NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉQUATIONS

 

Débutants

Équations

Troisième degré

 

Glossaire

Équations

 

 

INDEX

 

Équations

 

Théorie

Exemple 1

Méthode

Historique

Factorisation

Exemple 2

Exemple 3

Symétrie

Nombre d'argent

Rac. cub. de a

 

Sommaire de cette page

>>> Cas de la valeur 4 (Bombelli)

>>> Résolution

>>> Forme trigonométrique

 

 

 

 

Équations du troisième degré

 

*       C'est déjà du coriace !!!

*       Voici un peu de théorie.

 

*       Je souhaite voir un exemple tout de suite >>>

*       Je sais faire rapidement avec une méthode bestiale >>>

 

attention.png  Avant de vous lancer dans les calculs longs et fastidieux de résolution des équations du troisième degré, vérifiez qu'il n'y a pas une racine évidente >>>

 

 

 

Cas de la valeur 4 vue par Bombelli

 

Voici un cas pour se familiariser à la résolution des équations du troisième degré. Des valeurs étranges en racines cubiques de racines carrées de nombres négatifs! Confrontés à ces bestiaux, les mathématiciens des années 1500 ont eu du mérite à trouver les solutions. Ce fut une recherche sur fond de secrets et de coups tordus.


 

*    En 1560, Bombelli cherche à résoudre l'équation indiquée.

x3 = 15 x + 4

*    Il a l'intuition que la racine doit être de la forme:

2 + a . i

(notation moderne avec les complexes).

*    Cette expression au cube donne.

8 – 6a2  + i (12a – a3)

*    À égaler avec la partie sous radical.

8 – 6a2  + i (12a – a3) = 2 + 11 i

 

8 – 6a2  + i (12a – a3) = 2 + 11 i

*    En égalant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.

   8 – 6a2  =   2

12a – a3   = 11

*    Ce qui donne:

a = 1

*    Bilan:

(2 + i)3 = 2 + 11 i

*    En replaçant dans la formule initiale:

*    On vérifie que 4 est bien solution de l'équation étudiée:

43 = 15 x 4 + 4 = 64

 

 

*    Cette formule en   avec N entier est rare.

*    En voici deux autres:

 

 

Toutes les valeurs pour a et b jusqu'à 1000, b étant un carré

Quelques unes des rares valeurs, b NON-carré

Voir Conjugués complexes / Nombre 4 / Nombre 6 / Nombre 12

 

 

 

Équation du 3e degré – Formules de résolution

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trois racines réelles.

 

Une solution réelle et deux racines complexes conjuguées.

 

 

Racine simple  

 

et racine double.

 

 

 

 

L'une des racines exprimée complètement pour

 

 

 

 

Résolution trigonométrique

 

 

*    On pose

 

 

 

 

*    L'équation devient

 

 

 

 

*    Et les racines

 

avec k = {1, 2, 3}

 

Voir Trigonométrie

 

 

 

Suite

*    Autres exemples du 3e degré

*    Autres pages sur 3e degré

*    Résolution symétrique de Lagrange

Voir

*    Algorithme d'Héron

*    Équation de Pell

*    Méthode de Newton

*    Système d'équations particulier

Site

*    Cubic equation calculator: vous introduisez les coefficients et la réponse est immédiate.

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