction de la quantité de chiffre et non de la nature des chiffres

 

Spcircul. = 11…1q fois    Schiffres

 

 

Exemple avec 1234

1234 + 2341 + 3412 + 4123

= 1 111 x 10 = 11 110

Exemple avec 3456

3456 + 4563 + 5634 + 6345

= 1 111 x 18 = 19 998

 

Exemples

Somme des permutations circulaires des nombres successifs en 123 …

1234 + 2341 + 3412 + 4123 = 11110

1, 1

12, 33

123, 666

1234, 11110

12345, 166665

123456, 2333331

1234567, 31111108

12345678, 399999996

123456789, 4999999995

 

Nombres SPC

Nombres égaux à la somme de tous les nombres obtenus par permutation circulaire des chiffres. Plusieurs nombres permutés sont possibles comme le montre le tableau.

 

Exemple

176 = 79 + 97

        = 88 + 88

        = 97 + 79

 

Observation

La somme des chiffres de chaque nombre à permuter est constante (16 pour l'exemple ci-dessus).

De 100 à 1000, on rencontre les nombres en 100 ci-dessus et les seuls repdigits à trois chiffres ci-contre. (Le successeur de 198 est 222).

 

Avec quatre chiffres, les nombres à permuter sont ceux dont la somme des chiffres à pour unité l'unité des nombres.

Exemple: 1110, [109, 118, 127, 136, 145,…]

                   1998, [189, 279, 288, 369, 378, …]

Avec quatre chiffres, on a:
1110, 1111, 1221, 1332, 1443, 1554, 1665, 1776, 1887, 1998, 2109, 2220, 2222, 2331, 2442, 2553, 2664, 2775, 2886, 2997, 3333, 4444 ….

Voir Programmation des permutations circulaires / Nombre sommes de retournés / Nombre NRC

 

 

Somme des nombres permutés

 

Nous allons monter que la somme de tous les nombres permutés ne dépend que de la somme des chiffres du nombre.

 

Spermutations = k . Schiffres

 

Hypothèse: les chiffres sont tous distincts.

Sinon les permutations sont moins pertinentes.

2 chiffres

Ex: 23 + 32 = 55 = 11 x 5

 

Un nombre de deux chiffres ajouté à son retourné est divisible par 11.

3 chiffres

Ex:

234+243+324+342+423+432

= 1998 = 222 x 9

 

Voir Divisibilité par 222

4 chiffres

Ex: 1234 + 1243+ … + 4321

= 66 660 = 6 666 x 10

Remarquez que le 6 qui intervient est le 6 de 3!

Sp = 6 000 Sc + 600 Sc

                 + 60 Sc + 6 Sc

Sp = 6 666 Sc

5 chiffres

Ex: 12345 + 12354+ … + 54321

= 266 664 x 15 = 3 999 960

 

Calcul du coefficient avec 4! = 24

 

 

Sp = 266 664 Sc

 

6 chiffres avec 5! = 120

 

Sp = 13 333 320 Sc

Nombres de 100 à 1000, sommes de toutes les permutations des chiffres d'un nombre

 

Exemple
666 = 12 + 21 + 102 + 120 + 201 + 210

          = 114 + 141 + 411

             = 33 + 303 + 330

           = 6 + 60 + 600

 

110, [19, 28, 37, 46, 64, 73, 82, 91]

111, [100, 111]

121, [29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92]

132, [39, 48, 57, 75, 84, 93]

143, [49, 58, 67, 76, 85, 94]

154, [59, 68, 86, 95]

165, [69, 78, 87, 96]

176, [79, 97]

187, [89, 98]

222, [101, 200, 222]

333, [300, 333]

444, [112, 202,  400, 444]

555, [113, 122,  500, 555]

666, [102, 114, 303, 600, 666]

777, [115, 133, 223, 700, 777]

888, [103, 116, 224, 233, 404, 800, 888]

999, [117, 144,  225, 900, 999]

Les suivants

Liste

1110, 1221, 1332, 1443, 1554, 1665, 1775, 1887, 1998, 2109, 2220, 2222, 2331, 2442, 2553, 2664, 2775, 2886, 3108…

Exemple

1998, [108, 126, 135, 207, 234, 288, 306, 405, 477, 558, 909, 990]

 

 

Formule de la somme des permutés pour n chiffres

 

Calcul direct

Chaque colonne du tableau comporte les mêmes chiffres, mais pas dans le même ordre.

De sorte que la somme de tous les nombres permutés est égale à la somme de chacun des chiffres d'une colonne, pondérée par la puissance de 10 qui correspond à la position de la colonne.

En considérant la colonne de gauche, la quantité de lignes répétitives est égale à (n – 1)! Pour l'exemple: n = 4, ce qui donne: 3! = 6 lignes dans chacun des quatre blocs; chaque bloc contenant un chiffre différent en colonne de gauche.

La somme du tableau en exemple est égale à:

 

Le nombre en jaune est un repunit à  quatre chiffres qui s'écrit aussi:

 

Soit la formule générale :

 

qn  = quantité de chiffres dans n et Sc = la somme des chiffres de n.

 

Les 24 permutations du nombre 4321

Somme de toutes ces permutations: 66 660

 

Cas de la répétition de chiffres

Dans ce cas la quantité de permutations est divisée par un coefficient de répétions R (élimination de permutations identiques).

