NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Général

Calcul des variations

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Analyse

 

Introduction

Isopérimètre

Boîtes

 

Sommaire de cette page

>>> Le problème de Didon

>>> Rectangles et carrés

>>> Polygones

>>> Cas de l'hexagone

>>> Cercles et sphères

>>> Preuves – Approche 

>>> Inégalités isométriques 

>>> Historique

>>> Anglais

 

 

 

ISOPÉRIMÈTRE

 

Quelle est la figure qui offre la plus grande surface ?

Le plus grand volume ?

 

Le cercle offre 25% de surface de plus que le carré à même périmètre.

La princesse Didon de Carthage connaissait déjà la réponse.

J. Bernoulli a trouvé ce résultat.

 

 

 

LE PROBLÈME DE DIDON

 

La corde

*    On dispose d'une longue corde. Quelle est l'enclos de surface maximum que l'on puisse créer avec cette corde ?

 

*    C'est le problème de Didon (nom latin Dido) ou problème géométrique de l'isopérimètre: quelle est la figure d'aire maximum, étant donné un certain périmètre?
 

Approche

 

 

Losange:

*    Périmètre: 18

*    Aire:           12

 

Carré:

*    Périmètre: 16

*    Aire:           16

 

Son périmètre est plus petit, et pourtant sa surface est plus grande.

 

 

 

Rectangle:

*    Périmètre: 16

*    Aire:             7 Minimum?

 

 

 

 

 

 

Cercle:

*    Périmètre: 16

*    Aire:           20,4 Maximum?

 

Calcul

 

 

 

Voir Losange / Carré / Rectangle / Cercle

 

 

La suprématie du carré

 

*    Du rectangle ou du carré, quel est celui qui englobe la plus grande surface, à périmètre identique ?

*    Prenons l'exemple des figures suivantes:

 

*    Les périmètres sont identiques (4a). L'aire du carré () est toujours plus grande que celle du rectangle ( – b²).

 

De tous les rectangles et à même périmètre, c'est le carré qui couvre la plus grande surface.

 

 

 

 

POLYGONES

 

Généralisation

*    Cette propriété du carré était connue de Zénodore. Il  généralise la propriété du carré aux polygones et ira même plus loin… La démonstration complète n'est pas évidente du tout.

 

Propriété

 

Pour chaque type de polygones et à même périmètre,

c'est le polygone régulier qui couvre la plus grande surface.

 

*    Figures isopérimètriques: triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier, etc.

 

 

Question suivante

*    Vu, au sein de chaque famille, la régularité est récompensée. Mais, entre ces familles, toujours avec le même périmètre, quelle est la figure qui couvre la plus grande surface?
 

 

 

Cas de l'HEXAGONE

 

Figure

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/CdVIsope_fichiers/image048.gif

Propriété

 

L'aire de l'hexagone est supérieure à celle du carré…

 

 

Calculs

*       Côté de l'hexagone

*       Apothème

a

h

= 1

= ?

*       Hexagone

OA = AB = OB = a

= 1

*       Triangle équilatéral

AC = CB = a/2

= 1/2

*       Pythagore

h² = a² – (a/2)² = 3/4 a²

= 1 – 1/4 = 3/4

*       Longueur de l'apothème

h = a3 / 2

= 3 / 2

*       Aire du triangle

A = 1/2 ah

    = 1/2 a (a3 / 2)

    = a² 3 / 4

 

 

= 3 / 4

*       Aire de l'hexagone

AH = 6A = 6 a² 3 / 4

    = 3a² 3 / 2

= 33 / 2

= 2,598…

*       Périmètre de l'hexagone

P = 6a

= 6

*       Périmètre du carré

P = 6a

= 6

*       Côté du carré ayant ce périmètre

c = 6a/4 = 3a/2

= 3/2

*       Aire du carré

AC = (3a/2)² = 9a² / 4

= 9/4

= 2,25

 

Généralisation

 

*    Carré

2,25

*    Hexagone régulier

2,598…

*    Octogone régulier

2,715…

*    Dodécagone régulier

2,799…

*    Etc.

 

*    Cercle

2,864…

 

 

 

De tous les polygones réguliers et à même périmètre, c'est celui qui a le plus de côtés qui couvre la plus grande surface. Le cercle, "polygone régulier" à nombre de côtés infini, les surpasse tous.

 

 

 

CERCLES ET SPHÈRES

 

Cercles

 

De toutes les figures et à même périmètre, c'est le cercle qui couvre la plus grande surface.

 

De toutes les figures de même aire, c'est le cercle qui a le plus petit périmètre.

 

Soit deux points et un arc de longueur donnée, c'est le demi-cercle qui couvre la plus grande surface.

 

Sphères

 

De toutes les figures de même aire, c'est la sphère qui le plus grand volume.

 

De toutes les figures et à même volume, c'est la sphère qui a la plus petite aire.

 

 

 

PREUVES – APPROCHE

 

*    La démonstration rigoureuse n'est pas simple. Elle s'appuie sur des démonstrations partielles telles que celles exposés ci-dessous.

 

Convexe

*    Ce qu'il faut démontrer: la figure cherchée est convexe.

