NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Carrés

SOMME de CARRÉS

 

Glossaire

Carrés

 

 

INDEX

 

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Sommaire

 

Carrés

1 et 2 carrés

Introduction

Premières idées

Table 1 à 100

Théorème

Quantité

3 et 4 carrés

Somme 3 carrés

Somme 4 carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Théorème

>>> En 8k + 7

>>> Quantité

>>> Historique

>>> Partition de carrés en carrés

 

 

 

 

SOMME de TROIS CARRÉS

 

Problème plus difficile que pour deux ou quatre.

 

*    Diophante savait que tous les nombres ne sont pas somme de trois carrés.

*    En 1636, Fermat conjecture que tous les nombres en 8k + 7 ne sont pas somme de trois carrés.

*    En 1639, Descartes en donne la preuve.

*    Legendre en 1798, puis Dirichlet en 1837 prouvent le théorème de la somme des trois carrés.

*    En 1801, Gauss donne une nouvelle preuve de ce théorème.

Voir Cas de ces trois carrés: x² + y² + 1²

 

 

THÉORÈME

 

Théorème énoncé par Fermat - 1636 et 1658

 

Un nombre est somme de trois carrés si et seulement s'il N'est PAS de cette forme (h et k entiers positifs)

Un nombre de cette forme exige 4 carrés.

 

Démonstration

La démonstration complète dépasse le cadre de ce site.

Voir Démonstration partielle

 

 

n = 4h (8k + 7)

 

Nombres de la forme n = 4h (8k + 7)

 

 

 

Nombres somme de trois carrés jusqu'à 100

 

 

Les quinze nombres manquants dans cette liste sont tous dans le tableau de gauche (rouge).

 

 

En 8k + 7

 

Théorème

Tout nombre congruent à 7 mod 8 n'est jamais somme de 3 carrés.

 

Autrement dit

Tout nombre dont la division par 8 donne un reste de 7 n'est jamais somme de 3 carrés.

 

Si n  7 mod 8

 

n n'est pas

somme de 3 carrés

Démonstration

Supposons que la somme des trois carrés est congruente à 7 mod 8.

n

n

a² + b² + c²

= 7 mod 8

= a² + b² + c²

= 7 mod 8

Remarquons tout de suite que, le reste de la division de n par 8 étant 7, le nombre n n'est pas pair.

n

 

est impair

 

n est impair et somme de trois nombres,

*    l'un d'eux est impair,

*    les deux autres sont tous deux pairs ou impairs.

P+P+P

P+P+I

P+I+I

I+I+I

= P

= I

= P

= I

On ne perd pas en généralité en disant que  a est l'impair.

est impair

Propriété de chaque carré modulo 8

*    Le carré d'un nombre impair divisé par 8 donne 1 pour reste; c'est le cas pour a.

*    Et d'une manière générale, un carré divisé par 8 donne 0, 1 ou 4 comme reste; valable pour b et c.

= 1              mod 8

= { 0, 1, 4 } mod 8

= { 0, 1, 4 } mod 8

Dans le cas où a, b et c sont impairs.

En calculant la somme.

La somme n'est pas égale à 7 mod 8 (hypothèse)

*    Cas à rejeter.

a² + b² + c²

= 1              mod 8

= 1              mod 8

= 1              mod 8

= 3              mod 8

Dans le cas où a est impair, et  b et c sont pairs

En calculant la somme.

La somme n'est pas égale à 7 mod 8 (hypothèse)

*    Cas à rejeter.

a² + b² + c²

 

= 1              mod 8

= { 0,     4 } mod 8

= { 0,     4 } mod 8

= {1, 4,  9 }  mod 8

= {1, 4      }  mod 8

En aucun cas nous ne trouvons la valeur 7 imposée par l'hypothèse.

Si n

Alors n

= 7 mod 8

¹ a² + b² + c²

 

NB:

La somme des carrés modulo 8 est égale à 3, 1 ou 4. Il faut se garder de conclure qu'elle n'est jamais égale à 0, 2, 5, 6, 7. En effet, l'hypothèse du 7 a été faite et, elle a servi au cours de la démonstration

Contre exemple =>

 

 

QUANTITÉ

 

Quelques résultats

Selon la forme de n, la quantité q de présentations en somme de 3 carrés.

La formule générale n'est pas simple !

 

Pour un panorama en anglais: Sum of squares function

 

q( 8k + 7 ) = 0

q( 4n ) = q (n)

 

 

Historique

 

Fermat en 1636: aucun nombre en 8k + 7 n'est somme de 3 carrés. Il complète en 1658 et formule le théorème sans le démontrer.

 

La démonstration est de Legendre – Essai sur la théorie des nombres – 1798 et aussi Gauss- Disquistiones Arithmeticae – 1801. Elle fait intervenir la théorie des résidus quadratiques.

 

Liouville and Uspensky ont développé une alternative plus simple, mais longue – Elementary Number Theory – 1939.
 

 

Partition de carrés en carrés?

 

Tout nombre carré pair est la somme de quatre carrés identiques; Tout nombre carré impair est somme d'au plus trois carrés différents.

Un carré somme de deux carrés forme un triplet de Pythagore.

 

Nombre pair: (2k)² = 4k² = k² + k² + k² + k².

Nombre impairs: (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 (conclusion moins évidente)

À partir de 9, les carrés des nombres impairs sont plusieurs fois somme de trois carrés.

 

 

 

 

 

Suite

*         Tout nombre est somme de quatre carrés:

Voir

*         Équations diophantiennes

*         Nombres carrés

*         Somme de deux carrés

*         Variations sur les sommes de carrés

DicoNombre

*         Nombre 7

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