NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire

Introduction

Triangles et carrés

Définition

Types de groupes

Groupe cyclique

Nombres

 

Sommaire de cette page

>>> Le quart de tour

>>> Multiplication

>>> Dans la cour

>>> Solidarité

>>> Retour sur le quart de tour

>>> Retour sur la multiplication

 

 

 

 

Au lieu de points, de droites et de plans, on pourrait tout aussi bien employer les mots tables, chaises et vidrecomes (verres à bière).

David Hilbert – Congrès des mathématiques de Paris en 1900

Voir Pensées & humour / Autres citations

 

 

GROUPES – Introduction

avec des exemples

 

Dans le monde des ensembles, le groupe est  une entité qui a révolutionné les mathématiques. Il possède des propriétés communes à tous les objets de la même famille. Une fois définies, inutiles de passer son temps à les redécouvrir. Efficacité …

 

Analogie informatique: en programmation, une fois un objet défini en donnant ses propriétés, ses attributs, on l'utilise autant que l'on veut sans avoir à le redéfinir à chaque usage. On se facilite grandement la vie …

 

 

 

 

LE QUART DE TOUR

 

On tourne en rond

*       On imagine un jeu avec un cercle.

*       Avec une certaine LOI de mouvement: je me déplace dans un seul sens.

Et, à chaque fois, d'un quart de tour.

 

Et alors ?

*       Au bout de quatre mouvements, je me retrouve au point de départ. Pas très malin tout ça !

*       Oui mais, faisons un tableau qui donne les points d'arrivée selon le point de départ et la quantité de mouvements (quarts de tour) exécutés.

 

 Ouais !!! Une table d'addition ?

*       Ça ressemble:

*           0 + 0 = 0

*           0 + 1 = 1

*           1 + 2 = 3

*           etc.

*       Pas tout à fait:

*           3 + 1 = 0 et non pas 4

*           3 + 2 = 1 et non pas 5

*       En fait, chaque fois que l'on dépasse 4, on soustrait 4. Avec ce petit artifice, le tableau est particulièrement sympathique.

 

 

Mouvements successifs

 

Tableau des positions d'arrivée

 

Le tableau de composition des quarts de tour est symétrique.

 

Ce tableau, qui ressemble à nos tables d'additions ou de multiplications, est appelé: table de Cayley (1854).

 

Voir Congruence pour une table d'addition semblable / Morphisme

 

 

 

MULTIPLICATION

 

Rapprochons nous des nombres

*       On imagine un autre jeu pour l'exemple.

*       Le terrain de jeu comprend les nombres pairs 2, 4, 6 et 8.

*       La LOI sur ce terrain est la multiplication de deux de ces nombres A et B dont on ne conserve que les unités du produit.

 

Quelle chance !

*       Les résultats sont toujours: 2, 4, 6 ou 8.

*       Les mêmes valeurs que celles du départ.

*       On reste dans son petit monde.

 

 

Table de multiplication

 

 

L'opération sur les nombres spécifiés crée un monde clos.

 

 

 

DANS MA COUR … ou pas!

 

*       Un monde clos. Est-ce si banal ?
Est-ce vrai pour toutes les OPÉRATIONS ? Toutes les LOIS?
Voici des exemples.

 

Dans le désert

Nombres

Je suis dans le désert et

je lance un caillou en l'air.

Il retombe toujours sur le sable.

Avec les nombres entiers,

je fais une addition.

Le résultat est un entier:  2 + 2 = 4

Dans le désert

Nombres

Je suis dans le désert avec un lac (ou oasis) et je lance un caillou en l'air.

Il retombe sur le sable ou dans l'eau.

Avec les nombres entiers, positifs et négatifs, je fais une soustraction.

Le résultat est un entier positif ou négatif.

2 – 4  = – 2

Bilan

*       Les deux cas existent:

*      opérations dans un monde clos, et

*      opérations qui débordent sur un monde voisin.

*       Les premières sont intéressantes, car, quoiqu'on fasse, on reste entre-nous. On est toujours sûr que le résultat sera un individu de la famille. Comme dans l'exemple de la multiplication, vu ci-dessus.

 

Voir Constructions des ensembles de nombres

 

 

SOLIDARITÉ

 

 

Pour jouer, il faut

TROIS CONDITIONS

 

 

 

 

 

Et un peu d'harmonie

EN QUATRE POINTS

 

 

 

 

Cette sorte de solidarité forme un

GROUPE

 

 

On a baptisé tous les objets (les ensembles)  ayant ces propriétés du nom de GROUPE.

 

La définition plus mathématique est donnée au chapitre suivant.

 

 

 

LE QUART DE TOUR, un groupe?

 

 

TROIS CONDITIONS

 

 

 

et QUATRE POINTS

 

 

D'une manière générale

La rotation d'un point M de centre O et d'angle  quelconque forme un GROUPE.

 

 

 

La MULTIPLICATION, un groupe?

 

 

TROIS CONDITIONS

 

 

 

et QUATRE POINTS

 

 

D'une manière générale

La multiplication des nombres entiers forme un GROUPE

 

 

 

 

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