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PPCM Plus Petit Commun Multiple
Une suite de nombre A, B,
C, … Quel est le nombre qui est
un multiple de chacun d'eux? Ex: 2, 5 et
7 2,
5 et 10
Le PPCM des nombres de 1 à n
est appelé Super-primorielle
de N. |
Anglais: Least Common Multiple – LCM
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Exemples Dans les deux premiers cas, le PPCM est simplement le
produit des deux nombres. On dit que ces nombres sont premiers
entre eux. Dans les deux derniers, certains facteurs sont communs
(en bleu); le PPCM est plus petit que le produit des nombres. Notez
que
les
nombres en bleu constituent le PGCD. |
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PPCM
de tous les nombres successifs entre n et m valant de 2 à 20
Liste des PPCM des nombres de 1 à n (Première ligne du tableau
ci-dessus)
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1,
1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360,
360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560,
232792560, 5354228880, 5354228880, 26771144400, 26771144400, 80313433200,
80313433200, … |
Devinette
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Quatre
phares émettent selon des cycles de 6, 14, 15 et 35 secondes. Combien de
temps faut-il pour qu'ils se retrouvent tous en phase? Il
est nécessaire que chacun ait émis un nombre entier d'impulsions. C'est donc
le plus petit commun multiple de ces quatre nombres. PPCM
(6, 14, 15, 35) = 210 Contributions:
2x3 puis 7 puis 5 puis rien => 210 Un
cycle comporte alors 35 impulsions de 6s, 15 impulsions de 14s, 14 impulsions
de 15s et 6 impulsions de 35s. Ces quatre produits sont effectivement égaux:
6x35 = 14x15 = 15x14 = 35x6 = 210. |
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On note: g = PGCD et m = PPCM. A
et B
sont deux entiers positifs. Le produit des
nombres est égal au produit de PGCD par PPCM. Voir démonstration Attention: ça ne marche
pas avec trois nombres. Mais si abc= g.m
c'est que les trois nombres sont premiers entre
eux deux à deux: pgcd(a,b) = pgcd(b,c) = pgcd(c,a) = 1. La formule pour trois nombres
g = PGCD Intersection des parties communes. m = PPCM Union des
parties différentes.
On note bien: A . B = g . m = 42 x 30 = 6 x 210 = 1 260 Relations avec la
division
Illustration
Trois possibilités de
calcul du PPCM (m)
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Table
des PPCM des nombres A et B jusqu' à 10. En jaune, les
nombres de la table de multiplication.
PPCM (A, B) = PPCM (B, A) La
table de multiplication sous forme A . B = g . m
Ex:
6 x 4 = 2 x 12 Cette table vous
permet de retrouver A et B connaissant g et m. Ex:
g = 3 et m = 18 Curiosité avec 999
PPCM en puissances de 10
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Formule |
Exemple |
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g =
PGCD |
A = g . a B = g . b |
42
= 6 x 7 30
= 6 x 5 |
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Propriété du PGCD |
a et b premiers entre eux. |
7
et 5 sont premiers entre eux. |
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g = A/a = B/b A . b = B . a |
6 = 42 / 7 = 30 / 5 42 x 5 = 30 x 7 |
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m =
PPCM |
m = A . a' m = B . b' |
210
= 42 x 5 210
= 30 x 7 |
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a' et b' premiers entre eux. sinon
on poursuit en divisant par le diviseur commun. |
5
et 7 sont premiers entre eux. |
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A . a' = B . b' |
42
x 5 = 30 x 7 |
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Introduisons g |
g . a . a' = g . b . b' a . a' = b . b' |
6 x 7 x 5 = 6 x 5 x 7 7
x 5 = 5 x 7 |
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a et b premiers entre eux. et a' et b' premiers entre eux. |
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Conséquence (Voir ci-dessous) |
a = b' b = a' |
7
= 7 5
= 5 |
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Expression de chacun avec g et m |
A = g . a = g . m/B B = g . b = g . m/A A . B = g² . m² / A . B A . B = g . m |
A = 6 x 7 = 6 x 210 /30 B = 6 x 5 = 6 x 210 /42 1260 = 36 x 44 100 / 1260 42 x 30 = 6 x 210 |
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Complément sur a . a' = b . b' |
On a |
a . a' = b . b' |
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Alors |
a divise b.b' |
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On note |
a |
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Or |
a
et b premiers entre eux |
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C'est que |
a
b' = a . q1 |
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De même |
a'
= b . q2 |
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Formule initiale |
a . a' = b . b' a . b . q2 = b . a .
q1 |
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Conclusion |
q1
= q2 |
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Notons que |
q1
et q2 divisent a' et b' |
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Or |
a'
et b' premiers entre eux |
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C'est que |
q1
= q2 = 1 |
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et, finalement |
b' = a . q1 = a a' = b . q2 = b |
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Deux
nombres naturels |
a, b |
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Quels
sont les facteurs premiers de a et b si le ppcm est égal au carré du pgcd? |
PPCM(a,b)
= PGCD²(a,b) |
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Or, on
sait que |
PPCM(a,
b) x PGCD(a, b) = a.b |
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Notre égalité
devient |
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On déduit |
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Seule
possibilité (ou l'inverse) L'un est
le carré de l'autre. |
a = k
et b = k² |
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Exemples |
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Par exemple: 60 est
divisible par 1,2, 3, 4, 5 et 6.
PPCM (1, 2, 3, 4,
5, 6 ) = 60 Liste
des premiers nombres PPCM Chaque nombre est accompagné de ses facteurs premiers. Exemple: 60 = 2² x 3 x 5
Ne pas confondre ces nombres, les superprimorielles,
avec les nombres factoriels. |
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Jeu:
quels sont les pannumériques divisibles jusqu'à n? Il s'agit des multiples des nombres PPCM (ligne bleue),
composés des dix chiffres non répétés.
Explications: Le nombre 1 274 953 680, pannumérique multiple de 720 720 est
divisible par tous les nombres de 1 à 16. Seuls les quatre
nombres en jaune sont divisibles jusqu'à 18. Tous les quatre sont multiples de 12 252
240. Aucun pannumérique n'est divisible par des
nombres de 1 à plus de 18, même en doublant chaque chiffre. |
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Voir Pannumériques divisibles par
k de 2 à 18 – Explications
Pannumériques divisibles par
11 – Combien ?
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Suite |
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Autour |
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Voir |
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Site |
(or LCM) of {1, 2, ..., n}
for n >= 1, a(0) = 1. |
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