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ALGÈBRE

 

Débutants

Algèbre

BASES

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

 

Arithmétique et Algèbre

 

Résolution de Problèmes

 

Techniques de base

Additions

Multiplications

Parenthèses

Multi Parenthèses

Divisions

Priorité des opérations

 

 

Sommaire de cette page

>>> Un cas de conscience entre parenthèses …

>>> Approche

>>> Emploi des parenthèses

>>> Récapitulatif

>>> Exemples

>>> Anglais

 

>>> Exemples de problèmes posés sur le Net

 

 

   

 

PARENTHÈSES

  

Les parenthèses sont utilisées pour isoler un groupe de symboles à considérer comme un tout.

Elles sont là pour éviter les confusions. Elles facilitent les calculs.  On les traite en premier.

Comment les manipuler ? Que vaut: (a + b) (b + c) ?

Anglais: parentheses ( ), brackets [ ] or braces { }

Pour commencer voir: Initiations aux Opérations arithmétiques /

Maths 5e  / Mnémotechnique de la priorité des opérations

 

 

Pour mise en bouche

Quelle est la moitié de  2 + 2 ? Ben… c'est ½ x 2 + 2 = 1 + 2 = 3.

Vous avez dit 3, c'est que vous avez oublié de mettre mentalement des parenthèses: moitié de (2 + 2) = ½ (2 + 2) = ½ de 4 = 2.

Remarquez que, à l'oral, l'une ou l'autre réponse est valable selon que deux plus deux est prononcé d'une traite ou avec un temps d'arrêt.

G + R (A + 1) = G + RA + R => G RA R => Gérard

Voir Pensées & humour / Prénoms amusants

 

Calculez: P = (x – a) (x – b) … (x – z).

Ne vous précipitez pas à effectuer le calcul.

Réponse: parmi tous les facteurs l'un sera (x – x) = 0

Alors P = 0.

Voir Pensées & humour

 

 

APPROCHE

 

ADDITIONS

Tous les termes peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

Il n'est pas utile d'isoler des groupes de termes.

a + b + c

=  b + a + c

 

SOUSTRACTIONS

Tous les termes peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

À condition que chaque terme conserve son signe.

 

a – b – c

= – b + a – c

 

MULTIPLICATIONS

Tous les facteurs peuvent s'écrire les uns à la suite des autres et sans ordre.

Il n'est pas utile d'isoler des groupes de termes.

a . b . c

 

abc

= b . c . a

 

= bca

Notes: On peut supprimer le point indiquant la multiplication, s'il n'y a pas d'ambigüité.

Pour les puristes: le point de la multiplication est au milieu de la ligne:

  

 

 

DIVISIONS

Il est prudent de conserver le bon ordre.

Même si les facteurs des produits peuvent être échangés.

a . b / c

= b . a / c

On peut supprimer le point indiquant la multiplication, s'il n'y a pas d'ambigüité.

ab / c

 

= ba / c

 

On préférera la forme fractionnaire.

 

Utilisés seuls:

les + et  x      forment des chaînes dociles: ordre quelconque; et

les et /       sont moins dociles: vigilance, surtout pour la division.

Voir Détails sur les règles de priorités des opérateurs arithmétiques

 

 

 

EMPLOI DES PARENTHÈSES

Opérations seules

 

ADDITIONS

*  Les parenthèses sont généralement inutiles.

Si une expression entre parenthèses est précédée du signe +

la parenthèse est inutile.

a + (b + c)

= a + b + c

 

DIVISION

*  Les parenthèses sont nécessaires.

Ne pas tenter de les éliminer!

Leur emploi, même en abondance, évite les confusions possibles.

 

       

a / b c

 

à éliminer car confusion possible entre

(a / b) c ou a / (bc)

Voir Exemples de ces cas ambigus

 

 

EMPLOI DES PARENTHÈSES

Opérations composées

 

Les parenthèses trouvent toute leur justification lorsque diverses opérations sont utilisées dans la même expression.

