NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ALGÈBRE

 

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Algèbre

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Algèbre

 

 

INDEX

Arithmétique et Algèbre

 

Techniques de base

Additions

Multiplications

Parenthèses

Multi Parenthèses

Divisions

 

 

Sommaire de cette page

>>> Parenthèses triples

>>> Bilan – À retenir

>>> Multi – parenthèses

>>> Factorisation

>>> Bilan – Technique opératoire en pratique

>>> Cas des identités remarquables

 

 

   

  PARENTHÈSES

 

 

*    Suite sur le calcul algébrique avec parenthèses.

*    Explications supplémentaires, pas à pas et bilan.

 

 

Parenthèses triples: 

(a+b)(c+d)(e+f)=?

 

 

Pour se souvenir:

*    Pensez à deux  paquets avec dans chacun 3 bonbons et 5 sucettes.

Au total, vous conviendrez qu'il y a bel et bien

2 x 3 bonbons et 2 x 5 sucettes.

*    En résumé, je l'écris:

2 paquets de (3 bonbons + 5 sucettes).

*    En abrégé:

2 (3 bonbons + 5 sucettes) = 6 bonbons et 10 sucettes.

 

Règle à retenir

*    La règle: si j'ai un nombre qui multiplie une parenthèse, ce nombre multiplie chaque terme de la parenthèse.

 

A  x (B + C) = A x B + A x C

 

*    C'est devenu une habitude, lorsqu'il n'y a pas confusion d'écrire sans le signe x:

 

A (B + C) = A B + A C

 

 

Applications

 

*    On peut compliquer les choses.
Par exemple si A vaut (a + b), qu'est-ce qui se passe?

*    Rien de compliqué. J'applique ma règle.

A (B + C) = A B + A C avec A = (a + b)

 

Je remplace A par sa valeur de chaque côté.

(a + b) (B + C) = (a + b) B + (a + b) C

 

Et, discipline j'applique à nouveau la règle

(a B + b B) + (a C + b C)

 

Bilan:

(a + b) (B + C) = a B + b B + a C + b C

 

*    Chacun des termes de la première parenthèse se marie avec chacun des termes de la seconde.

 

Solution du problème posé

 

*    Avec trois produits entre parenthèses comment s'y prendre?

E = (a + b) (c + d) (e + f) = ?

 

Pas très compliqué; on va appliquer la règle en procédant par étapes.

Posons X = (a + b) (c + d)

 

Nous savons d'ores et déjà que

X = (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

 

Notre expression E devient:

E = X (e + f) = Xe + Xf

 

Remplaçons X par sa valeur

E = Xe + Xf = (ac + ad + bc + bd) e + (ac + ad + bc + bd)f

 

On développe en appliquant le terme e à chacun des termes de la parenthèse.

Et même chose pour f.

E = ace + ade + bce + bde + acf + adf + bcf + bdf

 

Nous y voilà!

L'usage veut que l'on mette tout cela par ordre alphabétique:

E = ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf

 

 

 

 

BILAN – À retenir

 

(a + b) (c + d) (e + f)

=

ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf

 

*    Il s'agit de toutes les combinaisons des trois lettres entre elles.

 

Illustration

 

 

 

Multi – parenthèses à deux termes

 

(a + b) (c + d) =

   ac + ad + bc + bd

 

(a + b) (c + d) (e + f) =

   ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf

 

(a + b) (c + d) (e + f) (g + h) =

   aceg + aceh + acfg + acfh

+ adeg + adeh + adfg + adfh

+ bceg + bceh + bcfg + bcfh

+ bdeg + bdeh + bdfg + bdfh

 

(a + b) (c + d) (e + f) (g + h) (x + y) =

   acfhy + acehx + bdfhx + adehy

+ acfhx + acegx + acegy + acehy

+ acfgx + acfgy + adegx + adegy

+ adehx + adfgx + adfgy + adfhx

+ adfhy + bcegx + bcegy + bcehx

+ bcehy + bcfgx + bcfgy + bcfhx

+ bcfhy + bdegx + bdegy + bdehx

+ bdehy + bdfgx + bdfgy + bdfhy

 

*    Notez que le nombre de termes est égal à 2n , avec n la quantité de parenthèses. Avec 2 termes par parenthèses et 3 parenthèses, il a 23 = 8 termes dans l'expression développée.

 

 

 

Multi – parenthèses à trois termes

 

(a + b + c) (d + e + f) =

ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf

 

(a + b + c) (d + e + f) (x + y + z) =

   adx + ady + adz + aex + aey + aez + afx + afy + afz

+ bdx + bdy + bdz + bex + bey + bez + bfx + bfy + bfz

+ cdx + cdz + cex + cey  + cez + cfx  + cfy + cfz  + cdy

 

*    Notez que le nombre de termes est égal à 3n , avec n la quantité de parenthèses. Avec 3 termes par parenthèses et 3 parenthèses, il a 33 = 27 termes dans l'expression développée.

