NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Calcul des variations

 

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Général

 

 

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Analyse

 

Introduction

Isopérimètre

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Quelques résultats

 

 

CALCUL DES VARIATIONS

 

Recherche des extrêmes sur

des courbes,

des surfaces,

des volumes.

 

 

APPROCHE

 


 
Calcul des variations

Anglais: calculus of variations

 

*    Branche de l'analyse s'intéressant à la recherche d'extremums de fonctions définies sur des espaces pouvant être très complexes.

 

 Zénodore

 

*    Il a trouvé que le cercle est la figure qui couvre la plus grande surface à périmètre donné: problème de l'isopérimétrie.
Pappus a repris tous ces travaux sur l'isopérimétrie

 

Jacques Bernoulli (1654-1705)

 

*    Avec l'étude et la résolution du problème de L'ISOPÉRIMÈTRE, qui est la recherche parmi toutes les courbes de longueur donnée de celle qui limite une aire maximale.
C'est le disque (cercle).

Voir Illustration / Bernoulli

 

*    Jacques Bernoulli résout un problème de calcul des variations.
La solution revient à étudier les extremums d'une intégrale quand la fonction sous le signe d'intégration est soumise à certaines conditions.
En 1697, il résoudra, en même temps que son frère, un autre problème de calcul des variations, LE BRACHISTOCHRONE, qui est la recherche de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant.
C'est une cycloïde.

Voir Isopérimètre

 

 

QUELQUES RÉSULTATS

RECTANGLE

*    À périmètre donné, le rectangle, en fait le polygone, qui donne l'aire maximum est le carré.

CERCLE

*    Ligne fermée  de longueur donnée qui donne l'aire maximale.

SPHÈRE

*    Objet de surface donnée qui donne le volume maximum.

 

 

 

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*    Cercle

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