NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres de 1 à 20 et notation binaire

>>> Théorème de Zeckendorf

 

 

 

 

Théorie additive des nombres

Partitions en nombres de Fibonacci

Théorème de Zeckendorf

 

 

On imagine aisément que l'on puisse partager un nombre en somme de nombres de Fibonacci. Il est moins facile d'admettre que tout nombre admet une certaine partition unique.

 

Exemple

Le nombre 15 est somme deux fois de nombres de Fibonacci. La première somme comportant des  nombres consécutifs est éliminée. Reste 15 = 2 + 13, l'unique somme de nombres de Fibonacci distincts et non consécutifs.

Exemple de transformation binaire

 

 

 

Approche – Observation

 

Les nombres de 1 à 20 sont décomposés en sommes de nombres de Fibonacci distincts. 

On note en rouge la présence de nombres de Fibonacci voisins pour ne retenir que les configurations avec nombres de Fibonacci distincts et non consécutifs.

 

Avec 99, par exemple, il existe six partitions en nombres de Fibonacci distincts.

Dans les cinq premières figurent des nombres de Fibonacci consécutifs. Ces sommes sont éliminées.

Seule la dernière somme résiste à ce tri: elle existe toujours et elle est unique.

 

99

[2, 3, 5, 13, 21, 55]

[2, 8, 13, 21, 55]

[2, 3, 5, 34, 55]

[2, 8, 34, 55]

[2, 3, 5, 89]

[2, 8, 89]

100

[1, 2, 3, 5, 13, 21, 55]

[1, 2, 8, 13, 21, 55]

[3, 8, 13, 21, 55]

[1, 2, 3, 5, 34, 55]

[1, 2, 8, 34, 55]

[3, 8, 34, 55]

[1, 2, 3, 5, 89]

[1, 2, 8, 89]

[3, 8, 89]

101

[1, 3, 8, 13, 21, 55]

[1, 3, 8, 34, 55]

[1, 3, 8, 89]

102

[2, 3, 8, 13, 21, 55]

[5, 8, 13, 21, 55]

[2, 3, 8, 34, 55]

[5, 8, 34, 55]

[13, 34, 55]

[2, 3, 8, 89]

[5, 8, 89]

[13, 89]

143

[2, 5, 13, 34, 89]

144

[1, 2, 5, 13, 34, 89]

[3, 5, 13, 34, 89]

[8, 13, 34, 89]

[21, 34, 89]

[55, 89]

[144]

145

[1, 3, 5, 13, 34, 89]

[1, 8, 13, 34, 89]

[1, 21, 34, 89]

[1, 55, 89]

[1, 144]

1000

[2, 3, 8, 21, 34, 89, 233, 610]

[5, 8, 21, 34, 89, 233, 610]

[13, 21, 34, 89, 233, 610]

[2, 3, 8, 55, 89, 233, 610]

[5, 8, 55, 89, 233, 610]

[13, 55, 89, 233, 610]

[2, 3, 8, 144, 233, 610]

[5, 8, 144, 233, 610]

[13, 144, 233, 610]

[2, 3, 8, 377, 610]

[5, 8, 377, 610]

[13, 377, 610]

[2, 3, 8, 987]

[5, 8, 987]

[13, 987]

 

 

 

Nombres de 1 à 20 et notation binaire

Le même procédé est appliqué aux nombres de 1 à 20

La dernière somme résiste et elle est unique.

 

Les nombres de Fibonacci retenus pour la somme sont repérés par un 1 et les autres par 0.

Ce qui constitue une représentation binaire originale et unique de chaque nombre n.

