NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

Recherche de PRIMALITÉ

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

Index des pages

NOMBRES PREMIERS

 

>>> INDEX

 

Crible d'Ératosthène

Presque-premiers

Nombres de Poulet

Divisibilité

Pseudo-premiers

Carmichaël

Primalité

Liste pseudo-P.

Carmichaël - texte

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Sur une piste

>>> Méthode de recherche des nombres premiers

>>> Principe de la recherche

>>> Test  trouvé en 2002

>>> Recherche simple des premiers avec Fermat

 

On dit primarité (français) ou primalité (avec teinture anglo-saxonne)

 

 

 

Ce nombre est-il PREMIER?

 

Comment s'y prendre pour savoir si un nombre est premier?

Un premier test consiste à appliquer les critères de divisibilité courants: par 2, 3, 5, 9, 11 …

Et si le nombre résiste, comment aller plus loin ?

Quels sont les outils à notre disposition?

 

Le nombre d'opérations pour tester si un nombre est premier croit exponentiellement avec le nombre de chiffres. Il faut beaucoup, beaucoup plus d'opérations pour tester un nombre de 51 chiffres par rapport à un nombre à 50, par exemple. À partir d'une certaine taille de nombres, il faudrait des journées, des années, des milliards d'années … de calculs par ordinateur.

La sécurité des communications (cryptage) est basée sur la difficulté à factoriser de grands nombres.

Voir Programmes de recherche classique des nombres premiers

 

 

APPROCHE – Déterminer si un nombre est premier

 

27 489 ?

 

*    La racine numérique vaut:

2 + 7 + 4 + 8 + 9

= 9 + 12 + 9

=>12

=> 3

Ce nombre est divisible par 3

 

*    On peut trouver les facteurs premiers en divisant:

27 489

3

9 163

7

1 309

7

187

11

17

17

1

 

 

427 741 ?

 

*    On tente la division par les premiers successifs:

 

427 741

3

pas divisible

 

5

pas divisible

 

7

61105,8 non

 

11

pas divisible

 

13

32903,1 non

 

17

25161,2 non

 

etc.

 

 

*    On ne trouve pas facilement les diviseurs. Et pourtant, ce nombre est composé.

27 489 = 3 x 7 x 7 x 11 x 17

 

Il existe des cas où il est facile de trouver si un nombre est premier.

427 741 = 521 x 821

 

Plus le nombre est grand, surtout s'il a de grands facteurs, et plus il  est difficile de trouver les facteurs premiers.

 

Exemple de cas critiques

Le nombre 2021 est le produit de deux nombres premiers cousins, deux nombres premiers distants de quatre unités. Autrement-dit, les deux facteurs sont proches de sa racine carrée. Dans ce cas, la recherche des facteurs nécessite l'exploration de tous les nombres premiers jusqu'à la valeur entière proche de la racine carrée.

Voir Nombres à facteurs proches de la racine carrée

Voir site:  Poème sur le nombre 2021 et la recherche de ses facteurs

 

 

Sur une piste …

 

La méthode la plus simple pour tester si un nombre est premier consiste à effectuer la division par les nombres successifs et à constater qu'aucun reste n'est nul.

En fait, il est suffisant d'aller jusqu'à la racine carrée de n.

Prenons le nombre 100 qui est divisible par 2, 4, 5, 10, 20, 25 et 50. On peut donc limiter à n/2. Mais, constatons qu'il y a encore de la redondance puisque, par exemple 2 x 50 = 100. Dire que 100 est divisible par 2 induit qu'il divisible par 50. Idem pour 4 x 25; 5 x 20 et 10x 10. Ce dernier est la plus grand et, c'est le produit des racines carrées de 100.

On élimine facilement les nombre divisibles par 2, 3 et 3 en utilisant les critères simples de divisibilité.

À ce stade, on se retrouve avec une liste de nombre qui commence par:
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, …
Les nombres en rouge sont les nombres composés qui subsistent.

Continuer à tester la divisibilité par les nombres premiers suivants (7, 11, 13…) est la méthode la plus connue et cela depuis l'Antiquité. C'est le crible d'Ératosthène.

 

On améliore la méthode de recherche en constatant que les nombres premiers sont proches à 1 près des multiples de 6. Ils sont de la forme 6k – 1 o u 6 k + 1. Ceci du fait que (6k, 6k + 2 et 6k + 4) sont divisibles par 2; 6k + 3 par 3. Restent 6k + 1 et 6k + 5 équivalent à 6k' – 1.

La vitesse est multipliée par 3.

 

Il est possible de généraliser la méthode du 6k.

On note n#  la primorielle de n, qui est le produit des nombres premiers inférieurs à n ou égal à n.

Tous les nombres plus grands que n# sont évidemment de la forme n#. k + i pour i prenant toutes les valeurs inférieures à n#. Certaines valeurs de i conduisent à des nombres composés facilement reconnaissables.

