NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Exponentielle

EXPONENTIELLE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Arithmétique

Algèbre

Analyse

 

Introduction

Valeur

Fractions

Analogies

Propriétés

Formules

Dénombrements

Base

Dévelop ex

 

Sommaire de cette page

>>> Irrationnel & transcendant

>>> Propriétés de "e" et "i"

>>> Fonction exponentielle

>>> Exponentielle & puissance

>>> Chaînette

>>> Maximum – Curiosité

 

 

 

 

 

Propriétés de la CONSTANTE "e"

 

On se retrouve enchaîné (en chaînette!) à la trigonométrie.

C'est un peu complexe, ou alors, imaginaire.

On part à la dérive 

 

 

IRRATIONNEL & TRANSCENDANT

e

Irrationnel

Transcendant

Démonstration par Lambert en 1761

Démonstration par Hermite en 1873

 

Approche avec log 2

 

 

 

Approche avec log 3

 

 

 

Approche avec la formule en  factorielles

 

 

Voir Fraction

 

 

QUATRE CONSTANTES LIÉES

 

Euler et ses formules

 

*    La formule " magique " des quatre constantes arithmétiques a été mise au point par Euler , sur des indications d'Abraham de Moivre.

*    Formule élégante, difficile à interpréter, mais prouvée!

*    Se calcule à partir de la formule générale en thêta, trouvée par Euler.

*    L'application de cette formule montre la relation à quatre constantes.

 

 

Voir Déclinaison de ces formules / Puissance de l'imaginaire  / Formule avec le nombre d'or

 

 

 

PROPRIÉTÉS de la fonction EXPONENTIELLE

 

Dérivée

 

 

 

 

 

 

 

 

Formulation

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Développement

 

 

 

 

 

 

 

Limite

 

 

 

Complexe

 

 

Le taux de variation de ex au point x = t vaut et.

 

La fonction exponentielle est  égale à sa dérivée.

 

Seule fonction ayant cette propriété.

Solution de l'équation différentielle la plus simple.

 

 

La fonction exponentielle est égale à la somme infinie des inverses des factorielles des nombres  successifs.

 

                              Newton 1665

Voir Somme suites infinies

 

 

 

 

Avec z = x + iy

 

 

Autres Propriétés / Suite en  Formules produisant e / Dérivée / Complexes

 

 

EXPONENTIELLE & PUISSANCE

 

Courbes a x selon la valeur de a

 

*    Toutes les courbes passent par x = 0 et y = 1.

*    Dans un sens pour x > 1, symétriques pour x < 1.

*    Elles coupent la droite x = 1 (ou -1) en des valeurs de y particulières (droites bleues)

 

À noter

*    La courbe avec a = 2 donne la croissance des puissances de 2.

*    Ces courbes montrent l'allure des progressions géométriques

*    La courbe exponentielle est une courbe puissance particulière (verte).

 

 

 

CHAÎNETTE

 

Courbe de la chaînette

Forme d'une chaîne pendante tenue par deux points.

 

Avec ch : cosinus hyperbolique

 

 

Illustration selon la valeur de a

*    On repère facilement chaque courbe, car elle passe par x = 0 et y = a.

 

Voir Igloo / Cycloïde

 

 

MAXIMUM – Racine énième de n – Curiosité

 

*    Quelle est la valeur qui maximalise la valeur de la racine énième de n?

 

 

*    La courbe passe naturellement par le point {1, 1}.

*    Elle tend asymptotiquement vers 1 pour x tendant vers l'infini.

 

Voir Nombre 1, 4446678 … / Valeurs de e puissance e

 

 

 

 

Suite

*    Valeur de la constante "e"

*    Base des logarithmes

*    Développement de ex

Voir

*    Cercle

*    Constantes

*    Courbes élémentaires

*    Courbe de charge d'un condensateur

*    Exposants et puissances

*    Exposants et puissances  Index

*    Logarithmes

*    Nombre d'or

*    Pi

*    Théorie des nombres

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