 

 

FACTEUR D'ADDITION

*  Le facteur commun est placé devant la parenthèse.

*  Pour développer il faut attribuer ce facteur commun à chacun des termes de la parenthèse.

Image

1 paquet de 2 caramels et 3 chocolats.

Avec 2 paquets nous serons en possession de 4 caramels et de 6 chocolats.

 

a (b + c)

 

 

 

 

2 (2ca + 3 ch)

 

= ab + ac

 

 

 

 

= 4ca + 6ch

 

 

MULTIPLICATION D'ADDITIONS

*  Pas si compliqué: appliquons la même chose que ci-dessus.

Notez l'astuce  (a + b) = (P) pour mieux se rendre compte de ce qui se passe.

 

 

(a + b) (c + d)

(P)    (c + d)

 

 

 

=   (P) c   +    (P) d

= (a+ b) c + (a + b) d

=  ac + bc + ad + bd

 

Voir illustration en Tracas de calculs avec parenthèses

Voir Produit cartésien

 

 

 

 

 

RÉCAPITULATIF

selon la quantité de termes

Qté

Parenthèses inutiles

Parenthèses UTILES

2

a + b

ab

 

 

 

3

a + b + c

a + bc

abc

a

(b + c)

= ab   + ac

4

a + b + c + d

a   + bcd

ab +  cd

abcd

a

ab

(a + b)

(b + c +  d)

(c + d) 

(c + d)

= ab   + ac   + ad

= abc + abd

= ac   + bc   + ad + bd

 

 

 

BILAN

On effectue les calculs d'abord à l'intérieur des parenthèses.

La multiplication est prioritaire sur l'addition.

P (c + d) = Pc + Pd même si P est une expression comme (a + b).

 

 

 

EXEMPLES – Enlever les parenthèses inutiles

   a + 2 b + (2a – 3b)
= a + 2 b +  2a – 3b

   a + 2 b  - (2a – 3b)
= a + 2 b  -  2a + 3b

   {3a + 2b + (2a – 6b) – [3a – (2x + 4y) + z] – 6t}
= {3a + 2b +  2a – 6b  [3a –  2x - 4y   + z] – 6t}
= {3a + 2b +  2a – 6b    3a +  2x + 4y   - z  – 6t}
=  3a + 2b +  2a – 6b    3a +  2x + 4y   - z  – 6t
=          2b +  2a – 6b           +  2x + 4y   - z  – 6t

    3(x – 2y) + 2 (x + 4y)
= 3x – 6y   +  2x + 8y
= 5x + 2y

    3(x – 2y) – 2 (x - 4y)
= 3x – 6y     2x + 8y
=   x + 2y

   4x +3{ x – (1 – y) + 2(1 – x) }
= 4x + 3{ x –  1 + y  + 2 – 2x   }
= 4x +   3x –  3 + 3y + 6 – 6x
=   x + 3y  + 3

   4x -3{ x – (1 – y) + 2(1 – x) }
= 4x - 3{ x –  1 + y  + 2 – 2x   }
= 4x -   3x +  3 - 3y  - 6 + 6x
= 10x – 3y - 3

   (2a + 3b + c) (x + y + z)
= 2a (x + y + z) + 3b (x + y + z) + c (x + y + z)
= 2ax + 2ay + 2az + 3bx +3by + 3bz + cx + cy + cz

 

 

ENGLISH CORNER

 

Brackets are used to indicate that the terms  enclosed within them are to be considered as one entity.

 

 

 

Cas de conscience qui montrent l'importance des parenthèses …

 

On trouve des énigmes mathématiques sur Internet sous le nom: cette équation va vous rendre complètement fou ! Les Anglo-Saxons parlent aussi de problèmes viraux sur le Net ou de problèmes qui affolent le Net.

 

Comme ce cas: 82(2+2) = 1 ou 16 ?

Réponse: rien car formulation ambigüe.

 

Développements en Priorité des opérations arithmétiques

 

 

 

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