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Propriétés de l On se retrouve enchaîné (en chaînette!)
à la trigonométrie. C'est un peu complexe, ou alors, imaginaire. On part à la dérive … |
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e |
Démonstration
par Lambert en 1761 Démonstration par Hermite en 1873 |
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Approche avec log 2 |
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Approche avec log 3 |
Voir
Fraction
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Euler
et ses formules La formule
" magique " des quatre constantes
arithmétiques a été mise au point par Euler , sur des indications d'Abraham de Moivre. Formule élégante,
difficile à interpréter, mais prouvée! Se calcule à partir
de la formule générale en thêta, trouvée par Euler. L'application de
cette formule montre la relation à quatre constantes. |
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Voir Déclinaison de ces formules / Puissance de l'imaginaire / Formule avec
le nombre d'or
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Dérivée Formulation Développement Limite Complexe |
Le
taux de variation de ex au point x = t vaut et. La fonction exponentielle est égale à sa
dérivée. Seule fonction ayant cette
propriété. Solution de l'équation
différentielle la plus simple. La fonction exponentielle est égale
à la somme infinie des inverses des factorielles des nombres successifs. Newton 1665 Avec z = x + iy |
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Autres Propriétés / Suite en Formules
produisant e / Dérivée / Complexes
Voir Brève
769
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Courbes a x
selon la valeur de a
Toutes les courbes passent par x = 0
et y = 1.
Dans un sens pour x > 1,
symétriques pour x < 1.
Elles coupent la droite x = 1 (ou -1)
en des valeurs de y particulières (droites bleues) À noter
La courbe avec a = 2 donne la croissance des puissances de 2.
Ces courbes montrent l'allure des progressions
géométriques
La courbe exponentielle est une
courbe puissance particulière (verte). |
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Courbe de la chaînette Forme d'une chaîne
pendante tenue par deux points. Avec ch : cosinus
hyperbolique Illustr
On repère facilement chaque courbe,
car elle passe par x = 0 et y = a. |
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Problème de Steiner Ce problème a été formulé et résolu par
Jakob Steiner en 1850. Quelle est la valeur qui maximalise
la valeur de la racine énième de x? |
Steiner's calculus
problem The problem of finding the maximum of f(x)
= x^(1/x) was posed and solved by the Swiss mathematician Jakob Steiner (1796-1863) in 1850. Voir Références |
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Courbe verte: la
fonction Courbe bleue:
sa dérivée Nulle
pour ln(x) = 1 soit x = e |
La courbe passe naturellement par le point
{1, 1}. Elle tend asymptotiquement vers 1 pour x
tendant vers l'infini. |
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La
fonction x^x^x^x... (x puissance x, puissance x, etc. jusqu'à
l'infini) a une limite si x est compris entre (Euler): e -e = 0,065 988 et
e 1/e = 1,444 667. Voir
Nombre 1,
4446678 … / Valeurs de e puissance e |
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Calcul avec Maple evalf[50](exp(exp(-1)));
1.4446678610097661336583391085964302230585954532423 Note: exp(-1) = e-1 = 1/e |
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Extrait du texte de
Steiner Über das größte Product
der Theile oder Summanden jeder Zahl- Steiner – pdf |
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Démonstration sans la
dérivée Sur
le graphe présenté: En
élevant à la puissance 1/x |
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Voir Brève
815
Suite |
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Voir |
Courbe de charge
d'un condensateur Exposants et puissances – Index |
Steiner's Calculus
problem – Wikipedia
Steiner's Problem
– Wolfram MathWorld
OEIS A073229 – Decimal expansion of
e^(1/e).
Algebraic
and transcendental solutions of some exponential equations** – Jonathan
Sondowa, Diego Marques – 2009
Über das größte Product
der Theile oder Summanden jeder Zahl- Steiner - pdf |
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