NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 20/05/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Théorie des Nombres

 

Débutants

Carrés

SOMME de CARRÉS

 

Glossaire

Carrés

 

 

INDEX

 

Accueil

 

Sommaire

 

Carrés

 

Théorie des nombres

1 et 2 carrés

Introduction

Premières idées

Table 1 à 100

Théorème

Quantité

3 et 4 carrés

Somme 3 carrés

Somme 4 carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Théorème de Lagrange

>>> Quantité de sommes de quatre carrés

>>> Autres formes de 4 carrés

>>> Théorèmes des 15 ou des 290

>>> Et pour 5 ?

 

 

 

 

 

SOMME de QUATRE CARRÉS

 

Tout nombre est la somme de:

*    3 nombre triangulaires

*    4 nombres carrés

*    5 nombres …

Généralisation de Fermat sur les nombres polygonaux.

Voir le récent et surprenant théorème 290.

 

 

THÉORÈME de Lagrange (1770)

 

 

Tout nombre entier est somme de quatre carrés, ou moins.

 

Lagrange's four-square theorem

Every positive integer can be represented as the sum of four or fewer integral squares.

 

Tout entier positif est représenté par la forme quadratique:

 

n = a² + b² + c² + d²

 

Voir Approche et exemples

 

La démonstration dépasse le cadre de ce site.

Voir Identité de Lagrange / Lagrange (1736-1813)

 

QUANTITÉ de somme de quatre carrés

 

Forme canonique des  nombres

Pour ce théorème on utilise la forme canonique suivante qui met en évidence les puissances de 2:

 

Théorème de Jacobi (1829)

La quantité de présentations d'un nombre en somme de 4 carrés en tenant compte des permutations et du signe. Sigma de m étant la somme des diviseurs de m.

Voir Formulation alternative

 

 

n =  . m

 

 

 

 = 0 => q =   8 . (m)

 > 0 => q = 24 . (m)

 

Façon de compter

Voir Permutations

 

Exemples

 

 

Autres formes de quatre CARRÉS

 

Théorèmes de Ramanujan – 1917

 

Outre la forme quadratique de Lagrange, Ramanujan trouve cinquante-quatre autres formes quadratiques qui représentent tous les nombres.

 

 

 

Forme quadratique générale

a.x2 + b.y2 + c.z2 + d.w2

Notée: [a, b, c, d]

 

Cas classique de Lagrange

x2 + y2 + z2 + w2

Notée: [1, 1, 1, 1]

 

Exemple d'une des formes de Ramanujan

x2 + 2y2 + 5z2 + 10w2

Notée: [1, 2, 5, 10]

 

 

Les 54  formes quadratiques de Ramanujan

 

Il a été prouvé plus tard que ces formes quadratiques quaternaires diagonales sont les seules possibles. Diagonale (ou matrice diagonale) pour exprimer le fait que ce sont des formes primitives, que les quatre coefficients sont premiers entre eux.

Évidemment ces résultats furent à l'origine de nombreux travaux pour explorer ce sujet. Quelles formes quadratiques représentent les entiers, les impairs, les premiers, etc?

 

Théorème des 15 ou théorème de John Conway et Schneeberger (1993) – Fifteen Theorem

 

Ces deux mathématiciens prouvent un remarquable théorème: une forme quadratique avec matrice d'entiers positifs, représente tous les nombres positifs, si et seulement si elle les représente jusqu'au nombre 15.  

 

Théorème des 290 ou théorème de Manjul Bhargava et Jonathan Hanke

 

Ce fut d'abord une conjecture émise en 1993 par Conway et ses étudiants: Miller, Schneeberger et Simons. Démontrée par Manjul Bhargava et Jonathan Hanke.

 

Si une forme quadratique à coefficients entiers représente les vingt-neuf nombres suivant, elle les représente tous.

 

Les 29 nombres: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, et 290.

 

 

Voir Srinivasa Ramanujan (1887-1920)

 

 

Et pour 5 ?

 

Théorème de Minkowski (1884)

 

Tous les nombres de la forme indiquée

sont somme de cinq carrés de nombres impairs.

 

Pour   n = 8n + 5

Alors  n = a² + b² + c² + d² + e²

Avec:  a, b, c, d, e impairs

Exemples

 

 

 

 

Retour

*         Somme de trois carrés

Suite

*         Théorème de Lagrange – Exploration

*         Théorème fondamental de l'arithmétique

Voir

*         Cryptage

*         Des jeux sur les partages

*         Jeux et puzzlesIndex

*         L'arithmétique de l'horloger

*         Théorie des nombresIndex

DicoNombre

*         Nombre 15

*         Nombre 54

*         Nombre 290

Site

*        Sum of squares function WolframMathWorld

*         Universal quadratic forms and the 290-TheoremManjul Bhargava et Jonathan Hanke (pdf)

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/SomCa4ca.htm