Glossaire - dérivée

DÉRIVÉE

Approche

La voiture avance selon un profil de vitesse le long du parcours: en maths on remplace vitesse par dérivée.

La dérivée en un point d'une courbe exprime la tendance de la courbe en ce point: croissante, décroissante et, à quel rythme.

C'est un indicateur de la vitesse de variation de cette courbe.

Dérivée = valeur de la pente (ou coefficient directeur) de la tangente en un point d'une courbe.

Notion voisine

Notion duale

VITESSE, PENTE, TANGENTE, DÉRIVÉE

SURFACE (aire), INTÉGRALE

*Définition*	Une fonction f(x). Deux valeurs proches en x: x₀ et x₁ avec x₁ – x₀ = h La valeur de la fonction pour ces abscisses:
	f(x₀) et f(x₁) avec f(x₁) – f(x₀) = H La dérivée est: limite de H / h quand h tend vers 0
*Notations*	Dérivée de f(x) en a f'(a) ou df / dx La notation en y' (lire y prime) est de Newton	Dérivée de y = f(x) y' ou dy / dx Celle en d/d* est de Leibniz.*

Anglais

Derivative

For the real function f, if { f(a+h) – f(a) } / h has a limit as h 0, this limit is the derivative of f at a and is denoted by f ' (a)

The derivative is obtained as the limit of the Newton quotient

And this is equivalent to the notion of the gradient of a graph

The gradient of a graph = la pente de la courbe

From another point of view , the subject is concerned essentially with the rate of change of one quantity with respect to another

Dérivée des fonctions simples

Fonction

Fonction dérivée

y = c

y' = 0

y = x

y = ax + b

y = ax² + bx + c

y' = 1

y' = a

y' = 2ax + b

y = 1 / x

y = a / x

y = 1 / u

y = u / v

y' = - 1 / x²

y' = - a / x²

y' = -u' / u²

y' = (u'.v – u.v') / v²

y = a . x ^r

y = a . x

y' = a . r . x^r-1

y' = a / (2x)

Exemple

y = ^qx = x^1/q

y = ^qx^p = x^p/q

y' = (1/q) . x^(1/q-1)

y' = (p/q) . x^(p/q-1)

y = sin x

y = arcsin x

y = cos x

y = tg x

y = arctg x

y' = cos x

y' = 1 / (1 – x²)

y' = - sin x

y' = 1 + tg² x = 1/ cos² x

y' = 1 / (1 + x²)

y = ln x

y = (ln x)²

y = (ln x)³

y = lg_a x

y' = 1 / x

y' = 2 ln x / x

y' = 3 (ln x)² / x

y' = 1 / (x . ln a)

y = e^a.x (a complexe)

y = a^x

y' = a.e^a.x

y' = a^x . ln a

y = (e^u)

y = ln u

y = u^a

y' = e^u.u'

y' = u' / u (u>0)

y' = au^{a – 1} . u'

Voir Exemples de calcul de ces dérivées / Calcul par intégration

Table de primitives

Formule générale

*Fonction*	*Fonction dérivée*
y = uⁿ	y' = n . u^(n-1) . u'

Dérivée des fonctions composées

*Fonction*	*Dérivée*
y = u + v y = u .v y = u . v . w	y' = u' + v' y' = u.v' + u'.v y' = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'
y = 1 / v y = u / v	y' = - v' / v² y' = (u'.v - u.v') / v²
y = u	y' = u' / (2u)

y = g(u) & u = f(x)	y'_x = y'_u . u'_x On écrit aussi: dy/dx = dy/du . du/dx
y = ln u y = e^u	y' = u' / u y' = e^u . u'