NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉQUATIONS

 

Débutants

Équations

Troisième degré

 

Glossaire

Équations

 

 

INDEX

 

Équations

 

Théorie

Exemple 1

Méthode

Historique

Factorisation

Exemple 2

Exemple 3

Symétrie

Nombre d'argent

Rac. cub. de a

 

Sommaire de cette page

>>> Cas de la valeur 4 (Bombelli)

>>> RÉSOLUTION

>>> Expression complète

>>> Forme trigonométrique

>>> Programmation directe

>>> Programmation de la formule de calcul

 

 

 

 

 

 

Équations du troisième degré

 

*       C'est déjà du coriace !!!

*       Voici un peu de théorie.

 

*       Je souhaite voir un exemple tout de suite >>>

*       Je sais faire rapidement avec une méthode bestiale >>>

 

attention.png  Avant de vous lancer dans les calculs longs et fastidieux de résolution des équations du troisième degré, vérifiez qu'il n'y a pas une racine évidente >>>  

 

Avant de me lancer, je voudrais me familiariser avec ce genre d'équations >>>  

 

 

 

Cas de la valeur 4 vue par Bombelli

 

Voici un cas pour se familiariser à la résolution des équations du troisième degré. Des valeurs étranges en racines cubiques de racines carrées de nombres négatifs! Confrontés à ces bestiaux, les mathématiciens des années 1500 ont eu du mérite à trouver les solutions. Ce fut une recherche sur fond de secrets et de coups tordus.


 

En 1560, Bombelli cherche à résoudre l'équation indiquée.

x3 = 15 x + 4

Il a l'intuition que la racine doit être de la forme:

2 + a . i

(notation moderne avec les complexes).

Cette expression au cube donne.

8 – 6a2  + i (12a – a3)

À égaler avec la partie sous radical.

8 – 6a2  + i (12a – a3) = 2 + 11 i

 

8 – 6a2  + i (12a – a3) = 2 + 11 i

En égalant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.

   8 – 6a2  =   2

12a – a3   = 11

Ce qui donne:

a = 1

Bilan:

(2 + i)3 = 2 + 11 i

En replaçant dans la formule initiale:

On vérifie que 4 est bien solution de l'équation étudiée:

43 = 15 x 4 + 4 = 64

 

 

Cette formule en   avec N entier est rare.

En voici deux autres:

 

 

Toutes les valeurs pour a et b jusqu'à 1000, b étant un carré

Quelques unes des rares valeurs, b NON-carré

Voir Conjugués complexes / Nombre 4 / Nombre 6 / Nombre 12

 

 

 

Équation du 3e degré – Formules de résolution

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trois racines réelles.

 

Une solution réelle et deux racines complexes conjuguées.

 

 

Racine simple 

 

et racine double.

 

Voir Exemples pratiques

 

 

Expression complète

 

 

 

attention.pngAttention les coefficients a, b, c et d ne sont pas ceux indiqués ci-dessus.
Ici, a est le coefficient de x3. et non celui de x2.

 



Merci à Joseph P. pour sa contribution

 

 

 

Résolution trigonométrique

 

 

On pose

 

 

 

 

L'équation devient

 

 

 

 

Et les racines

 

avec k = {1, 2, 3}

 

Voir Trigonométrie

 

 

Programmation directe

 

Calcul direct avec l'instruction solve

 

 

NB. "a" est le coefficient de x3.

 

 

To solve en anglais veut dire résoudre.

 

Réinitialisation générale.

Définition des coefficients.

Définition de l'équation A.

Résolution en x de l'équation A.

Et, évaluation numérique (flottante) des solutions.

 

Affichage des trois solutions: 1, 2 et 3

 

 

Vérification par factorisation

 

(x – 1)(x – 2)(x – 3)

 

 

 

= (x – 1) (x² – 3x – 2x + 6)

= (x – 1) (x² – 5x + 6)

= x3 – 5x2 + 6x – x² + 5x – 6

= x3 – 6x2 + 11x – 6

 

 

Vérification avec les racines

x3 – 6x2 + 11x – 6

 

Pour x = 1 => 1 – 6 + 11 – 6 = 0

Pour x = 2 => 8 – 24 + 22 – 6 = 0

Pour x = 3 => 27 – 54 + 33 – 6 = 0

 

Voir Résolution avec tableur / Programmation

 

 

Programmation de la formule de calcul

 

 

 

 

attention.png  Attention à la définition des coefficients

 

Réinitialisation générale.

Définition des coefficients.

Calcul des variables intermédiaires p et q.

On pose K la somme du carré et du cube.

 

 

Calcul des variables intermédiaires u et v.

 

attention.png  L'instruction surd (radical en anglais) calcule la racine énième d'une valeur; ici la racine troisième.

Voir Explications

 

Calcul des racines et évaluation numérique.

 

 

 

 

 

Affichage des trois racines avec la partie réelle et la partie imaginaire nulle.

 

 

 

Suite

*    Autres exemples du 3e degré

*    Autres pages sur 3e degré

*    Résolution symétrique de Lagrange

Voir

*    Algorithme d'Héron

*    Équation de Pell

*    Méthode de Newton

*    Système d'équations particulier

Sites

Vous introduisez les coefficients et la réponse est immédiate.

*    Solve cubic equation – Wolfram

*    Cubic equation calculator

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