NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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EXPOSANTS

 

Débutants

Général

PUISSANCES

& RACINES

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

Puissances

 

Puissance

Chiffres

Comparaison

Puissance de 2

Racine

Racine carrée

Continue

Racine de 2

Arithmétique

Algèbre

Négatif & Fract.

Étages

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Expériences avec les puissances de 2

>>> Propriétés

>>> Exemples de calculs simples

>>> Fractionnaires

>>> Fractionnaires ou radicaux?

>>> Calculs

>>> Anglais

 

 

 

 

 

PUISSANCES d'un nombre 

Notation particulièrement astucieuse et puissante qui s'expose à être très utilisée.

Les petits chiffres en haut à droite d'un nombre,

comme 210 qui vaut 2 multiplié 10 fois par lui-même.

210 = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 1 024.

Notez que 210 commence par 10.

 

 

 

APPROCHE

 

Puissances de 10

 

10

1 suivi de 1 zéro

10 1

 

100

1 suivi de 2 zéros

10 2

 

1000

1 suivi de 3 zéros

10 3

 

100 … 0

1 suivi de n zéros

10 n

 

Autre façon de voir

 

10

= 10

1 fois 10

10 1

100

= 10 x 10

2 fois 10 par lui-même

10 2

1000

= 10 x 10 x 10

3 fois 10 par lui-même

10 3

100 … 0

= 10 x 10 x …..x 10

n fois 10 par lui-même

10 n

 

Puissances de 2

 

2

= 2

1 fois 2

2 1

4

= 2 x 2

2 fois 2 par lui-même

2 2

8

= 2 x 2 x 2

3 fois 2 par lui-même

2 3

 

= 2 x 2 x …..x 2

n fois 2 par lui-même

2 n

 

Notation

Dans 2 n , n est appelé l'exposant.

On lit 2 exposant n ou, plus classiquement,  2 puissance n.

 

Voir Tracas de calculs avec les puissances

 

 

 

EXPÉRIENCES avec les PUISSANCES de 2

 

Illustration montrant  la progression des puissances de 2

 

On montre les valeurs successives des puissances de 2:

 

Remarquez d'abord que:

produit des nombres:           2   x 4   = 8

sommes des exposants:     2 1 x 2 2 = 2 1+2 = 23

 

 

Courbe

On dessine la courbe qui rejoint ces points:

 

 

Question

Si 23 = 8 et 24 =16, on est alors tenté de se demander ce qu'il se passe entre les deux. Est-ce qu'il existe, par exemple:

* une puissance 2 3,5 ?

* une puissance de 2 qui correspond 12 ?

 

Réponse:

Oui ! On généralise ce qui n'était qu'une notation en une fonction. On obtient, par exemple:

* 2 3,5 = 11,3

* 12 = 2 3,585

 

Généralisation

En fait, on peut prendre la puissance quelconque d'un nombre quelconque a b.

*   10 3,5     = 3162,2…

*     2,5 3,5  = 24,7…

*   12 21      = 460 05119 90936 97014 66112 = 0,46 … 10 23

* 123 321     = 0,72 … 10 671

 

Ça grimpe vite ! C'est justement un des intérêts de cette notation. Nommer de très grands nombres à l'aide de nombres plus courts.

 

 

Voir Prolongement pour les puissances négatives

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

Fondamentale

 

Le produit des puissances (x et y) d'un nombre (a) est égale à la puissance somme (x+y) de ce nombre: ax . ay = ax + y

 

En effet, par exemple:

a2 = a . a

a3 = a . a . a

a2 . a3 = a .a . a. a . a = a5 = a 2 + 3

 

Exemples d'applications

 

a x . a y . a z

=

a x + y + z

 

a 4 . a 2 . a 5            

=

a 4 + 2 + 5  

= a 11

 

a x = a x + 0

=

a x . a 0

=> a 0 = 1

a n . a -n

=

a n - n = a 0 = 1

=> a -n = 1 / a n

 

Autres formules

( a . b ) x

=

a x

. b x

a x . y

=

( a x )y

 

a x / n

=

n a x

   n entier positif

a – x

=

1

/ a x   a0

a x – y  

=

a x

/ a y   a0

a x / a y

=

a x – y  

          a > 0

 

 

À bien noter:

Une puissance négative est une puissance positive au dénominateur: 2-2 = 1 / 22 et

Une puissance fractionnaire est une racine: 21/2 = .

 

 

Exemples

3 8 / 3 5         

=

3 8 - 5

= 3 3

5 3 / 5 6

=

5 3 - 6

= 5 -3

 

( 5 3 ) 2

=

5 3 . 2  

= 5 6

( 5 . a ) 2

=

5 2 . a 2

= 125 . a 2

( 5 / 2 ) 5

=

5 5 / 2 5

= 3125 / 32

2 -3

=

1 / 2 3

= 1/ 8

8 -1 / 3

=

1 / 8 1/3

= 1/ (23) 1/3

= 1/ 23/3 = 1/2

 

Valeurs

a 0

100

=

=

1

1

a 1

101

=

=

a

10

Voir Valeurs avec des zéros

 

 

Prudence avec les nombres négatifs

 

a (x . y)  = (a x ) y

 

Pour que la formule soit exacte, il faut que a soit positif.

En effet, contre-exemple avec a = (-1):

 

  (-1) (2 . 1/2)  = (-1) 1    = - 1

( (-1) 2 )  1/2  = ( 1 ) 1/2  =   1

 

 

 

Remarques sur la forme des puissances

 

*    Il n'y a pas de carré de la forme 3n – 1.