 

 

 

FACTORISATION

 

*    Factorisez le polynôme suivant:

ace + abf + abd + acd + acf  + abe

 

*    Mise en ordre alphabétique:

abd + abe + abf + acd + ace + acf

 

*    Extraction du facteur commun a:

a ( bd + be + bf + cd + ce + cf )

 

*    Mise en évidence des facteurs communs b et c:

a (  b (d + e + f) + c (d + e + f) )

 

*    Les termes b et c sont en facteur de la même expression entre parenthèses, regroupons:

a (  (b + c)  (d + e + f) )

 

*    La parenthèse derrière le a est inutile:

a  (b + c)  (d + e + f)

 

 

*    Factorisez le polynôme suivant:

abdx + abdy + abdz + abdt + abex + abey + abez + abet + abfx + abfy + abfz + abft + acdx + acdy + acdz + acdt + acex + acey + acez + acet + acfx + acfy + acfz + acft

 

*    La méthode est la même que celle indiquée ci-dessus

= a  { bdx + bdy + bdz + bdt + bex + bey + bez + bet + bfx + bfy

+ bfz + bft + cdx + cdy + cdz + cdt + cex + cey + cez + cet + cfx

+ cfy + cfz + cft }

 

= a { b (dx + dy + dz + dt + ex + ey + ez + et + fx + fy + fz + ft)

      + c (dx + dy + dz + dt + ex + ey + ez + et + fx + fy + fz + ft) }

 

= a { b (dx + dy + dz + dt + ex + ey + ez + et + fx + fy + fz + ft)

      + c (dx + dy + dz + dt + ex + ey + ez + et + fx + fy + fz + ft) }

 

= a { ( b + c) (dx + dy + dz + dt + ex + ey + ez + et + fx + fy + fz + ft) }

 

= a { ( b + c) (d (x + y + z + t)

                    + e (x + y + z + t) 

                     + f (x + y + z + t) }

 

= a { ( b + c) (d + e + f ) (x + y + z + t) }

 

= a  ( b + c) (d + e + f ) (x + y + z + t)

 

 

 

 

Bilan – Technique opératoire

 

Base

Une parenthèse indique que son contenu forme un tout, un paquet. Mais il n'est pas interdit de le déballer.

Si j'ai 3 paquets contenant chacun (2 bonbons et 5 billes), en posant tout cela sur la table et en regroupant, je constate que j'ai 3 fois 2 bonbons et 3 fois 5 billes.

3 (2bo + 5bi) = 3 x 2 bo + 3 x 5 bi = 6 bo + 15 bi.

 

En algèbre (les boites en couleur représentent des parenthèses)

 

 

Développement:                  a (x + y + z) = ax + ay + az

Mise en facteur commun:   ax + ay + az = a (x + y + z)

 

Poursuivons

Si (x + y + z) est un paquet P et que j'en ai 3 et que l'on m'en donne 7, je peux écrire que j'en ai désormais:  3P + 7P = (3 + 7) P = 10 P.

 

En algèbre

aP + bP = (a + b) P = (a + b) (x + y + z)

 

Développement:   (a + b) (x + y + z) = aP + bP

               = a (x + y + z) + b (x + y + z)

attention.png  Il ne faut pas hésiter à poser cette opération.

 

               = ax + ay + az + bx + by + bz

 

Règle: on distribue les termes de la première parenthèse sur tous ceux de la deuxième

 

Même principe avec plus de termes

 

(a + b + c) ( x + y + z)

= a ( x + y + z) + b ( x + y + z) + c ( x + y + z)

attention.png  Il ne faut pas hésiter à poser cette opération.

 

= ax + ay + az + bx + by + bz + cx + cy + cz

 

Si vous avez un doute, rassurez – vous avec des nombres:

(2 + 3) (4 + 5) = 5 x 9 = 45

= 2x4 + 2x5 + 3x4 + 3x5 = 8 + 10 + 12 + 15 = 45.

 

 

 

On s'en "remet une couche" en développant les identités remarquables

 

Développement de (a + b)k

 

Voyons le développement des puissances du binôme

 

(a + b)2 = (a + b)*(a + b)

= aa + ab + ba + bb   J'ai distribué a et b sur les termes de (a + b)

= a² + 2ba       + b²    ab et ba sont deux produits. Ils sont commutatifs (je peux échanger les termes: ab = ba).
Rappel: notation compacte de la multiplication ab et notation développée: a . b

 

 

(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)

= (a + b) ( a² + 2ba + b²) 

= ( a3 + 2ba² + ab²) + (ba² + 2ab² + b3)

= a3 + 3a²b + 3b²a+ b3

 

(a + b)4 = (a + b) (a3 + b3 + 3a²b + 3ba²)

=  a (a3  + 3a²b + 3ab²  + b3)  + b (a3  + 3a²b + 3ab²  + b3)

=  (a4  + 3a 3b + 3a²b²  + ab3)  + (ba3  + 3a²b² + 3ab3  + b4)
= a4 + 4a3b + 6a²b² + 4ab3 + b4

 

 

Remarque sur les puissances

 

 

a5

 

a4

 

a3

 

a2

 

a

 

bk

(a + b

=

 

 

 

 

 

 

+

2ab

+

(a + b)3

=

 

 

 

 

a3

+

3a2b

+

3ab²

+

b3

(a + b)4

=

 

 

a4

+

4a3b

+

6a²b2

+

4ab3

+

b4

(a + b)5

=

a5

+

5a4b

+

10a3b2

+

10a²b3

+

5ab4

+

b5

 

Décroissance régulière des puissances de a et

     croissance régulière des puissances de b.

 

Remarque sur les coefficients

 

2

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

3

 

3

 

1

 

 

 

4

 

 

1

 

4

 

6

 

4

 

1

 

 

5

 

1

 

5

 

10

 

10

 

5

 

1

 

6

1

 

6

 

15

 

20

 

15

 

6

 

1

7

 

1+6

 

6+15

 

15+20

 

20+15

 

15+6

 

6+1

 

 

Il est facile de construire la ligne suivante: chaque nombre est la somme des deux du dessus. C'est le triangle de Pascal.

Avec lui, il est possible de développer la puissance quelconque d'un binôme sans faire le calcul explicite (développement du binôme).

 

 

 

 

 

 

 

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