NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ALGÈBRE

 

Débutants

Algèbre

BASES

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

Arithmétique et Algèbre

 

Techniques de base

Additions

Multiplications

Parenthèses

Multi Parenthèses

Divisions

 

 

Sommaire de cette page

>>> Un cas de conscience entre parenthèses …

>>> Approche

>>> Emploi des parenthèses

>>> Récapitulatif

>>> Exemples

>>> Anglais

 

>>> Exemples de problèmes posés sur le Net

 

 

   

 

PARENTHÈSES

  

Les parenthèses sont utilisées pour isoler un groupe de symboles à considérer comme un tout.

Elles sont là pour éviter les confusions. Elles aident au calcul car on s'en occupe en premier.

Comment les manipuler?

Pour commencer voir: Initiations aux Opérations arithmétiques / Maths 5e  / Mnémotechnique de la priorité des opérations

 

 

Pour mise en bouche

Quelle est la moitié de  2 + 2 ? Ben… c'est ½ x 2 + 2 = 1 + 2 = 3.

Vous avez dit 3, c'est que vous avez oublié de mettre mentalement des parenthèses: moitié de (2 + 2) = ½ (2 + 2) = ½ de 4 = 2.

Remarquez que, à l'oral, l'une ou l'autre réponse est valable selon que deux plus deux est prononcé d'une traite ou avec un temps d'arrêt.

G + R (A + 1) = G + RA + R => G RA R => Gérard

Voir Pensées & humour / Prénoms amusants

 

Calculez: P = (x – a) (x – b) … (x – z).

Ne vous précipitez pas à effectuer le calcul.

Réponse: parmi tous les facteurs l'un sera (x – x) = 0

Alors P = 0.

Voir Pensées & humour

 

 

APPROCHE

 

ADDITIONS

*  Tous les termes peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

Il n'est pas utile d'isoler des groupes de termes.

a + b + c

=  b + a + c

 

SOUSTRACTIONS

*  Tous les termes peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

À condition que chaque terme conserve son signe.

 

a – b – c

= – b + a – c

 

MULTIPLICATIONS

*  Tous les facteurs peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

Il n'est pas utile d'isoler des groupes de termes.

 

On peut supprimer le point indiquant la multiplication, s'il n'y a pas d'ambigüité.

 

a . b . c

 

abc

= b . c . a

 

= bca

 

DIVISIONS

*  Il est prudent de conserver le bon ordre.

Même si les facteurs des produits peuvent être échangés.

On peut supprimer le point indiquant la multiplication, s'il n'y a pas d'ambigüité.

 

a . b / c

 

ab / c

= b . a / c

 

= ba / c

 

Utilisés seuls:

les + et  x      forment des chaînes dociles: ordre quelconque; et

les et /       sont moins dociles: vigilance, surtout pour la division.

 

 

 

 

EMPLOI DES PARENTHÈSES

Opérations seules

 

ADDITIONS

*  Les parenthèses sont généralement inutiles.

Si une expression entre parenthèses est précédée du signe +

la parenthèse est inutile.

a + (b + c)

= a + b + c

 

DIVISION

*  Les parenthèses sont nécessaires.

Ne pas tenter de les éliminer!

Leur emploi, même en abondance, évite les confusions possibles.

 

a / (bc)

 

a / b c

 

 (a / b) c

 

à éviter car confusion possible entre

(a/b)c ou a /(bc)

 

 

EMPLOI DES PARENTHÈSES

Opérations composées

 

*  Les parenthèses trouvent toute leur justification lorsque diverses opérations sont utilisées dans la même expression.

 

 

FACTEUR D'ADDITION

*  Le facteur commun est placé devant la parenthèse.

*  Pour développer il faut attribuer ce facteur commun à chacun des termes de la parenthèse.

Image

1 paquet de 2 caramels et 3 chocolats.

Avec 2 paquets nous serons en possession de 4 caramels et de 6 chocolats.

 

a (b + c)

 

 

 

 

2 (2ca + 3 ch)

 

= ab + ac

 

 

 

 

= 4ca + 6ch

 

 

MULTIPLICATION D'ADDITIONS

*  Pas si compliqué: appliquons la même chose que ci-dessus.

Notez l'astuce  (a + b) = (P) pour mieux se rendre compte de ce qui se passe.

 

 

(a + b) (c + d)

(P)    (c + d)

 

 

 

=   (P) c   +    (P) d

= (a+ b) c + (a + b) d

=  ac + bc + ad + bd

 

Voir illustration en Tracas de calculs avec parenthèses

Voir Produit cartésien

 

 

 

 

 

RÉCAPITULATIF

selon la quantité de termes

Qté

Parenthèses inutiles

Parenthèses UTILES

2

a + b

ab

 

 

 

3

a + b + c

a + bc

abc

a

(b + c)

= ab   + ac

4

a + b + c + d

a   + bcd

ab +  cd

abcd

a

ab

(a + b)

(b + c +  d)

(c + d) 

(c + d)

= ab   + ac   + ad

= abc + abd

= ac   + bc   + ad + bd

 

 

 

BILAN

On effectue les calculs d'abord à l'intérieur des parenthèses.

La multiplication est prioritaire sur l'addition.

P (c + d) = Pc + Pd même si P est une expression comme (a + b).

