NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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EXPOSANTS

 

Débutants

Général

PUISSANCES

& RACINES

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

Puissances

 

Puissance

Chiffres

Comparaison

Puissance de 2

Racine

Racine carrée

Continue

Racine de 2

Arithmétique

Algèbre

Négatif & Fract.

Étages

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Expériences avec les puissances de 2

>>> Propriétés

>>> Exemples de calculs simples

>>> Fractionnaires

>>> Fractionnaires ou radicaux?

>>> Calculs

>>> Anglai

>>> Bilan – Puissance, exposant et indice

 

 

 

 

 

PUISSANCES d'un nombre 

Notation particulièrement astucieuse et puissante qui s'expose à être très utilisée.

Les petits chiffres en haut à droite d'un nombre,

comme 210 qui vaut 2 multiplié 10 fois par lui-même.

210 = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 1 024.

Notez que 210 commence par 10.

 

 

Math-métaphysique

Voir Religions

 

 

APPROCHE

 

Puissances de 10

 

10

1 suivi de 1 zéro

10 1

 

100

1 suivi de 2 zéros

10 2

 

1000

1 suivi de 3 zéros

10 3

 

100 … 0

1 suivi de n zéros

10 n

 

Autre façon de voir

 

10

= 10

1 fois 10

10 1

100

= 10 x 10

2 fois 10 par lui-même

10 2

1000

= 10 x 10 x 10

3 fois 10 par lui-même

10 3

100 … 0

= 10 x 10 x …..x 10

n fois 10 par lui-même

10 n

 

Puissances de 2

 

2

= 2

1 fois 2

2 1

4

= 2 x 2

2 fois 2 par lui-même

2 2

8

= 2 x 2 x 2

3 fois 2 par lui-même

2 3

 

= 2 x 2 x …..x 2

n fois 2 par lui-même

2 n

 

Notation

Dans 2 n , n est appelé l'exposant.

On lit 2 exposant n ou, plus classiquement,  2 puissance n.

 

Voir Tracas de calculs avec les puissances

 

 

 

EXPÉRIENCES avec les PUISSANCES de 2

 

Illustration montrant  la progression des puissances de 2

 

On montre les valeurs successives des puissances de 2:

 

Remarquez d'abord que:

produit des nombres:           2   x 4   = 8

sommes des exposants:     2 1 x 2 2 = 2 1+2 = 23

 

 

Courbe

On dessine la courbe qui rejoint ces points:

 

 

Question

Si 23 = 8 et 24 =16, on est alors tenté de se demander ce qu'il se passe entre les deux. Est-ce qu'il existe, par exemple:

* une puissance 2 3,5 ?

* une puissance de 2 qui correspond 12 ?

 

Réponse:

Oui ! On généralise ce qui n'était qu'une notation en une fonction. On obtient, par exemple:

* 2 3,5 = 11,3

* 12 = 2 3,585

 

Généralisation

En fait, on peut prendre la puissance quelconque d'un nombre quelconque a b.

*   10 3,5     = 3162,2…

*     2,5 3,5  = 24,7…

*   12 21      = 460 05119 90936 97014 66112 = 0,46 … 10 23

* 123 321     = 0,72 … 10 671

 

Ça grimpe vite ! C'est justement un des intérêts de cette notation. Nommer de très grands nombres à l'aide de nombres plus courts.

 

 

Voir Prolongement pour les puissances négatives

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

Fondamentale

 

Le produit des puissances (x et y) d'un nombre (a) est égale à la puissance somme (x+y) de ce nombre: ax . ay = ax + y

 

En effet, par exemple:

a2 = a . a

a3 = a . a . a

a2 . a3 = a .a . a. a . a = a5 = a 2 + 3

 

Exemples d'applications

 

a x . a y . a z

=

a x + y + z

 

a 4 . a 2 . a 5            

=

a 4 + 2 + 5  

= a 11

 

a x = a x + 0

=

a x . a 0

=> a 0 = 1

a n . a -n

=

a n - n = a 0 = 1

=> a -n = 1 / a n

 

Autres formules

( a . b ) x

=

a x

. b x

a x . y

=

( a x )y

 

a x / n

=

n a x

   n entier positif

a – x

=

1

/ a x   a0

a x – y  

=

a x

/ a y   a0

a x / a y

=

a x – y  

          a > 0

 

 

À bien noter:

Une puissance négative est une puissance positive au dénominateur: 2-2 = 1 / 22 et

Une puissance fractionnaire est une racine: 21/2 = .

