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PPCM Plus Petit Commun Multiple Une suite de
nombre A, B, C, … Quel est le
nombre qui est un multiple de
chacun d'eux? Ex: 2, 5 et
7 2,
5 et 10
Le PPCM des
nombres de 1 à n est appelé Super-primorielle de N. |
Anglais: Least
Common Multiple – LCM
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Exemples Dans les deux premiers cas, le PPCM est
simplement le produit des deux nombres. On dit que ces nombres sont premiers entre eux. Dans les deux derniers, certains
facteurs sont communs (en bleu); le PPCM est plus petit que le produit des
nombres. Notez que les nombres en bleu
constituent le PGCD. |
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PPCM
de tous les nombres successifs entre n et m valant de 2 à 20
Liste des PPCM des nombres de 1 à n (Première ligne du tableau
ci-dessus)
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1, 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520,
2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240,
232792560, 232792560, 232792560, 232792560, 5354228880, 5354228880,
26771144400, 26771144400, 80313433200, 80313433200, … |
Devinette
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Quatre phares émettent selon des cycles
de 6, 14, 15 et 35 secondes. Combien de temps faut-il pour qu'ils se
retrouvent tous en phase? Il est nécessaire que chacun ait émis
un nombre entier d'impulsions. C'est donc le plus petit commun multiple de
ces quatre nombres. PPCM (6, 14, 15, 35) = 210 Contributions: 2x3 puis 7 puis 5 puis
rien => 210 Un cycle comporte alors 35 impulsions
de 6s, 15 impulsions de 14s, 14 impulsions de 15s et 6 impulsions de 35s. Ces
quatre produits sont effectivement égaux: 6x35 = 14x15 = 15x14 = 35x6 = 210. |
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On note: g = PGCD et m = PPCM. A
et B
sont deux entiers positifs. Le produit des nombres est égal au produit de PGCD
par PPCM. Voir démonstration Attention: ça ne marche pas avec trois nombres. Mais si abc=
g.m c'est
que les trois nombres sont premiers entre eux deux
à deux: pgcd(a,b) = pgcd(b,c)
= pgcd(c,a) = 1. La
formule pour trois nombres
g = PGCD Intersection des parties communes. m = PPCM Union des parties différentes.
On note bien: A . B = g . m = 42 x 30 =
6 x 210 = 1 260 Relations avec la
division
Illustration
Trois possibilités de calcul du PPCM (m)
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Table
des PPCM des nombres A et B jusqu' à 10. En
jaune, les nombres de la table de
multiplication.
PPCM (A, B) = PPCM (B, A) La
table de multiplication sous forme A . B = g . m
Ex: 6 x 4 = 2 x 12 Cette
table vous permet de retrouver A et B connaissant g et m. Ex: g = 3 et m = 18 Curiosité
avec 999
PPCM
en puissances de 10
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Formule |
Exemple |
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g = PGCD |
A = g . a B = g . b |
42 = 6 x 7 30 = 6 x 5 |
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Propriété
du PGCD |
a et b premiers entre eux. |
7 et 5 sont premiers entre eux. |
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g = A/a = B/b A . b = B .
a |
6 = 42 / 7 = 30 / 5 42 x 5 = 30 x 7 |
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m = PPCM |
m = A . a' m = B . b' |
210 = 42 x 5 210 = 30 x 7 |
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a' et b' premiers entre eux. sinon on poursuit en divisant par le diviseur
commun. |
5 et 7 sont premiers entre eux. |
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A . a' = B . b' |
42 x 5 = 30 x 7 |
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Introduisons
g |
g . a . a' = g . b . b' a . a' = b . b' |
6 x 7 x 5 = 6 x 5 x 7 7 x 5 = 5 x 7 |
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a et b premiers entre eux. et a' et b' premiers entre eux. |
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Conséquence (Voir
ci-dessous) |
a = b' b = a' |
7 = 7 5 = 5 |
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Expression
de chacun avec g et m |
A = g . a = g . m/B B = g . b = g . m/A A . B = g² . m² / A . B A . B = g . m |
A = 6 x 7 = 6 x 210 /30 B = 6 x 5 = 6 x 210 /42 1260 = 36 x 44 100 / 1260 42 x 30 = 6 x 210 |
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Complément
sur a . a'
= b . b' |
On a |
a . a' = b . b' |
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Alors |
a divise
b.b' |
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On note |
a |
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Or |
a et b premiers entre eux |
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C'est
que |
a b' = a . q1 |
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De même |
a' = b . q2 |
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Formule
initiale |
a . a' = b . b' a . b . q2 = b .
a . q1 |
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Conclusion |
q1 = q2 |
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Notons
que |
q1 et q2 divisent a' et b' |
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Or |
a' et b' premiers entre eux |
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C'est
que |
q1 = q2 = 1 |
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et,
finalement |
b' = a . q1 = a a' = b . q2 = b |
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Deux nombres
naturels |
a, b |
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Quels sont
les facteurs premiers de a et b si le ppcm est égal
au carré du pgcd? |
PPCM(a,b) = PGCD²(a,b) |
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Or, on sait
que |
PPCM(a, b) x PGCD(a, b) = a.b |
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Notre
égalité devient |
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On déduit |
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Seule
possibilité (ou l'inverse) L'un est le carré de l'autre. |
a = k
et b = k² |
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Exemples |
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Par exemple: 60 est divisible
par 1,2, 3, 4, 5 et 6.
PPCM (1,
2, 3, 4, 5, 6 ) = 60 Liste des premiers
nombres PPCM Chaque nombre est accompagné de ses facteurs premiers. Exemple: 60 = 2² x 3 x 5
Ne pas confondre ces nombres, les superprimorielles, avec les nombres factoriels. |
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Jeu: quels sont les pannumériques divisibles jusqu'à n? Il s'agit des multiples des nombres
PPCM (ligne bleue), composés des dix chiffres non répétés.
Explications: Le nombre 1 274 953 680, pannumérique multiple de 720 720 est divisible par
tous les nombres de 1 à 16. Seuls les quatre nombres
en jaune sont divisibles jusqu'à 18.
Tous les quatre sont multiples de 12 252 240. Aucun pannumérique n'est divisible par
des nombres de 1 à plus de 18, même en doublant chaque chiffre. |
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Voir Pannumériques
divisibles par k de 2 à 18 – Explications
Pannumériques
divisibles par 11 – Combien ?
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Suite |
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Autour |
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Voir |
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Site |
(or LCM) of {1, 2, ..., n} for n >= 1,
a(0) = 1. |
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