NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Carrés

SOMME de CARRÉS

 

Glossaire

Carrés

 

 

INDEX

 

Accueil

 

Sommaire

 

Carrés

1 et 2 carrés

Introduction

Premières idées

Table 1 à 100

Théorème

Quantité

3 et 4 carrés

Somme 3 carrés

Somme 4 carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Présentation

>>> Tableau

>>> Observations

 

 

 

 

 

SOMME de deux CARRÉS

Table des nombres de 1 à 100

 

Table  exposée pour observation.

 

 

 

Présentation

 

 Le tableau ci-dessous donne la liste des nombres de 1 à 100:

 

*      Marqué en rouge s'il est carré ou  somme de deux carrés.

*      Quatre GRANDES colonnes selon le reste de la division par 4

*       celle de gauche donne les nombres avec 1 pour reste;

*       la deuxième donne un reste de 2;

*       la troisième donne un reste de 3, soit n = 3 mod 4; et

*       celle de droite correspond aux nombres divisibles par 4.

*      La PETITE colonne h donne la valeur de la fonction arithmétique qui vaut

*       1 si le nombre est somme de deux carrés (ou carré)

*       0 s'il ne l'est pas

*      Les colonnes a et b précisent les valeurs des termes de la somme

*       n = a² + b²

*       5 = 2² + 1²

*      Case en bleu: repérage des nombres premiers.

 

 

 

 

Tableau

 

s/T

19

11

0

13

 

Total: 43  nombres jusqu'à 100 qui sont somme de 2 carrés (< 50%)

dont 5 avec double présentation: 25, 50, 65, 85 et 100.

 

 

 

 

 

Observations

 

Deux remarques immédiates

*      La 3e grande colonne est vide. Tous les nombres en n = 3 mod 4 ne sont jamais somme de deux carrés.

*      Conséquences:

*    Tous les impairs somme de deux carrés sont en première colonne; ils sont de la forme 4n + 1.

*    Tous les nombres premiers impairs somme de deux carrés sont dans la première colonne.

*      Pour les deux autres colonnes des nombres pairs, rien de bien net!

 

Second coup d'œil

*      Les sommes de deux carrés de la colonne 4 sont des multiples de 4.

*    Le quotient est lui-même une somme de deux carrés.

*    Un nombre somme de deux carrés multiplié par 4 l'est également.

 

1

4

8

16

32

64

2

8

 

 

 

5

20

80

 

 

 

9

36

 

 

 

 

10

40

 

 

 

 

13

52

 

 

 

 

17

68

 

 

 

 

18

72

 

 

 

 

25

100

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

Pour chaque nombre, on donne les termes de la somme de 2 carrés si elle existe

et même chose en multipliant par 4.

 

1

0

1

2

1

1

3

 

 

4

0

2

5

2

1

4

0

2

8

2

2

12

 

 

16

0

4

20

2

4

16

0

4

32

4

4

48

 

 

64

0

8

80

4

8

64

0

8

128

8

8

192

 

 

256

0

16

320

8

16

256

0

16

512

16

16

768

 

 

1024

0

32

1280

16

32

 

6

 

 

7

 

 

8

2

2

9

0

3

10

1

3

24

 

 

28

 

 

32

4

4

36

0

6

40

2

6

96

 

 

112

 

 

128

8

8

144

0

12

160

4

12

384

 

 

448

 

 

512

16

16

576

0

24

640

8

24

1536

 

 

1792

 

 

2048

32

32

2304

0

48

2560

16

48


 

 

 

 

 

Suite

*         Voyons maintenant si ces remarques sont généralisables en théorème

Voir

*         Nombres carrés

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