 

 

Exemples

3 8 / 3 5         

=

3 8 - 5

= 3 3

5 3 / 5 6

=

5 3 - 6

= 5 -3

 

( 5 3 ) 2

=

5 3 . 2  

= 5 6

( 5 . a ) 2

=

5 2 . a 2

= 125 . a 2

( 5 / 2 ) 5

=

5 5 / 2 5

= 3125 / 32

2 -3

=

1 / 2 3

= 1/ 8

8 -1 / 3

=

1 / 8 1/3

= 1/ (23) 1/3

= 1/ 23/3 = 1/2

 

Valeurs

a 0

100

=

=

1

1

a 1

101

=

=

a

10

Voir Valeurs avec des zéros

 

 

Prudence avec les nombres négatifs

 

a (x . y)  = (a x ) y

 

Pour que la formule soit exacte, il faut que a soit positif.

En effet, contre-exemple avec a = (-1):

 

  (-1) (2 . 1/2)  = (-1) 1    = - 1

( (-1) 2 )  1/2  = ( 1 ) 1/2  =   1

 

 

 

Remarques sur la forme des puissances

 

*    Il n'y a pas de carré de la forme 3n – 1.

 

*    Il n'y a pas de nombre triangulaire de la forme 3n – 1.

 

*    Tout cube est de la forme 9n + t avec t = -1 , 0 ou 1.

 

*    Le reste de la division par 7 d'un cube est 0, 1 ou 6.

 

*    Si un nombre est à la fois carré et cube, il est de la forme 7n ou 7n + 1.

 

*    Quels que soient a et x, ax + a et ax – a sont toujours pairs.

 

*    Toute puissance paire d'un nombre impair est de la forme 8r + 1.

 

*    Toute puissance 12e d'un nombre est de la forme 13n ou 13n + 1.

 

*    Toute puissance 8e d'un nombre est de la forme 17n + t avec t = -1, 0 ou 1.
 

 

 

Exemples de calculs simples

 

 

 (La puissance zéro met à 1)

 

(La puissance 1 laisse en l'état)

    

 

           

 

 


 

Attention

Se souvenir que puissance k veut dire que le produit est répété k fois.

 

 

Voir Déjouer les principaux pièges / Puissances de dix / Formation des nombres

 

 

Transformation avec les produits du nombre ou de l'exposant

 

86 = 26 x 46 = 26 x 26 x 26

    = 83 x 83 = 23 x 43 x 23 x 43 = 23 x 23 x 23 x 23 x 23 x 23

    = 262 144

 

Transformation avec le double du nombre ou de l'exposant

 

Ex:   36   =      93 = 729

         76   =   493 = 117 649
       1010 = 1005 = 10 000 000 000

 

Voir Calculs avec nombres parfaits

 

 

Exposants FRACTIONNAIRES

 

Demi-mesure …

Maintenant que l'on sait jouer avec les puissances, faisons la même expérience avec les fractions.

Exprimons " 2 " de deux manières différentes (première ligne noire et dernière ligne bleue de chaque tableau):

 

 

La puissance fractionnaire est une racine.

 

 

Exemples de calcul

 

Méthode 1

Méthode 2

2 1,5 =

2 3 / 2

(2 1/2 ) 3

(2 ) 3

(1,414…) 3

2,828…

2 1,5 =

2 3 / 2

 ( 2 3 )

 8

2,828…

 

Méthode 1

Méthode 2

2 1,5 . 2 2,5 =

2 3 / 2 . 2 5 / 2

(2 ) 3 . (2 ) 5

(2 ) 3 + 5

(2 ) 8

24

16

2 1,5 . 2 2,5 =

2 1.5 + 2.5

2 4

16

 

Notez, par exemple, la multitude de possibilités pour faire 16:

16 =

24

 

21 . 23

= 2 x 8

21,5 . 22,5

= 2,828…  x 5,656…

22 . 22

= 4 x 4

21,821 . 22,179

= 3,533… x 4,528…

20,333… . 23,666…

= 1,259… x 12,699…

 

2 a . 2 b

avec a + b = 4

 

 

 

Puissances fractionnaires ou radicaux ?

 

*    Voici un calcul exécuté sous les deux formes. Dans les cas les plus complexes, la forme fractionnaire est plus pratique. 

 

Exposants fractionnaires

 

Radicaux



Bien retenir

*    Exposant négatifs                 DIVISIONS

*    Exposants fractionnaires     RACINES

 

Voir Exercices pratiques / Avec des racines cubiques

 

 

 

CALCULS – Exemples

 

Mise en bouche

 

Exprimez 44, 88 , et 1616 selon les puissances de 2, 4, 8 …

 

 

Égal 1

Énoncé

Solution

Simplifiez

2 n . 4 -2n . 8 n

On évalue

2 n . 4 -2n . 8 n

= 2 n . (2²) -2n . (23) n

= 2 n . 2 -4n . 2 3n

= 2 n - 4n + 3n

= 2 0

= 1

Énoncé

Solution

Si

a = b x

b = c y

c = a z

Montrez que

x.y.z = 1

On évalue

a = a1

= b x

= (c y ) x

= [(a z ) y ] x

= a x . y . z

Conclusion

x.y.z = 1

Énoncé

Solution

Évaluez

(a x )y - z .