*    En effet: supposons qu'elle soit concave: figure en bleu.

 http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/CdVIsope_fichiers/image040.gif

*    On peut y ajouter la figure symétrique: dessin en brun. La figure résultante à même périmètre que celle de départ:

PA EF BCD = PA GH BCD

 

*    Pourtant c'est bien la nouvelle figure qui couvre la plus grande surface. Elle est convexe.

 

Une forme concave peut toujours être remplacée par sa symétrique convexe et obtenir une plus grande aire à même périmètre.

 

 

Demi-périmètre et symétrie

 

*    Ce qu'il faut démontrer: si le périmètre est divisé en deux parties égales. Alors la surface l'est aussi.

*    En effet: considérons les deux polygones: ACDB (bleu) et ABE (marron). Ils ont même périmètre. Par contre, l'aire du polygone bleu est plus petite que celle du polygone marron.

 

*    Dessinons le polygone symétrique au marron: AFB.

*    Considérons les deux polygones: AFBE et ACDBE. Ils ont même périmètre, mais l'aire du premier (symétrique) est plus grande que celle du second.

 

La figure répondant au problème présente une certaine symétrie: chaque fois que le périmètre est coupé en deux parties de même longueur, l'aire maximum est obtenue lorsque les surfaces de part et d'autre sont symétriques.

 

*    Intuitivement, il est possible de déduire le résultat en prenant la coupure du périmètre sur des points successifs rapprochés. À chaque, la figure est symétrique et a la limite, "ronde".

 

Demi-cercle

 

*    Ce qu'il faut démontrer: soit deux points et un arc de longueur donnée, c'est le demi-cercle qui couvre la plus grande surface.

*    En effet: étant donné un arc issu de deux points, dessinons un triangle.

 

 

*    On démontre d'abord que, de tous les triangles ayant deux côtés donnés, c'est celui qui forme un angle droit avec ces côtés qui couvre la plus grande surface: T doit être triangle rectangle.

*    On démontre ensuite que la somme des deux surfaces bleues C1 et C2 reste constante quelle que soit la position de S.

*    Et, finalement, on déduit que seul un demi-cercle permet à T de rester rectangle.

*    L'arc maximalisant l'aire est un demi-cercle.

 

Voir Aire de la lunule

 

 

INÉGALITÉS ISOMÉTRIQUES 

 

Anglais: Isoperimetric Inequality

 

Des théorèmes cités ci-dessus, on peut tirer les inégalités suivantes:


P = Périmètre

S = Surface

V = Volume

 

Dans le plan

 

Égalité seulement pour le Cercle.

Dans l'espace

 

Égalité seulement pour la Sphère.

Cas du rectangle

 

Égalité seulement pour le Carré.

 

Relation entre moyennes arithmétique et géométrique

 

 

HISTORIQUE

 

Antiquité

*    Le théorème de l'isopérimètre est connu depuis l'Antiquité.

 

Didon

*    Quelques siècles avant J.-C. et selon la mythologie, la princesse Didon sœur de Pygmalion, roi de Tyr s'installe sur la côte nord de l'Afrique avec quelques amis. Elle forme de grandes surfaces semi-circulaires avec le diamètre longeant la côte. C'est la ville de Carthage (ville tunisienne située au nord-est de la capitale Tunis).

 Zénodore

*    Il a donné toutes les propriétés énoncées ci-dessus, y compris entrevoir celle de la sphère.

*    Mathématicien grec: entre II siècle av. J.-C. et Ier après (?). On ne connaît son œuvre que par des écrits indirects, comme ceux de Pappus

 

Pappus d'Alexandrie

*    Pappus (environ 300 après J.-C.) a repris tous ces travaux sur l'isopérimétrie.  À cette époque, il écrit:

*       Les abeilles connaissent un fait utile pour elles.

*       Un hexagone est plus grand que le carré ou le triangle et contient plus de miel pour la même quantité de matériaux utilisés pour leur construction.

*       Nous, qui déclarons avoir plus de sagesse, allons étudier un problème plus vaste.

*       De toutes les figures planes équilatérales ou équi-angulaires ayant le même périmètre, la plus grande est toujours celle qui a le plus d'angles et la plus grande de toutes est le cercle.

 

 Bernoulli

*    Johann et Jacob Bernoulli (autour de 1700) travaillent sur ce problème en impliquant d'autres types de courbes: ellipses, paraboles … D'ailleurs, le cercle et la sphère y conservent leurs propriétés.

*    Suite à ces recherches, les Bernoulli créent une nouvelle branche des mathématiques: calcul des variations.

 

Steiner

*    Jacob Steiner (1796-1863) donna la preuve rigoureuse du théorème en 1841. À cette époque les tenants des méthodes géométriques et ceux des méthodes analytiques (calcul des variations) se confrontaient.
 

Voir Calcul des variations

 

 

ENGLISH CORNER

 

*    Among all planar shapes with the same perimeter the circle has the largest area.

*    Among all planar shapes with the same area the circle has the shortest perimeter.

 

 

 

Suite

*    Isopérimètre

*    Bissection de l'hexagone avec un cercle

Voir

*    AnalyseGlossaire

*    Cercle

*    Cercle

*    Constantes de l'univers 

*    Constantes Mathématiques

*    Cycloïde

*    Dérivée

*    Égalités

*    Limites

*    Nombre d'or

*    Pi

Site

*    Isoperimetric Parallelograms

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