Si le chiffre C est répété c fois, il faut diviser par c! (Voir comment ces répétions sont traitées avec le cas de Mississippi)

 

Avec R = c1! x c2! … la formule devient:

 

 

Exemple

Avec 111223, on a:

6! = 720 permutations dont 3! x 2! = 12 fois redondantes soit: 720 / 12 = 60 permutations pures

 

S = 120 x 111111 x 10 / 12

S =  11 111 100

 

Avec 122333444

S = 41 999 999 995 800

 

Coefficient multiplicateur K

Ce coefficient est indépendant des chiffres du nombre. Il est caractéristique de la quantité n de chiffres.

 

Exemple avec 123 456 789 ou tous les nombres formés avec ces neuf chiffres

 

K9 = 4 479 999 995 520

Sc = 9 x 10 / 2 = 45

S = 201 599 999 798 400

 

Formule de récurrence

 

Exemple

 

 n,     K

  1, 1

  2, 11

  3, 222

  4, 6666

  5, 266664

  6, 13333320

  7, 799999920

  8, 55999999440

  9, 4479999995520

10, 403199999959680

11, 40319999999596800

12, 4435199999995564800

13, 532223999999946777600

14, 69189119999999308108800

15, 9686476799999990313523200

16, 1452971519999999854702848000

17, 232475443199999997675245568000

18, 39520825343999999960479174656000

19, 7113748561919999999288625143808000

20, 1351612226764799999986483877732352000

Merci à Alain Rodot pour l'idée de cette formulation

 

 

Somme des chiffres permutés – Programme

 

Commentaires

Calcul de la somme des permutés d'un nombres en tenant compte de la répétitions des chiffres.

 

Calcul systématique

Introduction manuelle du nombre.

Conversion en base 10 pour disposer des chiffres.

Toutes les permutations des chiffres en P.

Reconstitution des nombres permutés à partir des chiffres en exécutant la boucle en i

Addition de tous ces nombres en S.

 

Calcul avec la formule

Introduction manuelle du coefficient de redondance (ici 2 fois le "2" et deux fois le "3", soit R = 2! x 2!  = 4. Voir comment compter automatiquement)

Calcul de la somme des chiffres en Sc (1+2+2+3+3) = 11.

Calcul de la formule.

 

En bleu les résultats du traitement.

 

Note: la première partie du programme a un but de vérification. Si on voulait traiter de grands nombres, il faudrait passer aux matrices  au lieu de la liste.

   

Voir ProgrammationIndex

 

 

Différence des nombres permutés

La différence de deux nombres permutés est un multiple de 9.

 

Encore un effet de la preuve par neuf ou plus exactement de la congruence mod 9

Chaque nombre permuté a la même congruence mod 9 et  la différence est donc nulle

 

N – Nperm = 9k

 

Voir Cycle de Kaprekar

 

 

Multiplications permutantes

 

Prendre un nombre, le multiplier et retrouver le nombre initial permuté d'un cran: le chiffre de queue (unité) se retrouve en tête.

 

Tableau: les sept telles opérations jusqu'à N = 1 milliard et k de 2 à 9.

 

K = 4 ou 5.

Rien avec les autres chiffres.

 

 

Le plus petit tel nombre avec k = 9 pour 1,011… 1043

 

  10112359550561797752808988764044943820224719 x 9 = 91011235955056179775280898876404494382022471

 

 

Si l'on admet un écart de 1 pour le nombre permuté, on obtient le tableau ci-contre jusqu'à N = 1 milliard et k de 2 à 9.

 

Exemple

14 x 3  = 42

PC(14) = 41

Écart: e =  1

 

 

 

Permutation circulaire – Programmation

 

Commentaires

Appel des logiciels de combinatoire et de manipulation des listes.

Lancement d'une procédure de recherche des permutations circulaires (PC).

Liste des chiffres de n dans N: 1) en convertissant n en base 10 qui énumère les chiffres dans l'ordre inverse; et, 2) en renversant la liste pour obtenir les chiffres dans l'ordre du nombre.

La quantité de chiffres est identifiée dans q.

Ouverture d'une liste P qui recevra les permutations circulaires.

Une première boucle explore les q permutations du nombre n, chacune étant placée en PP.

La seconde boucle calcule la permutation en déplaçant circulairement chacun des chiffres.

 

Note: N [ (i + j) mod q + 1]:
on indexe de 0 à q – 1 pour faire fonctionner le modulo correctement; puis on ajoute 1 en fin de sorte que le pointeur de liste soit bien compris entre 1 et q.

 

La liste P des permutations est complétée de chaque permutation PP.

La liste finale des permutations (P) est disponible pour le programme appelant la procédure (return).

 

Exemple: appel de la procédure avec le nombre 12345 et résultat de l'exécution en bleu.

 

 

Sortie sous forme numérique

Les chiffres de chaque permutation sont sommés (add) avec la pondération en puissance 10 qui correspond à la position du chiffre dans le nombre.

L'instruction op permet de prendre les éléments dans une liste (en bref, d'éliminer les crochets entourant la liste).

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Index

Permutation

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*       Nombres croissants et motifs permutés

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*       Nombres retournés

*       Permutation de chiffres et puissances

*       Permutation et arrangements

*       Permutations de 12345

*       Permutations de Dumont

*       Permutations et combinaisons

*       Permutations lexicographiques

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Sites

*       OEIS A071267 – Numbers which can be expressed as the sum of all distinct digit permutations of some number k

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