 

 

N

8

5

3

2

1

1

 

 

 

 

1

2

 

 

 

1

0

3

 

 

 

1

1

3

 

 

1

0

0

4

 

 

1

0

1

5

 

 

1

1

0

5

 

1

0

0

0

6

 

 

1

1

1

6

 

1

0

0

1

7

 

1

0

1

0

8

 

1

0

1

1

8

 

1

1

0

0

8

1

0

0

0

0

9

 

1

1

0

1

9

1

0

0

0

1

10

 

1

1

1

0

10

1

0

0

1

0

11

 

1

1

1

1

11

1

0

0

1

1

11

1

0

1

0

0

12

1

0

1

0

1

 

N

13

8

5

3

2

1

13

 

1

1

0

0

0

13

 

1

0

1

1

0

13

1

0

0

0

0

0

14

 

1

 

1

1

1

14

 

1

1

 

 

1

14

1

0

0

0

0

1

15

 

1

1

0

1

0

15

1

0

0

0

1

0

16

 

1

1

0

1

1

16

 

1

1

1

0

0

16

1

0

0

0

1

1

16

1

0

0

1

0

0

17

 

1

1

1

0

1

17

1

0

0

1

0

1

18

 

1

1

1

1

0

18

1

0

0

1

1

0

18

1

0

1

0

0

0

19

 

1

1

1

1

1

19

1

0

0

1

1

1

19

1

0

1

0

0

1

20

1

0

1

0

1

0

 

Rappel de la suite de Fibonacci

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …]

Le premier 1 est écarté pour ne retenir que des nombres distincts.

 

Liste des nombres n selon leur codage binaire-Fibonacci

[0, 0], [ 1, 1], [ 2, 10], [ 3, 100], [ 4, 101], [ 5, 1000], [ 6, 1001], [ 7, 1010], [ 8, 10000], [ 9, 10001], [ 10, 10010], [11, 10100], [12,  10101], [ 13, 100000], [ 14, 100001], [ 15, 100010], [16,  100100], [ 17, 100101], [18,  101000], [ 19, 101001], [ 20, 101010], [ 21, 1000000], [22, 1000001], [ 23, 1000010], [24,  1000100], [25, 1000101], [ 26, 1001000], [27,  1001001], [ 28, 1001010], [ 29, 1010000], [30,  1010001], [ 31, 1010010], [32, 1010100], [ 33, 1010101], [34, 100000000], [35, 100000001] 

 

Fibonacci – 1

33 = 1010101Fib   = 1 + 3 + 8 + 21 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13

88 = 101010101fib = 1 + 3 + 8 + 21 + 55 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 31 + 34

La somme de Fibonacci distincts pour ces nombres est unique.

 

Règle générale pour tous les nombres F – 1: somme unique représentée par une alternance de 1 et 0.

Raison: propriété des nombres de Fibonacci: Fn+2 – 1 = F1 + F2 + … + Fn = Fn+1 + Fn-1 + Fn-3 + … + F3 ou 2

 

Illustration de la propriété pour F7 = 13 et F12 = 144

 

 

Théorème de Zeckendorf

 

Édouard Zeckendorf (11901-1983) médecin et mathématicien belge publie la démonstration en 1972.

Pourtant, Lekkerkerker l'avait publiée 20 ans pus tôt.

En 1960, David Daykin a prouvé que la suite de Fibonacci est la seule qui satisfait le théorème de Zeckendorf.

 

 

Théorème

Tout entier naturel est la somme unique de nombres de Fibonacci distincts non consécutifs.

 

Propriétés

 

La représentation binaire ne comporte jamais deux 1 consécutifs.

Les nombres de Fibonacci sont représentés par un 1 suivi de 0; alors que leur prédécesseur est constitué d'une alternance de 1 et de 0.

Algorithme

1.    Pour N, trouver le plus grand Fibonacci F inférieur ou égal à n.

2.    Alors N prend la valeur N – F.

3.    Refaire 1. tant que N n'est pas nul.

4.    La somme cherchée est celle de tous les F trouvés.

Anglais

Zeckendorf's theorem is a theorem about the representation of integers as sums of Fibonacci numbers.

Voir Démonstrations sur site Wikipédia

 

 

 

 

 

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Sites

*        Théorème de Zeckendorf – Wikipédia

*        Théorême de Zeckendorf avec démonstrations – Jean-Marc Baylac

*        Zeckendorf's Theorem – Wolfram MathWorld

*        OEIS A014417 - Representation of n in base of Fibonacci numbers (Zeckendorf representation of n).

*        What is Zeckendorf's Theorem – Nik Henderson – 2016

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Partition/Zeckendorf.htm