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ALGÈBRE

 

Débutants

Algèbre

BASES

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

Arithmétique et Algèbre

 

Techniques de base

Additions

Multiplications

Parenthèses

Multi Parenthèses

Divisions

 

 

Sommaire de cette page

>>> Un cas de conscience entre parenthèses …

>>> Approche

>>> Emploi des parenthèses

>>> Récapitulatif

>>> Exemples

 

   

 

Quelle est la moitié de  2 + 2 ? Ben… c'est ½ x 2 + 2 = 1 + 2 = 3.

Vous avez dit 3, c'est que vous avez oublié de mettre mentalement des parenthèses: moitié de (2 + 2) = ½ (2 + 2) = ½ de 4 = 2.

Remarquez que, à l'oral, l'une ou l'autre réponse est valable selon que deux plus deux est prononcé d'une traite ou avec un temps d'arrêt.

G + R (A + 1) = G + RA + R => G RA R => Gérard

Voir Pensées & humour / Prénoms amusants

 

 

PARENTHÈSES

  

*    Les parenthèses sont utilisées pour isoler

un groupe de symboles à considérer comme un tout.

Elles sont là pour éviter les confusions. Elles aident au calcul car on s'en occupe en premier.

 

*    Comment les manipuler?

Pour commencer voir: Initiations aux Opérations arithmétiques / Maths 5e  / Mnémotechnique de la priorité des opérations

 

 

Un cas de conscience qui montre l'importance des parenthèses …

Écriture linéaire d'une opération

Résultat 16. Est-ce la seule possibilité?

Oui!

Pourquoi?

8 / 2 (3 + 1) = 16

Classiquement la multiplication est indiquée par X ou le point ou rien. Ici, il faut lire:

8

/ 2

x (3 + 1)

 

Mais, comment interpréter cette opération?

 

 

 

 

1) Division en priorité, car 8/2 est considéré comme un tout, comme s'il y avait des parenthèses (8/2).

4

 

x 4

= 16

2) Si la multiplication est faite en premier, le résultat est bien évidemment différent, et cette interprétation est inexacte.

8

/ 8

 

= 1

3) Pour éviter toute ambiguïté, on écrit plutôt:

(8

/ 2)

(3 + 1)

= 16

4) Ou alors (selon l'intention):

8

/ (2 x

(3 + 1))

= 1

5) Ou mieux:

= 16

Son écriture linéaire donnée par l'outil équation de Word

 

6) Ou encore, selon l'intention:

= 1

N'importe quel outil, impose

la mention explicite des signes

 

comme le tableur Excel

ou la simple calculette

 =

ou encore un logiciel de mathématique

comme Maple

Avec ces outils le signe multiplication est spécifié

par l'astérisque pour ne pas confondre avec la lettre x, souvent prise comme symbole de l'inconnue.

Conclusion

Même si la première écriture est permise, continuez à faciliter la compréhension du lecteur en mettant des parenthèses.

8 / 2 (3 + 1) = 16

(8 / 2) (3 + 1) = 16

Anglais: Viral math problem

 

 

Autre opération identique vue sur Internet

Nouvelle explication s'il en était besoin …

Mathématiques: cette équation va vous rendre complètement fou !

Disons tout de suite que vous ne trouverez jamais une écriture aussi ambigüe dans un problème de mathématiques!

Sachez que le symbole de la division peut être:  6:2(1+2)  ou 6/2(1+2).

 

Solution en utilisant simplement la priorité des opérations:

Parenthèses:

(1 + 2) = 3

Exposants:

aucun

Division:

6 : 2 = 3 (certains conteste cette priorité de la division sur la multiplication)

Multiplication:

3 x 3 = 9

Soustraction:

aucune

Addition:

aucune

Réponse:

6 : 2 (1 + 2) = 9

 

On évite toute ambiguïté en écrivant, selon les opérations désirées:

Écriture

fractionnaire

Écriture

linéaire

L'écriture linéaire est donnée automatiquement à partir de l'écriture fractionnaire à l'aide d'un clic droit de la souris.

 

Vos instruments de calcul vous diront:

Calculette

Tableur

Logiciel de calcul

Voir Les problèmes qui affolent le Net

 

 

 

 

 

 

APPROCHE

 

ADDITIONS

*  Tous les termes peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

Il n'est pas utile d'isoler des groupes de termes.

a + b + c

=  b + a + c

 

SOUSTRACTIONS

*  Tous les termes peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

À condition que chaque terme conserve son signe.

 

a – b – c

= – b + a – c

 

MULTIPLICATIONS

*  Tous les facteurs peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

Il n'est pas utile d'isoler des groupes de termes.

 

On peut supprimer le point indiquant la multiplication, s'il n'y a pas d'ambigüité.

 

a . b . c

 

abc

= b . c . a

 

= bca

 

DIVISIONS

*  Il est prudent de conserver le bon ordre.