 

*    Il n'y a pas de nombre triangulaire de la forme 3n – 1.

 

*    Tout cube est de la forme 9n + t avec t = -1 , 0 ou 1.

 

*    Le reste de la division par 7 d'un cube est 0, 1 ou 6.

 

*    Si un nombre est à la fois carré et cube, il est de la forme 7n ou 7n + 1.

 

*    Quels que soient a et x, ax + a et ax – a sont toujours pairs.

 

*    Toute puissance paire d'un nombre impair est de la forme 8r + 1.

 

*    Toute puissance 12e d'un nombre est de la forme 13n ou 13n + 1.

 

*    Toute puissance 8e d'un nombre est de la forme 17n + t avec t = -1, 0 ou 1.
 

 

 

Exemples de calculs simples

 

 

 (La puissance zéro met à 1)

 

(La puissance 1 laisse en l'état)

    

 

           

 

 


 

Attention

Se souvenir que puissance k veut dire que le produit est répété k fois.

 

 

Voir Déjouer les principaux pièges / Puissances de dix / Formation des nombres

 

 

 

Voir Calculs avec nombres parfaits

 

 

Exposants FRACTIONNAIRES

 

Demi-mesure …

Maintenant que l'on sait jouer avec les puissances, faisons la même expérience avec les fractions.

Exprimons " 2 " de deux manières différentes:

 

2

= 2

= 2 1

= 2 1/2 + 1/2

 

 

= 2 1/2 x 2 1/2  

=>

2 1/2  = 2

2

= 2 . 2

 

2

= 2 1/3 + 1/3 + 1/3

=  2 1/3 . 2 1/3 . 2 1/3

=>

2 1/3  = 3 2

2

= 2 . 2 . 2

 

 

La puissance fractionnaire est une racine.

 

 

Exemples de calcul

 

Méthode 1

Méthode 2

2 1,5 =

2 3 / 2

(2 1/2 ) 3

(2 ) 3

(1,414…) 3

2,828…

2 1,5 =

2 3 / 2

 ( 2 3 )

 8

2,828…

 

Méthode 1

Méthode 2

2 1,5 . 2 2,5 =

2 3 / 2 . 2 5 / 2

(2 ) 3 . (2 ) 5

(2 ) 3 + 5

(2 ) 8

24

16

2 1,5 . 2 2,5 =

2 1.5 + 2.5

2 4

16

 

Notez, par exemple, la mfultitude de possibilités pour faire 16:

16 =

24

 

21 . 23

= 2 x 8

21,5 . 22,5

= 2,828…  x 5,656…

22 . 22

= 4 x 4

21,821 . 22,179

= 3,533… x 4,528…

20,333… . 23,666…

= 1,259… x 12,699…

 

2 a . 2 b

avec a + b = 4

 

 

 

Puissances fractionnaires ou radicaux ?

 

*    Voici un calcul exécuté sous les deux formes. Dans les cas les plus complexes, la forme fractionnaire est plus pratique. 

 

Exposants fractionnaires

 

Radicaux



Bien retenir

*    Exposant négatifs                 DIVISIONS

*    Exposants fractionnaires     RACINES

 

Voir Exercices pratiques

 

 

 

CALCULS – Exemples

 

Mise en bouche

 

Comparez 88 à 44. Et 1616?

 

Le meilleur moyen pour ne pas donner un résultat trop vite, et probablement faux, consiste à mettre les deux nombres en exposant d'un même nombre. Ici 2k.

 

 

 

Égal 1

Énoncé

Solution

Simplifiez

2 n . 4 -2n . 8 n

On évalue

2 n . 4 -2n . 8 n

= 2 n . (2²) -2n . (23) n

= 2 n . 2 -4n . 2 3n

= 2 n - 4n + 3n

= 2 0

= 1

Énoncé

Solution

Si

a = b x

b = c y

c = a z

Montrez que

x.y.z = 1

On évalue

a = a1

= b x

= (c y ) x

= [(a z ) y ] x

= a x . y . z

Conclusion

x.y.z = 1

Énoncé

Solution

Évaluez

(a x )y - z .

(a y )z - x .

(a z )x - y

On développe

(a x )y - z . (a y )z - x . (a z )x - y

= a xy - xz . a yz -yx  . a zx - zy

= a xy - xz + yz -yx + zx - zy

= a 0

= 1

Voir Nombre 1

 

Comparaisons

Énoncé

Solution

Comparez

Sans calculer les valeurs

43

65

Évaluons chaque terme

43 = 3 1/4 = 3 3/12 = 1227

65 = 5 1/6 = 5 2/12 = 1225

Conclusion

1227 > 1225

43 > 65

Pour vérification

43 = 1, 316… le plus grand

65 = 1, 307…

Énoncé

Solution

Comparez

Sans calculer les valeurs

310

  5

Évaluons chaque terme

310 = 10 1/3 = 10 2/6 = 6100

5 = 5 1/2 = 5 3/6 = 6125

Conclusion

6100 < 6125

310 < 5

Pour vérification

310 = 2, 15…

5 = 2, 23 le plus grand

 

 

 

 

English corner

 

Exposant

Index, pluriel indices

or exponent

Mantisse

Mantissa

Radicaux

Surds

Virgule flottante

Floating-point

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Exposants - Exercices pratiques

*    Notation scientifique

*    Unité des puissances

*    Chiffres dans les puissances

Voir 

*    Exponentielles

*    ExposantsIndex

*    Limites de la fonction puissance

*    Logarithmes

*    Puissances de 10

*    Puissances de 2

*    Théorie des nombresIndex

*    Zéro et infini

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