NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/02/2013 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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		Sommaire de cette page >>> Cas de la valeur 4 (Bombelli) >>> Résolution >>> Forme trigonométrique

Équations du troisième degré

C'est déjà du coriace !!!

Voici un peu de théorie.

Je souhaite voir un exemple tout de suite >>>

Je sais faire rapidement avec une méthode bestiale >>>

Avant de vous lancer dans les calculs longs et fastidieux de résolution des équations du troisième degré, vérifiez qu'il n'y a pas une racine évidente >>>

Cas de la valeur 4 vue par Bombelli
Voici un cas pour se familiariser à la résolution des équations du troisième degré. Des valeurs étranges en racines cubiques de racines carrées de nombres négatifs! Confrontés à ces bestiaux, les mathématiciens des années 1500 ont eu du mérite à trouver les solutions. Ce fut une recherche sur fond de secrets et de coups tordus.
En 1560, Bombelli cherche à résoudre l'équation indiquée.	x^3 = 15 x + 4
Il a l'intuition que la racine doit être de la forme:	2 + a . i (notation moderne avec les complexes).
Cette expression au cube donne.	8 – 6a^2 + i (12a – a^3)
À égaler avec la partie sous radical.	8 – 6a^2 + i (12a – a^3) = 2 + 11 i 8 – 6a^2 + i (12a – a^3) = 2 + 11 i
En égalant séparément la partie réelle et la partie imaginaire.	8 – 6a^2 = 2 12a – a^3 = 11
Ce qui donne:	a = 1
Bilan:	(2 + i)^3 = 2 + 11 i
En replaçant dans la formule initiale:
On vérifie que 4 est bien solution de l'équation étudiée:	4^3 = 15 x 4 + 4 = 64

Cette formule en avec N entier est rare. En voici deux autres: Toutes les valeurs pour a et b jusqu'à 1000, b étant un carré
Quelques unes des rares valeurs, b NON-carré

Voir Conjugués complexes / Nombre 4 / Nombre 6 / Nombre 12

Équation du 3^e degré – Formules de résolution
	Trois racines réelles.
	Une solution réelle et deux racines complexes conjuguées.
	Racine simple et racine double.

L'une des racines exprimée complètement pour

Résolution trigonométrique
On pose
L'équation devient
Et les racines	avec k = {1, 2, 3}

Voir Trigonométrie

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Voir	Algorithme d'Héron Équation - Glossaire Équation de Pell Équation de Pell Méthode de Newton Système d'équations particulier
Sites	Résolution complète de l'équation du 3ème degré par Serge MEHL Résolution des équations du 3^e degré - donne les solutions A Third Degree Equation – Graphic

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Voir	Algorithme d'Héron Équation de Pell Méthode de Newton Système d'équations particulier
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