NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Carrés

SOMME de CARRÉS

 

Glossaire

Carrés

 

 

INDEX

 

Accueil

 

Sommaire

 

Carrés

1 et 2 carrés

Introduction

Premières idées

Table 1 à 100

Théorème

Quantité

3 et 4 carrés

Somme 3 carrés

Somme 4 carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Premier unique

>>> Calcul quantité

>>> Calcul alternatif

>>> En moyenne – Surprise!

 

 

 

 

 

 

 

SOMME de DEUX CARRÉS

Combien de fois?

 

 

Quelles sont les conditions pour qu'un nombre soit  somme de deux carrés. Alors, combien de fois l'est-il ? On distingue le cas des nombres premiers  et celui des nombres composés. Lorsque le nombre est composé, on s'intéresse à ses diviseurs.

 

 

 

Approche

 

 

 

Tous les nombres ne sont pas somme de 2 carrés. Il y en même une infinité.

 

Et, ceux qui sont somme de 2 carrés sont également en nombre infini. Parmi eux certains le sont plusieurs fois.

 

La fonction f(n) donne la quantité de représentations d'un nombre en somme de deux carrés.

 

 

 

 

 

Premier unique

Observations

 

Cherchons toutes les décompositions en somme de deux carrés des nombres premiers.

Les nombres premiers sont tous de la forme 4k + 1 ou 4 k + 3.

Or, nous savons déjà que tous les nombres en 4k + 3 ne sont jamais somme de 2 carrés.

 

 

Nous pouvons observer sur la liste ci-contre que pour tous ceux qui sont en 4k + 1, ils sont bien somme de 2 carrés et ce d'une seule manière.

 

Bilan

 

 

 

 

QUANTITÉ

 

Façon de compter

F(n) donne la quantité de représentations d'un nombre en somme de 2 carrés,

*       en comptant toutes les permutations

*       et le signe.

Dans ces conditions

*       une somme de 2 carrés distincts compte pour 8.

*       une somme de 2 carrés identiques compte pour 4.

*        un somme de 2 carrés dont l'un est 0 compte pour 4.

 

Notation

Nombre de diviseurs de n congruents à m modulo 4

 

F(n) = f(n) fois toutes les permutations et le signe

 

Exemple: 13

2² +        

  +  

2² + (-3)²

(-3)² + 2²

(-2)² + …

 

Total: 8 présentations

 

 

t(m, n)

Voir Tau modulo

 

Théorème de Jacobi  - Il a donné la quantité de sommes pour 4 carrés et aussi pour 6.

 

F(n) est égal à 4 fois la différence entre les diviseurs égaux à 1 mod 4 et ceux égaux à 3 mod 4

 

La démonstration dépasse le cadre de ce site.

 

F(n) = 4 ((1, n) –  (3, n) )

 

Exemple

 

450 = 2 . 3² . 5²

t(1, n) = 6

t(3, n) = 3

 

F(n) = 4 (6 – 3) = 12

 

Voir Calcul en 450

Valeur de F(n)

pour les premiers nombres

 

 

 

Alternative

 

*      Une autre manière d'exprimer la quantité de sommes de deux carrés pour un nombre n est donné par la formule suivante.

*      Avec R2 (n): quantité de sommes de deux carrés.

On met n sous la forme d'un produit: n = 2a .m
Et, on cherche les diviseurs d de m: (d
).

On donne, ci après, les exemples de calculs pour n = 10, 100 et 11.

 

*      Avec les mêmes notations, la quantité de sommes de quatre carrés est:

 

 

D'après Elementary Methods in Number Theory

– Melvyn B. Nathanson – Springer – 2000

 

 

 

n = 10

 

Quantité de sommes de deux carrés: 8

Calcul de la somme

 

 

n = 100

 

Quantité de sommes de deux carrés: 12

Calcul de la somme

 

 

n = 11

 

Quantité de sommes de deux carrés: 0

 

Calcul de la somme

 

 

EN MOYENNE: Théorème (Gauss)

 

*    La valeur moyenne de F(n), quantité de représentations en somme de deux carrés des nombres, tend vers

 

Voir  Constante Pi

moyenne

 

moyenne1

 

 

 

 

Retour

*         Somme de deux carrés – Le théorème

Suite

*         Je souhaite m'amuser sur ce thème, et connaître les records!

*         Équations diophantiennes

*         Variations sur les sommes de carrés

*         Somme de trois carrés

Voir

*         Nombres carrés

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