(a y )z - x .

(a z )x - y

On développe

(a x )y - z . (a y )z - x . (a z )x - y

= a xy - xz . a yz -yx  . a zx - zy

= a xy - xz + yz -yx + zx - zy

= a 0

= 1

Voir Nombre 1

 

Comparaisons

Énoncé

Solution

Comparez

Sans calculer les valeurs

43

65

Évaluons chaque terme

43 = 3 1/4 = 3 3/12 = 1227

65 = 5 1/6 = 5 2/12 = 1225

Conclusion

1227 > 1225

43 > 65

Pour vérification

43 = 1, 316… le plus grand

65 = 1, 307…

Énoncé

Solution

Comparez

Sans calculer les valeurs

310

  5

Évaluons chaque terme

310 = 10 1/3 = 10 2/6 = 6100

5 = 5 1/2 = 5 3/6 = 6125

Conclusion

6100 < 6125

310 < 5

Pour vérification

310 = 2, 15…

5 = 2, 23 le plus grand

 

 

 

Exercice bonus

Valeur de  √(2^4 + 8^(-5)) / √(2^1 + 8^(-6))

 

 

Curiosités numériques

 

81 = 91+1, seule solution de AB = CB+1.

Autres possibilités

K

AB

=

CB + K

1

81

 

9

1+1

2

64

 

2

4+2

3

81

 

3

1+3

3

32

 

2

2+3

K

DAB

=

CB + K

2

243

 

3

3+2

2

256

 

2

6+2

0

343

 

7

3+0

7

512

 

2

2+7

1

512

 

8

2+1

 

 

 

 

English corner

 

Exposant

Index, pluriel indices

or exponent

Mantisse

Mantissa

Radicaux

Surds

Virgule flottante

Floating-point

 

The exponent of a number says how many times to use the number in a multiplication.

In words: 82 could be called "8 to the power 2" or "8 to the second power", or simply "8 squared".

In words: 53 could be called "5 to the third power", "5 to the power 3" or simply "5 cubed".

Source anglais: Exponents - Maths is fun

 

 

Bilan – Puissance, exposant et indice

Les exposants sont une forme d'écriture des puissances, bien pratique car il est possible de calculer simplement avec les exposants.

 

Lorsqu'on écrit 10 avec un petit 5 en haut à droite, on lit dix à la puissance 5. Le petit chiffre est l'exposant. Placé en bas à droite, il devient un indice.

 

Résumé des formes possibles des puissances et de leurs écritures

 

 

 

Question de vocabulaire: puissance ou exposant

L'exponentiation étend la notion de puissance en algèbre. Pour rendre compte de cela, certains emploie le vocable "dix exposant trois" au lieu de "dix puissance trois" ou "dix à la puissance trois". Cet usage n'est pas recommandé!

 

En fait "dix exposant trois" peut se dire, mais pour exprimer une notion particulière introduite explicitement par l'auteur du texte; mais s'il s'agit d'une puissance, on dit bien (et uniquement), en abrégeant de plus en plus:

*       dix élevé à la puissance trois ou

*       dix à la puissance trois ou

*       dix puissance trois.

 

Certains disent "dix exposant trois" et comme le dit Wikipédia, il s'agit d'un usage abusif. Ce n'est même pas un anglicisme, car les Anglo-Saxons disent aussi "ten to the power three", dix à la puissance trois.

 

Les exemples d'emploi de l'exposant autre que pour la puissance ne sont pas nombreux. Par contre, avec l'indice, il en existe de multiple: n indice 3 veut dire aussi bien le nombre n exprimé en base 3 ou encore le n, troisième du nom dans une énumération, etc.

 

Même pour la notation des combinaisons, qui nécessite indice et exposant, on dit "C deux trois" et non "C indice 2 exposant 3".

 

Il serait tentant d'uniformiser "10 exposant trois" comme on dit "dix indice trois". Cette symétrie de langage ne reflèterait pas la dissymétrie mathématique. Si l'indice avait un usage unique, il est à parier qu'il aurait lui-aussi un nom.

 

Voir DicoMot Maths: Puissance

 

 

 

 

Suite

*    Exposants - Exercices pratiques

*    Notation scientifique

*    Unité des puissances

*    Chiffres dans les puissances

Voir 

*    Calculs avec des racines cubiques

*    Exponentielles

*    ExposantsIndex

*    Limites de la fonction puissance

*    Logarithmes

*    Puissances de 10

*    Puissances de 2

*    Théorie des nombresIndex

*    Zéro et infini

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