NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 01/09/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Géométrie

 

Débutants

Géométrie

Courbes étonnantes

 

Glossaire Géométrie

 

 

INDEX

 

Courbes

 

Géométrie 

Cercle

Ellipse

Cycloïde

Lemniscate

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Cycloïde – Définition

>>> Propriétés

>>> Historique

 

 

 

 

 

 

 

CYCLOÏDE

Ou Roue d'Aristote, Roulette de Pascal

 

 

Lorsque tu es chez elle,

d'où que tu partes

tu arrives toujours à l'heure !

 

 

La roulette est une ligne si commune,

qu'après la droite et la circulaire,

il n'y en n'a point de si fréquente.

Pascal  1623 – 1662

 

 

 

 

 

APPROCHE

 

Question

 

Je veux descendre une pente le plus vite possible

Quelle est la piste la plus rapide ?

La régularité de la droite ou

une courbe qui impose une vitesse plus rapide au départ?

 

 

 

Réponse

C'est la CYCLOÏDE

C'est la courbe de descente la plus rapide pour aller de A à B, ou de A à C, etc.

Avec en prime, le fait que

Quel que soit le point de départ ( 1, 2, 3 …), on arrive en bas en même temps.

 

 

 

 

 

CYCLOÏDE –Définition

 

Géométrique

 

C'est le parcours de la valve d'une roue de vélo.

Ou celle d'un clou enfoncé dans le pneu de la roue.

 

C'est la courbe suivie par un point d'un cercle qui roule sur une surface droite.

 

 

Cycloïdes: famille de courbes engendrées par un point du plan d'un cercle roulant sans frottement sur une droite ou sur un autre cercle.

Appelées aussi:

-         roulettes

-         trochoïdes (vieux)

-         belle Hélène

-         pomme de discorde

 

Trochoïde

La courbe décrite par un point de la roue d'un train, situé à l'extérieur du cercle de roulage sur les rails, est une trochoïde

Elle présente une zone de rebroussement; une boucle où les points présentent la particularité d'aller en arrière!

 

 

Construction de la cycloïde

Construction de trochoïde

 

 

 

 

Analytique

C'est la courbe d'équations paramétriques:

x = R ( t - sin t )

y = R ( 1 - cos t)

 

 

 




PROPRIÉTÉS

 

Dimensionnelles

Longueur

Aire

L = 8R

A = 3  

L = Périmètre du carré

circonscrit au cercle générateur

A = 3 fois

l'aire du cercle générateur

Grand diamètre

 

D = 2  R

 

D = le périmètre du cercle

Normal:

C'est le parcours du cercle sur la droite

 

 

Géométriques

Prenons un cercle de deux fois le diamètre du cercle générateur et, un diamètre vertical de ce cercle.

On les fait tourner l'ensemble.

Le diamètre reste tangent à la cycloïde.

C'est son enveloppe.

 

La développée d'une cycloïde est une cycloïde identique qui se trouve décalée d'un demi-tour par rapport à celle du départ.

 

 

 

Fonctionnelles

BRACHYSTOCHRONE

TAUTOCHRONE

La cycloïde est la plus rapide.

 

La courbe le long de laquelle une bille soumise à la pesanteur se déplacera d'un point A à un point B le plus rapidement possible.

Les temps de trajets sont identiques.

 

Quel que soit le point A de départ de la bille, elle mettra le même temps pour arriver en B .

Brachy: Brahistos: le plus court

Chrone: Chronos: temps

Tauto: même

Voir Identités

 

Tautochrone  Qui a lieu dans des temps égaux.

Isochrone ou isochronique  Qui s'effectue dans des intervalles de temps égaux. Les oscillations isochrones du pendule

Larousse

 

 

Le point du cercle engendrant la cycloïde prend diverses vitesses

Y compris le repos en repassant sur la droite sur laquelle roule le cercle générateur.

 

Dans le cas des roues du train, les points en dessous de la surface des rails parcourent des cycloïdes allongées, présentant des boucles.

De sorte que certains points de la roue repartent en arrière!

 

Pendules

 

Petites oscillations

La période du pendule ne dépend que de sa longueur

La période est constante pour un pendule de longueur donnée

Découverte de Galilée

Grandes amplitudes

Ce n'est vrai que si l'on force le pendule à s'enrouler sur une cycloïde

Du fait de sa propriété tautochrone

 

 

 

 

HISTORIQUE

 

Charles bouvelles - 1501

-     Premières références à la cycloïde

 

Mersenne - (1588 - 1648)

-     Il a formulé plusieurs problèmes à leur sujet

 

Galilée - (1564 - 1642)

-     Galilée s'est posé le problème de la courbe la plus rapide – 1630

"Je cherche à décrire cette ligne courbe depuis plus de cinquante ans, car j'ai eu l'occasion d'admirer le dessin très gracieux de cette courbe pour l'adapter aux arches d'un pont" 1

-     Il pensait que cette courbe est idéale pour construire un pont: la plus robuste

-     Il tente de déterminer l'aire de la courbe et trouve environ 3, par pesée. Il avait vu juste!

 

Roberval - 1634

-     Il démontre que l'aire vaut trois fois celle du cercle

 

Evangelista Torricelli - 1644

-     Il écrit le premier document sur les cycloïdes

-     Il donne la démonstration du calcul de l'aire

 

"À travers lesquelles, avec l'aide de Dieu, nous prouverons [que l'aire d'une cycloïde] est égale à trois fois [celle du disque qui l'a engendrée]" . Cité par Robert Ghattas – Petite salade de mathématiques. First Editions – 2005

 

 

Sir Christopher Wren - 1658

-     Il démontre que le périmètre est le celui du carré circonscrit au cercle

 

Christiaan Huygens - 1657

-     Il écrit un traité du pendule synchrone, en particulier

-     Il tente de réaliser des pendules tautochrones avec un débattement cycloïdal; il abandonne, car compliqué à réaliser

-     La solution viendra: il faut placer près du point de suspension du pendule deux pièces cycloïdales qui contraignent la tige semi-rigide à parcourir elle-même une cycloïde >>>

-     Il imagine le système d'échappement à ancre pour réguler le rythme des horloges

 

Pascal comme Newton, Leibniz, Bernoulli, Guillaume de l’Hopital,  Jean et Jacques Bernoulli etc.

-     Eux aussi étudient ces courbes

-     Origine du calcul des variations

-     Utile en mécanique et en optique, puis en mécanique quantique et relativité générale

 

 

 

 

 

 

 

Voir aussi

*    Calcul des variations

*    Carrés parfaits

*    Cercle

*    Chaînette

*    Constructible

*    Géométrie

*    Horloge

*    Identités

*    Parabole

*    Physique amusante

*    Quadrature du cercle

*    Sphère

Sites

*    Courbes : nom et particularités

*    The tautochrone problem par Wolfram

*    Index of /~history/curves

*    Building and demonstrating the importance's
of the Cycloid Curve
– Avec video de démonstration

 

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Construc/Cycloide.htm