 

 

 

EXEMPLES – Enlever les parenthèses inutiles

   a + 2 b + (2a – 3b)
= a + 2 b +  2a – 3b

   a + 2 b  - (2a – 3b)
= a + 2 b  -  2a + 3b

   {3a + 2b + (2a – 6b) – [3a – (2x + 4y) + z] – 6t}
= {3a + 2b +  2a – 6b  [3a –  2x - 4y   + z] – 6t}
= {3a + 2b +  2a – 6b    3a +  2x + 4y   - z  – 6t}
=  3a + 2b +  2a – 6b    3a +  2x + 4y   - z  – 6t
=          2b +  2a – 6b           +  2x + 4y   - z  – 6t

    3(x – 2y) + 2 (x + 4y)
= 3x – 6y   +  2x + 8y
= 5x + 2y

    3(x – 2y) – 2 (x - 4y)
= 3x – 6y     2x + 8y
=   x + 2y

   4x +3{ x – (1 – y) + 2(1 – x) }
= 4x + 3{ x –  1 + y  + 2 – 2x   }
= 4x +   3x –  3 + 3y + 6 – 6x
=   x + 3y  + 3

   4x -3{ x – (1 – y) + 2(1 – x) }
= 4x - 3{ x –  1 + y  + 2 – 2x   }
= 4x -   3x +  3 - 3y  - 6 + 6x
= 10x – 3y - 3

   (2a + 3b + c) (x + y + z)
= 2a (x + y + z) + 3b (x + y + z) + c (x + y + z)
= 2ax + 2ay + 2az + 3bx +3by + 3bz + cx + cy + cz

 

 

ENGLISH CORNER

 

Brackets are used to indicate that the terms  enclosed within them are to be considered as one entity.

 

 

 

Cas de conscience qui montrent l'importance des parenthèses …

 

À propos de ces énigmes

On trouve des énigmes mathématiques sur Internet sous le nom: cette équation va vous rendre complètement fou ! Les Anglo-Saxons parlent aussi de problèmes viraux sur le Net ou de problèmes qui affolent le Net.

 

Disons tout de suite que vous ne trouverez jamais une écriture aussi ambigüe dans un problème de mathématiques au collège!

Anglais: What is the correct answer? / Viral math problem

 

 

Calculez:

Mise en œuvre de la règle de la priorité des opérations

Parenthèses:

(1 + 2) = 3

6 2 x 3

Exposants:

aucun

 

Division:

6  2 = 3 (certains conteste cette priorité

de la division sur la multiplication)

3 x 3

Multiplication:

3 x 3 = 9

9

Soustraction:

aucune

 

Addition:

aucune

 

Réponse:

Voir Symboles de la division

 

 

Commentaires

 

On évite toute ambiguïté en écrivant, selon les opérations désirées:

Écriture

fractionnaire

Écriture

linéaire

Avec Word, l'écriture linéaire est donnée automatiquement à partir de l'écriture fractionnaire à l'aide d'un clic droit de la souris.

 

Vos instruments de calcul vous diront:

Parfois, le signe de la multiplication est spécifié par l'astérisque . Le but est de pas confondre le x de la multiplication et le x utilisé comme symbole de l'inconnue dans les équations.

Calculette

Tableur

Logiciel de calcul

 

 

 

Validez:

8 / 2 (3 + 1) = 16

Le résultat est 16, mais est-ce la seule possibilité? Oui!  Pourquoi?

Classiquement la multiplication est indiquée par "x" ou le point ou rien. Ici, le signe multiplié est sous-entendu:

8 / 2 x (3 + 1)

Le calcul entre parenthèse est prioritaire:

8 / 2 x 4

Ensuite vient la division:

4 x 4

Enfin la multiplication:

16

Pour éviter toute ambiguïté, on écrirait plutôt:

(8 / 2) (3 + 1)

Qui, en calculant les parenthèses, donne bien:

4 x 4

Ou meilleure écriture:

 Selon l'intention, on aurait pu écrire:

    8 / (2(3 + 1))

= 8 / (2 x 4)

= 8 / 8 = 1

Toujours meilleure écriture:

 

Que disent nos instruments de calcul:

 

Calculette

Tableur

Logiciel de calcul

 

=

 

 

Calculez:

Le résultat est 58, mais est-ce la seule possibilité? Oui!  Pourquoi?

 

Remarque: la parenthèse ne joue pas son rôle habituel (indiquer une opération à effectuer DANS les parenthèses). Ici, elle a un usage inhabituel, et non recommandé, signifiant multiplication.

 

Calcul avec mise en œuvre de la règle de la priorité des opérations:

Priorité aux calculs dans les parenthèses:

Néant

Mais, interprétation de la parenthèse:

62 / 2 x 3 + 4

Puis calcul des puissances:

36 / 2 x 3 + 4

La division:

18       x 3 + 4

La multiplication:

54             + 4

En enfin, l'addition:

58

Ce que dit un logiciel de calcul (Maple):

Un calcul incorrect consisterait à croire que la parenthèse, telle que mentionnée, implique un calcul prioritaire:

6² / 6 + 4

Puis division prioritaire

6 + 4 = 10

 

Bilan

Même si les écritures proposées dans ces énigmes sont licites, mieux vaut éviter les pièges et faciliter la compréhension en utilisant des symboles plus explicites.

Je vous laisse faire le parallèle avec cette phrase en français:

 

Il a vu un homme avec des jumelles.

      Qu'a-t-il vu?

*      à l'aide de ses jumelles: un homme, 

*       de ses yeux nus: un homme qui  portait des jumelles

Voir Les problèmes qui affolent le Net  / Puzzles et énigmes

 

 

 

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