NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/04/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Théorie des Nombres

 

Débutants

Carrés

SOMME de CARRÉS

 

Glossaire

Carrés

 

 

INDEX

 

Accueil

 

Sommaire

 

Carrés

1 et 2 carrés

Introduction

Premières idées

Table 1 à 100

Théorème

Quantité

3 et 4 carrés

Somme 3 carrés

Somme 4 carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Analogie

>>> Recherche

>>> Et alors?

>>> Somme de deux carrés

>>> Différence de deux carrés

 

 

 

 

 

SOMME de deux CARRÉS

Introduction

 

Tout nombre est somme de quatre carrés, au plus

Quels sont ceux pour lesquels trois suffisent?

Et deux seulement?

 

Un carré somme de deux carrés est un triplet de Pythagore: C² = A² + B²

Ici, la question est: quel sont les nombres qui sont somme de deux carrés (ou plus): N = A² + B²

 

Anglais: sum of two square problem or Girand's problem (1627)

 

 

 

Propriétés

 

Tout nombre PREMIER de la forme 4n + 1

est la somme de deux carrés.

Fermat, démontré par Euler

Voir Structure des nombres premiers

 

 

 

Approche

Seuls certains nombres peuvent être somme de deux carrés.

 

Qui sont-ils ?

 

Est-il facile de les caractériser?

 

Oui, mais pas tout à fait immédiat.

 

1 = 1²

2 = 1² + 1²

3 = 1² + 1² + 1²

4 = 2²

5 = 2² + 1²

6 = 2² + 1² + 1²

7 = 2² + 1² + 1² + 1²

8 = 2² + 2²

Etc.

 

 

 

Analogie

 

n = x² + y²

 

Trouver si un nombre est somme de deux carrés, c'est chercher s'il existe un point de coordonnées entières sur le cercle de rayon n.

 

Les sommes représentées sont les suivantes:

*    0² + 1² & 1² + 0²

*    1² + 1²

*    Rien: 3 n'est pas somme de 2 carrés

*    0² + 2² & 2² + 0²

*    1² + 2² & 2² + 1²

 

som2c

 

 

Recherche

 

Testons si un nombre donné est somme de deux carrés. Comment s'y prendre?

 

Un peu à la manière du crible d' Ératosthène. Il faut démarrer par la racine du nombre ou plus exactement, l'entier inférieur le plus proche de la racine.

Exemple: 458 => 458 = 21,4 => a = 21

 

Il faut procéder par étapes en faisant décroître ce terme a.

Arrêt dès que la soustraction donne un carré.

 


 

Autres exemples de calcul

 

 

 

 

Et alors ?

 

On sait qu'un nombre n'est pas toujours somme de deux carrés.

 

On sait trouver les termes de la somme si elle existe. Que peut-on dire de plus ?

 

Il faut passer par une phase d'observation avant de trouver des propriétés éventuelles.

 

On introduit la fonction h(n) qui vaut

*    1 si le nombre est bien somme de 2 carrés

*    0 dans le cas contraire

 

Suite

*    Observons ce qui se passe pour les nombres de 1 à 100

 

*    Non, je souhaite m'amuser sur ce thème!

 

Voir

*    Somme de deux carrés et utilisation des nombres complexes

*    Somme de deux carrés et nombres congruents

*    Somme de deux carrés et triangles rectangles

 

 

 

Divisibilité de la somme de deux carrés

La somme de deux carrés de nombres pairs est divisible par 4.

Celle de deux nombres impairs l'est par 2.

 

 

Carré somme de deux carrés

 

Dans cette somme de deux carrés, l'un des termes est pair.

 

a² + b² = c²   a ou b est pair

Supposons que l'égalité soit vraie avec a et b impairs.

a² + b² = (2k + 1)² + (2h + 1)²

= 4k² + 4j + 1 + 4h² + 4h + 1

= 4 K + 2 avec K un entier positif

Comparé à c:

c² = 4K + 2

Or un carré divisé par 4 ne donne jamais 2 comme reste.

c = 2a   c² = 4a²

c = 2a + 1    c² = 4a² + 4a + 1

Contradiction.

Notre hypothèse est fausse.

Voir Triplets de Pythagore

 

 

Différence de deux carrés de premiers

 

La différence des carrés de deux nombres premiers n'est jamais un carré de premier.

 

a² – b²    a, b et c premiers

Supposons que l'égalité soit vraie.

En remarquant que le carré est positif

a² – b² = c²  

Factorisation

a² – b² = (a – b) (a + b)

Le premier membre est positif

a + b > 1 évident

a – b   par conséquent (car le produit = c² est positif)

1) Supposons que a – b = 1

Or a et b sont premiers.

Seule possibilité: a = 3 et b = 2

L'égalité devient:

3² – 2² = 9 – 4 = 5 qui n'est pas un carré.

2) Supposons que a – b > 1

Or c est un nombre premier  et ses facteurs sont 1 et c.

a² – b² = (a – b) (a + b) = c²

Cependant:

a + b > 1

a – b > 1

Aucun facteur ne peut égaler 1.

La contradiction infirme notre hypothèse.

 

 

 

 

 

Suite

*         Somme de deux carrés – Tables de valeurs

Voir

*         Équations diophantiennes

*         Nombres carrés

*         Variations sur les sommes de carrés

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/SomCaPre.htm