NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Général

 

 

INDEX

 

Divisibilité

 

Calcul

 

Théorie des nombres

 

PGCD

Algorithme d'Euclide

Premiers entre eux

PPCM

Pgcd / Ppcm / Racine

Sommaire de cette page

>>> PPCM

>>> PPCM de plusieurs nombres

>>> Propriété fondamentale

>>> Relations entre PGCD et PPCM 

>>> Calcul du PPCM

>>> Valeurs du PPCM

>>> Exploration

>>> Démonstration

>>> Nombres PPCM 

 

 

 

PPCM

Plus Petit Commun Multiple

 

Une suite de nombre A, B, C, 

Quel est le nombre qui est un multiple de chacun d'eux?

 

Ex: 2,  5 et   7             70      (70 est multiple à la fois de 2, 5 et 7)

       2,  5 et 10             10      (10 est multiple à la fois de 2, 5 et 10)

 

Anglais: Least Common Multiple – LCM

 

 

 

PPCM

 

*    Quelle est la plus petite longueur commune à 4 et 6 ?

 

 

*    Il s'agit du nombre 12 qui contient trois fois 4 et deux fois 6, et c'est le plus petit.
Le nombre 12 est le plus petit commun multiple de 4 et 6.

 

 

Exemples

 

Dans les deux premiers cas, le PPCM est simplement le produit des deux nombres. On dit que ces nombres sont premiers entre eux.

 

 

 

Dans les deux derniers, certains facteurs sont communs (en bleu); le PPCM est plus petit que le produit des nombres.

Notez que les nombres en bleu constituent le PGCD.

 

 

 

PPCM de plusieurs nombres

 

Disposition pratique

En fait, on ne retient que les nouveaux facteurs.

 

 

PPCM de tous les nombres successifs entre m et n valant de 1 à 20

 

 

 

Devinette

Quatre phares émettent selon des cycles de 4, 14, 15 et 35 secondes. Combien de temps faut-il pour qu'ils se retrouvent tous en phase?

 

Il est nécessaire que chacun ait émis un nombre entier d'impulsions. C'est donc le plus petit commun multiple de ces quatre nombres.

PPCM (6, 14, 15, 35) = 210

Un cycle comporte alors 35 impulsions de 6s, 15 impulsions de 14s, 14 impulsions de 15s et 6 impulsions de 35s. Ces quatre produits sont effectivement égaux: 6x35 = 14x15 = 15x14 = 35x6 = 210.

 

 

 

PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE

 

On note: g = PGCD et m = PPCM.

 

 

Le produit des nombres est égal au produit de PGCD par PPCM.
 
A . B = g . m

 Voir démonstration

 

  

Relations entre PGCD et PPCM

 

g = PGCD     Intersection     des parties communes.

m = PPCM    Union               des parties différentes.

 

 

On note bien: A . B = g . m  = 42 x 30 = 6 x 210 = 1 260

 

Relations avec la division

 

Illustration

 

Trois possibilités de calcul du PPCM (m)

 

 

 

 

 

Valeurs du PPCM

 

Table des PPCM des nombres A et B jusqu' à 10.

En jaune, les nombres de la table de multiplication.

 


La table est bien évidemment symétrique par rapport à la diagonale descendante.

PPCM (A, B) = PPCM (B, A)

 

La table de multiplication sous forme A . B = g . m

 

Ex: 6 x 4 = 2 x 12

 

Cette table vous permet de retrouver A et B connaissant g et m.

Ex: g = 3 et m = 18   A . B = 54   A = 6 et B = 9

 

Exploration

Curiosité avec 999 

A

B

g

m

999

1001

1

999 999

999

1002

3

333 666

 

PPCM en puissances de 10

 

 

 

  

DÉMONSTRATION de A . B  = g . m

Formule

Exemple

g = PGCD

A = g . a

B = g . b

42 = 6 x 7

30 = 6 x 5

Propriété du PGCD

a et b premiers entre eux.

7 et 5 sont premiers entre eux.

 

g = A/a = B/b

A . b = B . a

6 = 42 / 7 = 30 / 5

42 x 5 = 30 x 7

m = PPCM

m = A . a'

m = B . b'

210 = 42 x 5

210 = 30 x 7

 

a' et b' premiers entre eux.

sinon on poursuit en divisant par le diviseur commun.

5 et 7 sont premiers entre eux.

 

A . a' = B . b'

42 x 5 = 30 x 7

Introduisons g

g . a . a' = g . b . b'

a . a' = b . b'

6 x 7 x 5 = 6 x 5 x 7

7 x 5 = 5 x 7

 

a et b premiers entre eux.

et

a' et b' premiers entre eux.

 

Conséquence

(Voir ci-dessous)

a = b'

b = a'

7 = 7

5 = 5

Expression de chacun avec g et m

A = g . a = g . m/B

B = g . b = g . m/A

A . B = g² . m² / A.B

A . B = g . m

A = 6 x 7 = 6 x 210 /30

B = 6 x 5 = 6 x 210 /42

1260 = 36 x 44 100 / 1260

42 x 30 = 6 x 210

 

 

 

Complément

sur

a . a' = b . b'

On a

a . a' = b . b'

Alors

a divise b.b'

On note

a b.b'

Or

a et b premiers entre eux

C'est que

a  b'

b' = a . q1

De même

a' = b . q2

Formule initiale

a . a' = b . b'

a . b . q2 = b . a . q1

Conclusion

q1 = q2

Notons que

q1 et q2 divisent a' et b'

Or

a' et b' premiers entre eux

C'est que

q1 = q2 = 1

et, finalement

b' = a . q1 = a

a' = b . q2 = b

 

 

 

Nombres PPCM

 

*    Nombres divisibles par tous les nombres de 1 à n

Par exemple: 60 est divisible par 1,2, 3, 4, 5 et 6.

*    Un nombre est divisible par tous ces nombres s'il en est leur PPCM

PPCM (1, 2, 3, 4, 5, 6 ) = 60

 

Liste des premiers nombres PPCM

Chaque nombre est accompagné de ses facteurs premiers. Exemple: 60 = 2² x 3 x 5

 

 

Ne pas confondre ces nombre avec les nombres factoriels.

 

Jeu: quels sont les pannumériques divisibles jusqu'à n?

Il s'agit des multiples des nombres PPCM composés des dix chiffres non répétés.

 

 

Explications:

 

Le nombre 1 274 953 680, pannumérique multiple de 720 720 est divisible par tous les nombres de 1 à 16.

Seuls les quatre nombres en jaune sont divisibles jusqu'à 18.  Tous les quatre sont multiples de 12 252 240.

Aucun pannumérique n'est divisible par des nombres de 1 à plus de 18, même en doublant chaque chiffre.

 

 

 

 

 

Suite

*        PGCD / PPCM / Racine

*         Jeu avec le PPCM

*         PPCM et simplification des fractions

*         PGCD en théorie des nombres

Autour

*         La division en pratique c'est quoi?Débutant

*         La division en résumé c'est quoi?Glossaire

*         Divisibilité par un nombre donné

*         Diviseurs: calculs et facteurs premiers

Voir

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