NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 16/10/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

ANALYSE

 

Débutants

Général

Dérivées

 

Glossaire

Dérivée

 

 

INDEX

Analyse

 

Approche

Débutants

Développement

Ficelles de première

Les dérivées usuelles

Première

Exemples résolus

Crocodile et zèbre

 

Sommaire de cette page

>>> Racines et fractions

>>> Dérivée d'une racine

>>> Calcul avec un programme

>>> Boite à outils – Dérivée d'une racine

>>> Boite à outils – Dérivée d'un inverse

>>> Boite à outils –  x et sa racine

>>> Variations sur notre exemple

 

 

 

 

DÉRIVÉES – Exemple avec racines

 

Exemples développés à fond pour resynchroniser les personnes qui auraient un peu décroché.

 

 

Racine et fractions

*    Calculer la dérivée de:

f =

*    La fonction f est un produit.

On pourrait également la voir sous la forme d'une fraction: u / v' avec v' = x.

f =

u =

v =

 

*    Boite à outil:

*  la dérivée d'un produit:

*  sans confusion possible on peut écrire le produit.

f' =(u . v)' =

 

f' = (uv)' =

u . v' + u' . v

 

uv' + u'v

*    Dérivée de u:

*  Voir la boite à outils

u' =

*    Dérivée de v:

*  Voir la boite à outils

v' =

*    Dérivée de uv = f' = uv' + u'v

f' = uv' + u'v =

 

*    Calcul du premier terme de l'addition

*  Le signe moins dans un produit va se placer en tête.

*  Multiplier par 1/ x² c'est diviser par x²

*  Les parenthèses deviennent inutiles en haut

 

A1 =

 

*    Calcul du second terme de l'addition

*  Multiplier par 1/x c'est diviser par x

*  J'ordonne en x

*  Je supprime la parenthèse devenue inutile.

*  Je ne fais rien de x fois racine de x!

 

A2 =

 

*    Retour à la dérivée demandée

 

*    Nous voulons une fraction; mettons tout avec le même dénominateur, produit des deux dénominateurs présents en retriant les facteurs commun, ici le x est en commun

f' = (uv)'  =

*    Exprimons A1 avec ce nouveau dénominateur:

*  Je multiplie par une fraction égale à 1, ce qui ne change pas la valeur de la fraction;

*  Avec une multiplication, les numérateurs se multiplient comme les dénominateurs;

*  Le dénominateur est un produit de trois facteurs, je peux inverser (commuter) les facteurs

 

A1 =

 

 

 

*    Calcul, en se souvenant de la définition de la racine carré de n: c'est un nombre qui multiplié par lui-même donne n:

*    Je m'abstiens de simplifier par racine de x, car alors je devrais restreindre à x différent de 0.  

 

A1 =

 

 

*    Exprimons A2 avec le dénominateur commun

 

A2 =

 

 

 

*    Revenons à notre dérivée une fois de plus

f' =(uv)'=

A1 + A2 =

 

 

 

*    Si nous imposons x différent de 0, nous pouvons simplifier par racine de x:

f' =

*    Si nous voulons conserver toutes les possibilités pour x, nous multiplions par racine de x pour éliminer le radical du dénominateur.

f' =

 

 

Calcul avec un programme

 

 

 

Instructions Maple

Notez que deux étapes finales sont nécessaires pour obtenir une fraction simple sans radicaux au dénominateur.

 

Entrée de l'expression.

 

 

 

Demande du calcul de la dérivée (différentiel) par rapport à x.

 

 

 

Simplification des radicaux, spécialement au dénominateur.

 

 

 

Élimination des radicaux au dénominateur.

Voir Programmation

 

 

 

Boite à outils – Dérivée d'une racine

*    On se souvient du calcul pratique de la dérivée d'une puissance:

f =

 

f' =

 

*    Une racine est une puissance un demi.

a =

*    Sa dérivée:

a' =

*    Dérivée d'une puissance:

a' =

*    Une puissance négative:

a' =

Retour à l'exercice

Voir Dérivées usuelles / Exemple de calcul

 

 

Boite à outils – Dérivée d'un inverse

*    Un inverse est une puissance négative.

a =

*    Dérivée d'une puissance

a' =

*    Passage à l'inverse

a' =

Retour à l'exercice

 

 

À retenir

 

Une puissance négative y-a   est l'inverse de la puissance : 1 / ya .

 

Une puissance fractionnaire y1/a   est une racine : .

 

 

 

Boite à outils –  x et sa racine

*    Remarque sur x et racine des x

*  Le produit est écrit sous forme compacte; ne pas oublier que cela exprime un produit de trois facteurs.

*  Je suis tenté de faire quelque chose avec x et racine de x.

 

*    Je ne peux le faire qu'en passant aux puissances fractionnaires

 

*    Un produit de puissance, les exposants s'ajoutent

 

*    On peut repasser aux radicaux

 

*    Notez que le signe "multiplier" (x) serait source de confusion d'où le point. Celui-ci est même omis lorsqu'il n'y a absolument aucune confusion possible

Retour à l'exercice

 

 

 

Variations sur notre exemple

 

 

 

 

Suite

*    Dérivées

*   Crocodile et zèbre

*    Intégrale – Approche avec 1/x

*    Primitive

Voir

*    DérivéesGlossaire

*    Équations différentiellesGlossaire

*    Infinitésimaux

*    Physique en seconde

*      VitesseGlossaire

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Analyse/DerivInt/DerivEx1.htm