Même si les facteurs des produits peuvent être échangés.

On peut supprimer le point indiquant la multiplication, s'il n'y a pas d'ambigüité.

 

a . b / c

 

ab / c

= b . a / c

 

= ba / c

 

Utilisés seuls:

les + et  x      forment des chaînes dociles: ordre quelconque; et

les et /       sont moins dociles: vigilance, surtout pour la division.

 

 

 

 

EMPLOI DES PARENTHÈSES

Opérations seules

 

ADDITIONS

*  Les parenthèses sont généralement inutiles.

Si une expression entre parenthèses est précédée du signe +

la parenthèse est inutile.

a + (b + c)

= a + b + c

 

DIVISION

*  Les parenthèses sont nécessaires.

Ne pas tenter de les éliminer!

Leur emploi, même en abondance, évite les confusions possibles.

 

a / (bc)

 

a / b c

 

 (a / b) c

 

à éviter car confusion possible entre

(a/b)c ou a /(bc)

 

 

EMPLOI DES PARENTHÈSES

Opérations composées

 

*  Les parenthèses trouvent toute leur justification lorsque diverses opérations sont utilisées dans la même expression.

 

 

FACTEUR D'ADDITION

*  Le facteur commun est placé devant la parenthèse.

*  Pour développer il faut attribuer ce facteur commun à chacun des termes de la parenthèse.

Image

1 paquet de 2 caramels et 3 chocolats.

Avec 2 paquets nous serons en possession de 4 caramels et de 6 chocolats.

 

a (b + c)

 

 

 

 

2 (2ca + 3 ch)

 

= ab + ac

 

 

 

 

= 4ca + 6ch

 

 

MULTIPLICATION D'ADDITIONS

*  Pas si compliqué: appliquons la même chose que ci-dessus.

Notez l'astuce  (a + b) = (P) pour mieux se rendre compte de ce qui se passe.

 

 

(a + b) (c + d)

(P)    (c + d)

 

 

 

=   (P) c   +    (P) d

= (a+ b) c + (a + b) d

=  ac + bc + ad + bd

 

Voir illustration en Tracas de calculs avec parenthèses

Voir Produit cartésien

 

 

 

 

 

RÉCAPITULATIF

selon la quantité de termes

Qté

Parenthèses inutiles

Parenthèses UTILES

2

a + b

ab

 

 

 

3

a + b + c

a + bc

abc

a

(b + c)

= ab   + ac

4

a + b + c + d

a   + bcd

ab +  cd

abcd

a

ab

(a + b)

(b + c +  d)

(c + d) 

(c + d)

= ab   + ac   + ad

= abc + abd

= ac   + bc   + ad + bd

 

 

 

BILAN

On effectue les calculs d'abord à l'intérieur des parenthèses.

La multiplication est prioritaire sur l'addition.

P (c + d) = Pc + Pd même si P est une expression comme (a + b).

 

 

 

EXEMPLES – Enlever les parenthèses inutiles

   a + 2 b + (2a – 3b)
= a + 2 b +  2a – 3b

   a + 2 b  - (2a – 3b)
= a + 2 b  -  2a + 3b

   {3a + 2b + (2a – 6b) – [3a – (2x + 4y) + z] – 6t}
= {3a + 2b +  2a – 6b  [3a –  2x - 4y   + z] – 6t}
= {3a + 2b +  2a – 6b    3a +  2x + 4y   - z  – 6t}
=  3a + 2b +  2a – 6b    3a +  2x + 4y   - z  – 6t
=          2b +  2a – 6b           +  2x + 4y   - z  – 6t

    3(x – 2y) + 2 (x + 4y)
= 3x – 6y   +  2x + 8y
= 5x + 2y

    3(x – 2y) – 2 (x - 4y)
= 3x – 6y     2x + 8y
=   x + 2y

   4x +3{ x – (1 – y) + 2(1 – x) }
= 4x + 3{ x –  1 + y  + 2 – 2x   }
= 4x +   3x –  3 + 3y + 6 – 6x
=   x + 3y  + 3

   4x -3{ x – (1 – y) + 2(1 – x) }
= 4x - 3{ x –  1 + y  + 2 – 2x   }
= 4x -   3x +  3 - 3y  - 6 + 6x
= 10x – 3y - 3

   (2a + 3b + c) (x + y + z)
= 2a (x + y + z) + 3b (x + y + z) + c (x + y + z)
= 2ax + 2ay + 2az + 3bx +3by + 3bz + cx + cy + cz

 

 

ENGLISH CORNER

 

Brackets are used to indicate that the terms  enclosed within them are to be considered as one entity.

 

 

 

Calculez: P = (x – a) (x – b) … (x – z).

Ne vous précipitez pas à effectuer le calcul.

Réponse: parmi tous les facteurs l'un sera (x – x) = 0

Alors P = 0.

Voir Pensées & humour

 

 

 

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