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ALGÈBRE

 

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Algèbre

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Algèbre

 

 

INDEX

Arithmétique et Algèbre

 

Techniques de base

Additions

Multiplications

Parenthèses

Multi Parenthèses

Divisions

 

 

Sommaire de cette page

>>> Produits simples

>>> Produits avec addition

>>> Addition par addition

>>> Factorisation

>>> Exemple

 

   

 

MULTIPLICATION

FACTORISATION

 

 

Les multiplications seules, c'est sans problème.

Avec les additions, méfiance!

 

Voir Toutes les notations possibles de la multiplication

   

 

Devinette

Quelle est la valeur du produit algébrique suivant:

(x – a) (x – b) (x – c) … (x – z) = ?

Réponse

Voir Lettres de l'alphabet / Identités remarquables

 

 

 

 

PRODUITS SIMPLES

*    Multiplier

a

b

Les objets se multiplient en les plaçant l'un à côté de l'autre (s'il y a confusion, on place un point).     Voir Symboles de la multiplication

a x b = ab = a.b

*    Multiplier

3 a

2 b

Chaque objet amène son coefficient et ils se multiplient entre eux.

3 x 2 ab = 6 ab

*    Multiplier

3 a

2 a

Le même objet multiplié par lui-même donne un carré. On note avec un exposant "carré" ou "puissance 2".

6 aa = 6 a²

*    Multiplier

3 a²

2 a

On note en exposant (petit chiffre en haut à droite) la quantité de a multipliée entre eux.

6 aaa = 6 a3

*    Multiplier

3 a

2 abc

Les objets se combinent selon les règles données ci-dessus.

6 a²bc

*    Multiplier

3 a3b2c

2 a2b2c3

Les objets se combinent selon les règles données ci-dessus:

Les coefficients se multiplient.

Les exposants s'ajoutent.

6 a5b4c4

 

 

PRODUIT avec ADDITION

*    Multiplier

a

b + c

a multiplie chaque objet de la parenthèse.

a (b + c) = ab + ac

*    Multiplier

3a

b + c

Le coefficient 3 s'applique à chaque objet.

3a (b + c) = 3ab + 3ac

*    Multiplier

3a

2b + 5c

Les coefficients se multiplient.

3a (2b + 5c) = 6ab + 15ac

*    Multiplier

3ax

2by + 5cxyz

Même si l'objet est complexe, les lettres se combinent.

3ax (2by + 5cxyz) = 6abxy + 15acx²yz

 

 

Analogie avec l'écriture factorisée

 

*    Comparaison qui aide à faire comprendre la factorisation (la mise entre parenthèses).
Une simple histoire d'écriture raccourcie! D'économie en écriture.

 

Voir Triangle

 

 

Multiplier ADDITION et ADDITION

Développement d'une expression entre parenthèses

*    Multiplier

a + b

c + d

Décomposons:

(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d)

                       = ac + ad   + bc + bd

Il s'agit de toutes les multiplications possibles avec les 4 termes.

(a + b) (c + d) = ac + ad   + bc + bd

*    Multiplier

2a + 3b

4c + 5d

Les coefficients se multiplient aussi.

(2a + 3b) (4c + 5d)

= 8ac + 10ad   + 12bc + 15bd

*    Multiplier

2ax + 3by

4cx + 5dz

Les lettres subissent le même sort.

(2ax + 3by) (4cx + 5dz)

= 8acx² + 10adxz   + 12bcxy + 15bdyz

Voir Génotypes et leurs développements

 

 

 

FACTORISATION

*    Factoriser

ab + ac

Parmi les deux termes présentés, a est un facteur commun.

 

Rappel du vocabulaire

ab et ac sont les deux termes de la somme

a et b sont les deux facteurs du produit ab.

 

Remarquez que vous savez déjà faire l'opération dans l'autre sens; celle-ci n'est pas plus difficile.

ab + ac = a (b + c)

*    Factoriser

a + ac

Se souvenir que le coefficient 1 devant a est sous-entendu.

a + ac = 1a + ac = a (1 + c)

*    Factoriser

6ab + 4ac

Les coefficients se factorisent aussi. Il s'agit de trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) des coefficients.

6ab + 4ac = 2x3 ab + 2x2 ac

                 =   2a  (3b + 2c)

*    Factoriser

acx² + adxz  + bcxy + bdyz

Pas facile!

On remarque a et x en commun dans les deux premier termes.

Et by dans les 2 derniers.

   acx² + adxz  + bcxy + bdyz

= ax (cx + dz) + by (cx + dz)

Surprise! Le même facteur entre parenthèses. On le nomme F.
Cette fois-ci, c'est F qui apparaît comme facteur commun.
Remplaçons F par sa valeur.

= ax F + by F

 

= ( ax + by ) F

= ( ax + by ) ( cx + dz )

 

 

Exemple avec présentation détaillée

Factoriser

F =

(b – 1) x b + (b – 1) x 1 

Résultat

F =

(b – 1) (b + 1)

Question classique du débutant:

Pourquoi dans les deux premières parenthèses on a des "" et dans les deuxièmes parenthèses un "" et un "+" ?

1) Réponse directe

F =

(b – 1) x b + (b – 1) x 1 

Addition de deux termes

 

(b – 1) x b   &   (b – 1) x 1 

Élément commun

 

(b – 1) x b   &   (b – 1) x 1 

Mise en facteur de cet élément commun

 

(b – 1) x (b   +               1)

Résultat

F =

(b – 1) (b + 1)

2) Réponse imagée

F =

(b – 1) x b + (b – 1) x 1 

Pour ne pas être impressionné (gêné), je baptise l'élément commun

 

b – 1 = C

 

F =

C x b + C x 1 

Imaginons que C soit des bonbons

F =

J'ai b bonbons et 1 de plus 

Je dispose en tout de

F =

(b + 1) bonbons

Refaisons le chemin à l'envers

F =

(b + 1) C

 

F =

(b + 1) (b – 1)

3) Autre chemin

F =

(b – 1) x b + (b – 1) x 1 

Développons cette expression

 

b x b – b x 1 + 1 x b – 1 x 1

 

 

         b    +    b       1

 

F =

b² – 1

Identité remarquable

(a² – b² = (a – b) (a + b)

F =

(b – 1) (b + 1)

 

 

Devinette – Solution

Quelle est la valeur du produit algébrique suivant:

(x – a)(x – b)(x-c) … (x – z) = ?

 

(x – a)(x – b)(x-c) …  (x – x) … (x – z) = 0

 

Retour

 

 

Suite

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