 

Avec 6#, par exemple, on a 6# = 2 x 3 x 5 = 30. Or, tout nombre est de la forme 30k + i avec i = {0, 1, 2, 3…, 29}. Tous ceux avec i divisible par 2, 3 ou 5 sont composés.

Pour qu'un nombre soit premier, il ne reste que i = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Ce sont d'ailleurs les nombres i tels que PGCD (1, 30) = 1 (autrement dit: i est premier avec 30).

 

Bilan: tous les nombres premiers sont de la forme 30k + i avec i = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Mais tous les nombres de cette forme ne sont pas premiers.

Exemple de nombre composé: 437 = 19 x 23 = 7# k + i = 2 x 210 + 17.

 

Or plus n augmente, plus les nombres premiers se raréfient et moins il y a de possibilités pour i. Le test de primalité deviendrait plus efficace.

Néanmoins, il faut toujours tester tous les premiers inférieurs à n et cela revient pratiquement au crible d'Ératosthène.

 

Le moyen souvent utilisé avant de s'en remettre à des méthodes plus sophistiquées, consiste à constituer la table des 100 ou 200 plus petits nombres premiers et à tester la divisibilité par ces valeurs du nombre considéré.

 

 

Méthode de recherche

des NOMBRES PREMIERS

 

*         On sait que la recherche d'un facteur premier de n s'arrête à n. Au-delà, un des facteurs serait parmi ceux déjà examinés jusqu'à là.

 

*         Même avec cette réserve, en utilisant la méthode systématique du crible, il faudrait 30 ans de calculateur pour tester un nombre de 30 chiffres!

 

Un premier outil bien utile.

Pour s'en faire une petite idée …

 

*         Le (petit) théorème de Fermat réduit les calculs:

 

Si p est premier et que le pgcd (p,a) est égal à 1,

alors ap-1 est congru à 1 modulo p

 

Plus clairement: quand p est premier, si on divise (a à la puissance p-1) par p le reste est 1. La valeur de a importe peu pourvu que ce ne soit pas un multiple de p, car dans ce cas cette puissance serait divisible par p et le reste serait 0.

 

Exemples: p = 5 et a = 3 => 3^(5-1) = 81 et 81 = 5 x 16 + 1.

                  p = 5 et a = 10 => 10^(5-1) = 1000 et 1000 = 5 x 200 + 0.

 

*         Pour effectuer la recherche, on calcule an-1 modulo n, si le résultat n'est pas 1, le nombre n'est pas premier.  Voir Exemple de réalisation

 

*         Il existe une méthode simple pour effectuer ce calcul avec les modulos sans calculer explicitement la valeur de la puissance.

Pour un nombre à 100 chiffres, la méthode du crible nécessite 1050 opérations; tandis que cette méthode ne nécessite seulement que 300 opérations.

 

*         Malheureusement, la méthode, dite de Fermat, élimine les nombres composés, mais ne confirme pas que le nombre est premier. Il existe malheureusement des nombres composés qui satisfont le test de Fermat, ce sont les  pseudo-premiers .

 

Exemple avec 341 = 11 x 31, en prenant a successivement égal à 2 et 3

2341 – 1   = 341k + 1 Le reste de la division par 341 est 1.

Le test de Fermat laisse passer ce nombre composé avec a = 2.

Le nombre 341 est dit pseudo-premier.

3341 – 1  = 341k + 56 Le reste de la division par 341 est 56.

Avec a = 3, le test de Fermat confirme que ce nombres est composé.

Nous verrons qu'il existe des nombres rebelles qui passent le test même avec différentes valeurs de a. Ce sont les nombres pseudo-premiers absolus.

 

Le nombre 341 étant le plus petit résistant au test de Fermat, tous les nombres jusqu'à 342, seront bien détectés comme premier.

 

*      Il existe d'autres raffinements pour rechercher les nombres premiers. L'un d'eux tient compte des propriétés des nombres de la forme N – 1, comme les nombres de Mersenne: Mn = 2n – 1. Les plus grands nombres premiers connus proviennent de ce type de recherche.
 

 

  

 PRINCIPE de la RECHERCHE

 

*         Comment trouver les grands nombres premiers ?

On peut chercher en divisant par les nombres inférieurs.

On y passerait son existence !

 

*         Pour la recherche des grands premiers, on utilise le théorème de Lucas (1870), simplifié par Lehmer.

 

Le théorème de Lucas - Lehmer

 

*         Ce théorème est efficace, mais il faut disposer d'un algorithme de multiplication rapide.

*         En 1968, Strassen découvre une méthode basée sur la FFT (Fast Fourier Transform).

 

*         La méthode améliorée avec Schönhage a été publiée en 1971.

 

*         Le GIMPS utilise une version de cette méthode améliorée par Richard Crandall, un chercheur de longue date sur les nombres de Mersenne.

