NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   ANALYSE

 

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Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

 

Théorie des nombres

Définition

Classique

1 / x, 1 / x² …

UnInfini

Dérivées

Polynôme

Hôpital

x .ln (x)

Limite avec ln

Sin (k / n²)

 

Sommaire de cette page

>>> Suite en sinus – Algorithme et programmation

>>> Guide de la démonstration

>>> Suite simple

>>> Encadrement 

>>> Sommation sur k

 

 

 

 

 

 

Analyse de la suite

qui converge vers ½ pour n infini

 

Étude formelle pas à pas avec au préalable une vision expérimentale (algorithme et programmation).

 

 

 

 

Suite: Un=sin(1/n^2)+sin(2/n^2)+...+sin(n/n^2)

Étude expérimentale de  la suite

 

n est un entier strictement positif

 Programme Maple

Algorithme (commentaires)

 

Se mettre en situation de départ.

Mettre u à 0 et fixer n à 1000.

Lancer une boucle de calcul avec k allant de 1 à n.

Calculer le nouveau terme de la suite (sin(k/n²) et l'ajouter à la valeur de la suite u déjà calculée.

Fin de la boucle (od  = do à l'envers).

Évaluez la valeur finale de u et l'afficher (effet du point virgule).

 

La valeur affichée est proche de 0,5 = 1/2

Convergence de cette suite

Voir Programmation

 

Guide de la démonstration formelle

 

 

Suite: Vn= (1/n^2)+(2/n^2)+...+(n/n^2)

Prenons la suite plus simple

Mise en facteur

Somme des entiers

Limite de cette suite

 

 

Encadrement  de sinus x

Pré-requis: fonctions qui ne prennent de des valeurs positives sur

On étudie la dérivée

Or cosinus(x) est compris entre -1 et +1 => f' est strictement croissante pour x positif.

=> x est plus grand que sin(x).

 

Fonction ayant la précédente pour dérivée

=> g est strictement croissante pour x positif.

 

Nouvelle fonction ayant la précédente pour dérivée

=> h est strictement croissante pour x positif.

 

Conséquence pour sin(x).

 

Notez qu'ici, x = n, un entier à partir de 1.

 

Ex:

sin(1) = 0,841… > 0,833...

sin(1,57) = 1… > 0,924...

 

Bilan

 

 

 

Sommation sur k

Nous allons montrer que =>

Pour tout entier non nul.

Nous avons vu que

 

Et pour tout k de 1 à n et x = k/n²

 

En sommant pour les différentes valeurs de k

 

 

Notons la somme des cubes.

Ce qui donne

Autre partie de l'inégalité

avec x positif

Et pour tout k de 1 à n et x = k/n²

En sommant pour les différentes valeurs de k

Bilan avec les deux inégalités

Notre suite est encadrée par deux suites qui tendent vers la limite de Vn quand n tend vers l'infini

 

 

 

 

 

Suite

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*  Polynômes

*  Un puissance infinie

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Aussi

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*  Nombre ½ = 0,5

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