Approche

*        La voiture avance selon un profil de vitesse le long du parcours: en maths on remplace vitesse par dérivée.

*        La dérivée en un point d'une courbe exprime la tendance de la courbe en ce point: croissante, décroissante et, à quel rythme.

*        C'est un indicateur de la vitesse de variation de cette courbe.

*        Dérivée = valeur de la pente (ou coefficient directeur) de la tangente en un point d'une courbe.

Notion voisine

Notion duale

VITESSE, PENTE, TANGENTE, DÉRIVÉE

SURFACE (aire), INTÉGRALE

 

Définition

 

*        Une fonction f(x).

*        Deux valeurs proches en x:

x0 et x1 avec x1 – x0 = h

 

*        La valeur de la fonction pour ces abscisses:

derive

f(x0) et f(x1) avec f(x1) – f(x0) = H

 

*        La dérivée est:

limite de H / h quand h tend vers 0

 

Notations

Dérivée de f(x) en a

 

f'(a) ou   df / dx

 

La notation en y' (lire y prime) est de Newton

 

Dérivée de y = f(x)

 

y'    ou   dy / dx

 

Celle en d/d est de Leibniz.

 

 

 

Anglais

*        Derivative

*      For the real function f, if { f(a+h) – f(a) } / h has a limit as h  0, this limit is the derivative of f at a and is denoted by f ' (a)

*      The derivative is obtained as the limit of the Newton quotient

*      And this is equivalent to the notion of the gradient of a graph

The gradient of a graph = la pente de la courbe

*        From another point of view , the subject is concerned essentially with the rate of change of one quantity with respect to another

En savoir plus

 

*           Dérivées usuelles

*           Dérivée débutant et développements

*           Dérivées en classe de première

*           Dérivée de l'exponentielle

*           Vitesses de toute nature

*           Galilée

*           Newton

*           Primitives et intégration

 

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Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

Dérivée des fonctions simples

 

Fonction

Fonction dérivée

y = c

y' = 0

y = x

y = ax + b

y = ax² + bx + c

y' = 1

y' = a

y' = 2ax + b

y = a / x

y = u / v

y' = - a / x²

y' = (u'.vu.v') / v²

y = a . x r

y = a . x

y' = a . r . x r-1

y' = a / (2x)

         Exemple

y = qx = x 1/q

y = qxp = x p/q

y' = (1/q) . x (1/q-1)

y' = (p/q) . x (p/q-1)

y = sin x

y = cos x

y = tan x

y' = cos x

y' = - sin x

y' = 1 + tan² x = 1/ cos² x

y = ln x

y = (ln x)²

y = (ln x)3

y = lga x

y' = 1 / x

y' = 2 ln x / x

y' = 3 (ln x)² / x

y' = 1 / (x . ln a)

y = ex

y = ax

y' = ex

y' = ax . ln a

 

Voir Exemples de calcul de ces dérivées / Calcul par intégration

 

 

 

Formule générale

Fonction

Fonction dérivée

y = u n

y' = n . u (n-1) . u'

 

 

 

Dérivée des fonctions composées

 

Fonction

Dérivée

y = u + v

y = u .v

y = u . v . w

y' = u' + v'

y' = u.v' + u'.v

y' = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'

y = 1 / v

y = u / v

y' = - v' / v²

y' = (u'.v - u.v') / v²

y = u

y' = u' / (2u)

y = g(u) & u = f(x)

y'x = y'u . u'x

On écrit aussi:

dy/dx = dy/du . du/dx

y = ln u

y = eu

y' = u' / u

y' = eu . u'