 

Le test de Lucas - Lehmer

 

*         On utilise le théorème suivant pour rechercher les nombres premiers de Mersenne, et, du même coup, les nombres parfaits pairs :

 

 Pour p impair,

le nombre de Mersenne 2p-1 est premier

si et seulement si

2p – 1 divise S(p-1)

S(n+1) = S(n)2 - 2,

et S(1) = 4.

Il est aussi possible de démarrer avec S(1) = 10

ou d'autres valeurs selon p.

 

En pseudo code ce test devient:

Lucas_Lehmer_Test(p):

s := 4;

pour i de 3 à p faire s := s2 – 2 mod 2p – 1;

si s == 0 alors

2p – 1n est premier

sinon

2p – 1 est composé;

 

Voir Exemple de calcul

 

 

TEST  TROUVÉ EN 2002 – Test AKS

 

Trois mathématiciens indiens trouvent un nouvel algorithme pour tester la primalité d'un entier qui indique si n est premier ou n est composé en un temps qui est un polynôme de la taille de n. C'est le premier du genre

 

Trois chercheurs indiens mettent au point un algorithme de test pour les très grands nombres.

Pour un même temps de calcul par ordinateur, il permet de tester des nombres beaucoup plus grands en utilisant que les méthodes connues jusqu'alors.

L'algorithme est pourtant  relativement simple. Il est performant. Il s'agit d'une habile combinaison de tests déjà connus.

La recherche des nombres premiers est un problème polynomial, affirment ces jeunes chercheurs (primes is in P)

 

Voir Voyageur de commerce

 

PRIMES is in P

 

Manindra Agrawal,

Neeraj Kayal and

Nitin Saxena

Department of Computer Science & Engineering

Indian Institute of Technology Kanpur

Kanpur-208016, INDIA

August 6, 2002

 

Abstract

We present a deterministic polynomial-time algorithm that determines whether an input number n is prime or composite.

 

 

Voir Suite sur leur site

Voir Août 2002

 

 

Recherche simple des premiers avec Fermat

Le petit théorème de Fermat énonce:

 

Si p est premier impair alors:

          2p – 1 – 1 est divisible par p

 

 

Implémentation sur tableur

Il est possible de pratiquer une recherche simple des nombres premiers sur le tableur.

Il s'agit d'un exercice d'entrainement sur cet outil et un exercice de découverte du petit théorème de Fermat. La recherche est, en effet, limitée aux petits nombres (jusqu'à 30) du fait que la puissance de 2 qui grimpe rapidement.

 

Colonne 1: les nombres de 3 à n;

Colonne 2: le nombre 2 à la puissance n;

Colonne 3: idem moins 1; et

Colonne 4: calcul du reste de la division de ce nombre (en colonne 3) par n via la fonction mod (résultat semblable en faisant simplement la division et en constant qu'elle tombe juste ou pas)

En jaune: reste nul et identification des nombres premiers: 3, 5, 7, 11 …

 

 

Implémentation avec logiciel (Maple)

Aussi rapide qu'avec le tableur à la différence que ces logiciels savent manipuler de très grands nombres.

 

Boucle d'exploration des nombres de 3 à 20 (par exemple);

Calcul de N selon la formule de Fermat;

Recherche conditionnelle: si ce nombre N est divisible par n (via calcul mod), alors imprimer le nombre n. On en profite pour indiquer la valeur du grand nombre N et son quotient par n. Le logiciel authentifie la primalité de n (isprime)

 

attention.png    Attention

Les spécialistes savent que si p est premier le test est bon; mais, réciproquement, si le test est bon, le nombre n'est pas forcément premier.

 

Le premier cas se présente pour 341

 

Ces nombres comme 341 sont appelés pseudo-premiers.

 

Remède

Introduire un deuxième test (les puissances de 3 par exemple). Ci-contre, le programme élimine bien 341, cette fois.

Hélas, il existe de rares nombres qui résistent encore, les pseudo-premiers absolus.

 

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Suite

*    Test de primalité – Développements

*    Méthode ou crible de René Nève

*    Primalité et suite de Perrin 

*    Records

*    Nombres premiersTable

*    Nombres premiersIndex

Voir

*      Nombres composés

*      Représentation des nombres

*      Facteurs premiers autour de 1000

*      Programmation du crible d'Ératosthène

*      Grilles 

*      Ératosthène

Sites

*      La page des nombres premiers
       de Chris Caldwell

*      Primes is in PA 2200 year old math problem solved!

*      Primality test - Wikipedia

*      Autres références

Calcul en ligne

*      A Primality Test – Prime Curiosity – Chris Caldwell – Savoir si un nombre est premier jusqu'à 1016

*      Integer factorization calculator – Alpertron – Dédié aux très grands nombres; factorisation et autres nombreuses fonctions

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/testprim.htm