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Équations du troisième degré x3 – a = 0 Exemples d'équations simples
qui montrent la symétrie des trois racines par rotation de tiers de tour. |
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Voici les racines de chacune de ces équations: une réelle et deux
complexes. La première donne les trois racines cubiques de
l'unité: 1, j et j². La seconde donne celles de 2. Remarquez que les deux racines complexes
sont égales à la racine réelle multipliées par les racines cubiques de
l'unité. D'une manière générale, pour les racines sont: |
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Reportons ces valeurs sur un graphe. Points verts pour racine cubique de 1; Points rouge pour celles de 2. Les deux trios se retrouvent aux sommets de triangles équilatéraux. Chaque racine (sommet) se
déduit des autres par rotation d'un tiers de tour. Les graphes en vert et en rouge représentent les courbes y = x3
– 1 et y = x3 – 2. |
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Voir
Quarts de tour
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The symmetries of the solutions to
x3 − 2 = 0
We work in . Let a be the real cube root of 2, ie: and, . Note that j is a cube root of 1, and so j3 = 1.
The three solutions to x3 − 2 = 0 (or roots of x3 − 2) are the complex numbers
a, aj
and aj², forming the vertices of an equilateral triangle.
The triangle has what we might call geometric
symmetries: three reflections, a counter-clockwise rotation through 1/3 of a turn, a counter-clockwise
rotation through 2/3 of a turn and a counter-clockwise rotation through 3/3
of a turn equal the identity symmetry. |
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Suite |
Résolution des équations du
troisième degré par la méthode symétrique de Lagrange |
Voir |
Calcul – Index
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Site |
Symmetries of Equations: An Introduction to Galois Theory – Brent Everitt |
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