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Édition du: 24/09/2020 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Théorie des nombres Types de nombres	Arithmétique – Modulo
	Introduction	Théorie	Propriétés	Formulaire
	Applications	Calculs	Carrés	Cubes
	Jeux	Sun Zi	Mod 9, 10, 11	Carrés et Cubes
	Parité	7 ^ 7 ^ 7	Log Modulaire	11^10 = 32 mod 71

CONGRUENCES – 7^7^7 Exemples de calculs Avec les puissances à étages de 7 Le petit théorème de Fermat associé au monde du modulo permet des calculs sur de très grands nombres sans à avoir à calculer la valeur de ce nombre.
	Sommaire de cette page >>> Mise en jambe sur exemples simples >>> Divisibilité de 7^7 par 11 >>> Divisibilité de 7^11 k par 11 >>> Cas de (7^7)^7 >>> Cas de 7^7^7	Débutants Opérations Glossaire Nombres

Mise en jambe sur exemples simples
Se familiariser avec le petit théorème de Fermat: Exemples 2^5 = 2 mod 5 3^7 = 3 mod 7 Voici deux exemples simples pour illustrer le calcul généralement pratiqué sur des cas plus complexes.	Est-ce que 30 est divisible par 5? 30 = 32 – 2 = 2^5 – 2 En modulo 5 cela devient: 30 2 – 2 mod 5 0 mod 5 Oui! 30 est divisible par 5. Est-ce que 2 184 est divisible par 7? 2 184 = 2 187 – 3 = 3^7 – 3 En modulo 7 cela devient: 2 184 3 – 3 mod 7 0 mod 7 Oui! 2 184 est divisible par 7.

Divisibilité de 7^7 par 11
Remarque	7 n'est pas divisible par 11 7 x 7 = 49 non plus 7 x 7 x 7 = 343 = 11 x 31 + 2 non plus Ensuite ?
Fermat à l'œuvre	7 x … x 711 fois = 7^11 7 mod 11 Avec la puissance 11, Fermat permet de conclure. Un paquet de 7 multiplié 11 fois par lui-même, divisé par 11, donne 7 pour reste
Examen Pour information, valeurs de 7^n 1, 7 2, 49 3, 343 4, 2 401 5, 16 807 6, 117 649 7, 823 543 8, 5 764 801 9, 40 353 607 10, 282 475 249 11, 1 977 326 743	7^1 7 mod 11 7^2 5 mod 11 7^3 2 mod 11 7^4 3 mod 11 7^5 10 mod 11 7^6 4 mod 11 7^7 6 mod 11 7^8 9 mod 11 7^9 8 mod 11 7^10 1 mod 11 7^11 7 mod 11 Seules les puissances 1 et 11 donnent 7 pour reste. Aucun résidu nul. Aucune de ces puissances n'est divisible par 11.
Pour l'exemple, calculons le résidu de 7^7 Ce nombre vaut: 823 543	n = 7^7 Quel est le reste de la division par 11 ? On peut écrire ce nombre: 7^11-4 Qui vaut: n = 7^11 / 7^4 Avec Fermat: 7^11 7 mod 11 Calcul de 7^4 = 2401 = 11 x 218 + 3 3 mod 11 Retour à n = 7^11 / 7^4 7 / 3 mod 11 Pour obtenir une division qui tombe juste, il faut ajouter 1 fois 11 au numérateur, ce qui ne change pas la valeur en modulo 11: n (7 + 11) / 3 18 / 3 n = 7^7 6 mod 11.

Divisibilité de 7^11k par 11
Avec Fermat, nous savons	7 x … x 711 fois = 7^11 7 mod 11 7^11 7 mod 11
k paquets de 11	7^22 = 7^11 + 11 = 7^11 x 7^11 7 x 7 mod 11 49 mod 11 Or 49 = 11 x 4 + 5 7^22 5 mod 11 7^33 = 7^11 + 11 + 11 = 7^11 x 7^11 x 7^11 7 x 7 x 7 mod 11 5 x 7 mod 11 Or 35 = 11 x 3 + 2 7^33 2 mod 11
Conclusion 7^77 = 118 181 386 580 595 879 976 868 414 312 001 964 434 038 548 836 769 923 458 287 039 207 = 0,11 10^66	Le résidu de 7^11k est celui de 7^k Ainsi 7^77 = 7^7 x 11 7^7 6 mod 11
Puissance K de 7	On peut toujours exprimer K la puissance de 7 par K = 11k + q avec q = {0 à 10). Or, en modulo 11, le 11 k donnera des produits de 7 (7^K1) et q ne donnera jamais 0 comme résidu. À son tour 7^K1, en modulo 11, donnera des produits de 7 (7^K2) et q ne donnera jamais 0 comme résidu. Etc. 7^K n'est pas divisible par 11.

Cas de (7^7)^7 par 11
Grand nombre! = 256 923 577 521 058 878 088 611 477 224 235 621 321 607 = 0,25 10^42	Que dire de n = (7^7)^7 modulo 11? n = (7^7)^7 = (7^7)^(11-4) = (7^7)^11 / (7^7)^4 N = (7^7)^11 7^7 mod 11 6 mod 11 D = (7^7)^4 (6)^4 mod 11 = 1 296 mod 11 = 117 x 11 + 9 9 mod 11 n = N / D 6 / 9 6 + 6 x 11/9 = 8 n = (7^7)^7 8 mod 11

Cas de 7^(7^7) par 11
Grand nombre! = 0,37 10^695 975 Presque 700 000 chiffres!!!	Que dire de n = modulo 11? Je crains qu'il faille calculer 7^7 = 823 543 pour y chercher les paquets de puissance 11. Sa division par 11: 823 543 = 11 x 74 867 + 6 n = 7^11 x 74 867 x 7^6 n 7x7x … x 774 867 fois x 7^6 Or 74 867 = 11 x 6806 + 1 n 7^11 x … x 7^11 6 806 fois x 7x 7^6 n 7 x … x 7 6 806 fois x 7^7 Or 6 806 = 11 x 618 + 8 n 7^11 x … x 7^11 618 fois x 7^8x 7^7 n 7 x … x 7 618 fois x 7^15 Or 618 = 11 x 56 + 2 n 7^11 x … x 7^11 56 fois x 7^2 x 7^15 n 7 x … x 7 56 fois x 7^17 Or 56 = 11 x 5 + 1 n 7^11 x … x 7^11 5 fois x 7 x 7^17 n 7 x … x 7 5 fois x 7^18 n 7^5 x 7 x 7^18 = 7^23 Or 23 = 11 x 2 + 1 n 7^11 x 7^11 x 7 = 7^3 = 343 = 11 x 31 + 2 n = 2 mod 11
Avec un peut de pratique, on peut résumer la recherche comme indiqué =>	823 543 74 867 6 806 618 56 5 23 2	= 11 x 74 867 = 11 x 6 806 = 11 x 618 = 11 x 56 = 11 x 5 = 11 x 0 = 11 x 2 = 11 x 0	+ 6 + 1 + 8 + 2 + 1 + 5 Total 23 + 1 + 2 Total 3
	Soit 7^3 = 343 = 11 x 3 + 2 2 mod 11

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Voir	Clé de divisibilité, une application de la théorie du modulo Divisibilité Exemple d'application du modulo en Codage RSA La division
Aussi	Calcul mental Équations Géométrie	Jeux – Index Nombres Premiers Théorie des nombres
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