NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Analyse

 

Débutants

Exponentielle

EXPONENTIELLE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Arithmétique

Algèbre

Analyse

 

Introduction

Valeur

Fractions

Analogies

Propriétés

Formules

Dénombrements

Base

Dévelop ex

 

Sommaire de cette page

>>> Irrationnel & transcendant

>>> Propriétés de "e" et "i"

>>> Fonction exponentielle

>>> Exponentielle & puissance

>>> Chaînette

>>> Maximum – Curiosité

 

 

 

 

 

Propriétés de la CONSTANTE "e"

 

On se retrouve enchaîné (en chaînette!) à la trigonométrie.

C'est un peu complexe, ou alors, imaginaire.

On part à la dérive 

 

 

IRRATIONNEL & TRANSCENDANT

e

Irrationnel

Transcendant

Démonstration par Lambert en 1761

Démonstration par Hermite en 1873

 

Approche avec log 2

 

 

 

Approche avec log 3

 

 

 

Approche avec la formule en  factorielles

 

 

Voir Fraction

 

 

QUATRE CONSTANTES LIÉES

 

Euler et ses formules

 

*    La formule " magique " des quatre constantes arithmétiques a été mise au point par Euler , sur des indications d'Abraham de Moivre.

*    Formule élégante, difficile à interpréter, mais prouvée!

*    Se calcule à partir de la formule générale en thêta, trouvée par Euler.

*    L'application de cette formule montre la relation à quatre constantes.

 

 

Voir Déclinaison de ces formules / Puissance de l'imaginaire  / Formule avec le nombre d'or

 

 

 

PROPRIÉTÉS de la fonction EXPONENTIELLE

 

Dérivée

 

 

 

 

 

 

 

 

Formulation

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Développement

 

 

 

 

 

 

 

Limite

 

 

 

Complexe

 

 

Le taux de variation de ex au point x = t vaut et.

 

La fonction exponentielle est  égale à sa dérivée.

 

Seule fonction ayant cette propriété.

Solution de l'équation différentielle la plus simple.

 

 

La fonction exponentielle est égale à la somme infinie des inverses des factorielles des nombres  successifs.

 

                              Newton 1665

Voir Somme suites infinies

 

 

 

 

Avec z = x + iy

 

 

Autres Propriétés / Suite en  Formules produisant e / Dérivée / Complexes

Voir Brève 769

 

 

EXPONENTIELLE & PUISSANCE

 

Courbes a x selon la valeur de a

 

*    Toutes les courbes passent par x = 0 et y = 1.

*    Dans un sens pour x > 1, symétriques pour x < 1.

*    Elles coupent la droite x = 1 (ou -1) en des valeurs de y particulières (droites bleues)

 

À noter

*    La courbe avec a = 2 donne la croissance des puissances de 2.

*    Ces courbes montrent l'allure des progressions géométriques

*    La courbe exponentielle est une courbe puissance particulière (verte).

 

 

 

CHAÎNETTE

 

Courbe de la chaînette

Forme d'une chaîne pendante tenue par deux points.

 

Avec ch : cosinus hyperbolique

 

 

Illustration selon la valeur de a

*    On repère facilement chaque courbe, car elle passe par x = 0 et y = a.

 

Voir Igloo / Cycloïde

 

 

MAXIMUM – Racine énième de n

 

Problème de Steiner

Ce problème a été formulé et résolu par Jakob Steiner en 1850.

 

Quelle est la valeur qui maximalise la valeur de la racine énième de x?

 

Steiner's calculus problem

 

The problem of finding the maximum of f(x) = x^(1/x) was posed and solved by the Swiss mathematician Jakob Steiner (1796-1863) in 1850.

 

Voir Références

 

 

 

Courbe verte: la fonction

 

Courbe bleue: sa dérivée

    

Nulle pour ln(x) = 1 soit x = e

 

 

La courbe passe naturellement par le point {1, 1}.

Elle tend asymptotiquement vers 1 pour x tendant vers l'infini.

 

 

La fonction x^x^x^x... (x puissance x, puissance x, etc. jusqu'à l'infini) a une limite si x est compris entre (Euler):

e -e = 0,065 988      et    e 1/e = 1,444 667.

Voir Nombre 1, 4446678 … / Valeurs de e puissance e

 

 

Calcul avec Maple

evalf[50](exp(exp(-1)));  1.4446678610097661336583391085964302230585954532423

Note:  exp(-1) = e-1 = 1/e

 

 

Extrait du texte de Steiner

Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl- Steiner – pdf

 

 

Démonstration sans la dérivée

 

Sur le graphe présenté:

 

 

En élevant à la puissance 1/x

 

Voir Brève 815

 

 

 

 

 

Suite

*    Valeur de la constante "e"

*    Base des logarithmes

*    Développement de ex

Voir

*    Cercle

*    Constantes

*    Courbes élémentaires

*    Courbe de charge d'un condensateur

*    Exposants et puissances

*    Exposants et puissances  Index

*    Logarithmes

*    Nombre d'or

*    Pi

*    Théorie des nombres

Sites

*      Steiner's Calculus problem – Wikipedia

*      Steiner's Problem – Wolfram MathWorld

*      OEIS A073229 – Decimal expansion of e^(1/e).

*      Algebraic and transcendental solutions of some exponential equations** – Jonathan Sondowa, Diego Marques – 2009

*      Steiner's calculus problem

*      Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl- Steiner - pdf

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/ExpoProp.htm