NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PHYSIQUE

 

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Sommaire de cette page

>>> Aire sous la droite (trapèze)

>>> Aire du segment de parabole

>>> Aire du disque

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Calcul par intégration

ou sommes infinies

 

Le calcul de la position d'un centre de gravité est simple lorsque la forme géométrique présente des symétries. Les choses deviennent plus difficiles pour les formes un peu plus complexes, notamment comportant des arrondis.

S'agissant de trouver un point d'équilibre de la matière autour du centre de gravité, la méthode consiste à découper la forme en menus morceaux et à en calculer le barycentre.

Nous faisons face alors à des sommes, d'autant plus nombreuses que notre découpage est fin. Un passage à la limite tendant vers une infinité de grains de matières de taille zéro conduit à ce qui s'appelle le calcul par intégration.

 

Cette page n'est pas un cours, mais une approche, une initiation!

 

 

 

Aire du trapèze

 

*    Nous savons calculer l'aire du trapèze rectangle en jaune sur la figure.

Aire = demi somme des bases multipliée par la hauteur:

 

 

*    Or, les points M1 et M2 sont situés sur la droite d'équation y = k.x
Ce qui veut dire que: c = k.a et d = k.b.

 

 

En remplaçant:

 

 

 

 

Voici une nouvelle méthode qui sera généralisable à n'importe quelle fonction, pas seulement celle de la droite.

Fonction de départ:

y

= k . x

 

Quelle est la fonction dont la dérivée est celle-ci?

 

Règle pratique de la dérivée: l'exposant devient coefficient et le nouvel exposant est l'ancien moins un. On "retourne" cette recette pour obtenir la primitive.

 

 

 

 

Y

La dérivée de x² est 2x, et

La primitive de x est  ½ x².

 

= ½ k .

L'aire est la différence de cette fonction calculée entre b et a.

 

 

 

 

Aire d'un segment de parabole

 

Nous sommes en présence d'une parabole d'équation y = 0,2 x².

 

Nous souhaitons connaître l'aire du segment de parabole ente x = a et y = b.

 

Une première méthode approximative consiste à compter les petits carreaux, en faisant attention aux échelles sur x et sur y.

 

Ici, nous trouvons: 22 carrés pleins et 6 partiels, soit 25 carré, et en tenant compte de l'unité en x: 12,5 unités carrées.

 

Par la méthode de l'intégrale

y

= k .

 

Quelle est la fonction dont la dérivée est celle-ci?

 

 

 

 

Y

La dérivée de x3 est 3x2, et

La primitive de x2 est  1/3 x3.

 

= 1/3 k . x3

L'aire est la différence de cette fonction calculée entre b et a.

 

Application numérique avec k = 1/5, a = 3 et b = 6.

 

 

Aire du disque

Nous allons calculer l'aire du disque en utilisant la méthode du calcul intégral.

Un bon test! Car le résultat est bien connu.

 

Par la méthode de l'intégrale avec l'équation du cercle.

y

 

Quelle est la fonction dont la dérivée est celle-ci? Avec une racine, un peu de précaution. Mieux vaut consulter une liste de primitives.

 

Y

L'aire est la différence de cette fonction calculée entre R et -R.

Les premier et troisième termes sont nuls. Quant aux arcsinus de 1 et -1, ils valent + Pi/2 (90°) et –Pi/2 .

 

 

Nous retrouvons bien la relation bien connue (le double pour le disque complet).

 

 

Bilan

Nous savons calculer des surfaces par la méthode des intégrales. Ce type de calcul est utile pour calculer la position du centre de gravité de formes complexes comportant notamment des arrondis. Le cas du demi-cercle est un excellent exemple.

 

 

 

 

Suite

*  Calcul par intégration – Centre de gravité du demi-disque

*  Centre de gravité – Formes complexes

*  Centre de gravité et barycentreGlossaire

Intégration

*  Calcul par intégration – Principe avec exponentielle

*  Dérivées et primitives – Je passe de l'une à l'autre

*  Dérivées et intégrales – Je dérive ou j'intègre?

*  Loi de Benford (établissement de la -)

Voir

*  ArchimèdeBiographie

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