NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Index divisibilité

Divisibilité par 5

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité par 5 ou par 10

>>> Progression arithmétique

>>> Somme de cinq nombres divisible par 5

>>> Forme polynomiale en 11

>>> Forme polynomiale en 2 et 3

>>> Divisible par 15

 

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 5

 

Critères de divisibilité et formes polynomiales divisibles par 5.

 

 

 

 

Divisibilité par 5 et 10

 

Divisibilité

par 10


Il suffit que le nombre soit terminé par au moins un 0.

 

Ex:

1 230 = 123 x 10

12 300 = 123 x 100 = 1 230 x 10

1000 = 10 x 100

10k = 10 x 10k-1

 

 

Divisibilité

par 5

 

Il suffit que le nombre soit terminé par au moins un 0 ou un 5.

 

Ex:

12 345 = 5 x 2 469

123 450 = 5 x 24 690

123 455 = 5 x 24 691

 

Calcul:

 

 

Propriété

Si n est à 0 ou 5 mod 10 alors n est divisible par 5 >>>

 

 

Progression arithmétique

 

La somme de cinq nombres en progression arithmétique est divisible par 5.

 

La somme de cinq nombres consécutifs est divisible par 5 (cas où k = 1).

 

 

Les cinq nombres:

n, n + k,  n + 2k, n + 3k, n + 4k

Leur somme:

5n  + k + 2 k + 3k + 4 k

= 5n + k (1 + 2 + 3 + 4)

= 5n +10k

Qui est divisible par 5.

 

 

 

Somme de cinq

 

Avec 17 nombres choisis au hasard,  il en existe toujours  cinq dont la somme est divisible par 5.

 

 

*    Pour être divisible par 5, la somme doit être égale à 0 modulo 5.

*      Les cinq doivent avoir la même valeur modulo 5, ou

*      Les valeurs modulo 5 doivent s'ajouter pour donner 0 modulo 5

 

 

Première approche

 

Cinq nombres de même valeur modulo 5

*    Si cinq nombres ont même valeur modulo 5 (même reste dans la division par 5), leur somme (cinq fois la même valeur) est divisible par 5.

*    Il n'y a que très peu de chance pour que cinq nombres pris au hasard présentent cette propriété. Combien dois-je ajouter de nombres à ces cinq pour être sûr d'avoir une somme divisible par 5?

 

Quatre nombres de même valeur modulo 5

*    Avec quatre nombres de même valeur modulo 5, le cinquième devra aussi avoir cette valeur pour que la somme soit divisible par 5.

*    La probabilité d'obtenir un cinquième nombre divisible par 5 est fiable.

*    Quatre tels nombres est donc le cas critique.

 

Blocs de quatre nombres de même valeur modulo 5

*    Le cas supercritique serait que, chaque fois que nous prenons quatre nombres supplémentaires, ils soient de valeurs différentes modulo 5:

*      un bloc de quatre nombres de valeur 0 modulo 5,

*      un bloc de quatre nombres de valeur 1 modulo 5,

*      un bloc de quatre nombres de valeur 2 modulo 5,

*      un bloc de quatre nombres de valeur 3 modulo 5,

*    Avec quatre tels blocs de quatre, il est très probable qu'une somme divisible par 5 se dégage, mais ce n'est pas sûr. 

*    Un 17e nombre fera l'affaire, car:

*      soit il a une valeur modulo 5 qui existe déjà,

*      soit  sa valeur ajoutée à quatre autres à sélectionner donnera 0 modulo 5.

 

 

Seconde approche

 

Propriété

*    Nous avons raisonné sur le cas le plus critique sans compter que la plupart du temps des valeurs peuvent s'ajouter et donner 0 mod 5.

*    Une inspection des cas possibles montre que:

 

Parmi 9 nombres pris au hasard, il en existe toujours 5 dont la somme est divisible par 5.

 

Exemple

*    Voici dix nombres tirés au hasard puis ordonné selon la valeur du reste de la division par 5 (la valeur du modulo 5).

*    Nous pouvons y détecter plusieurs sommes de cinq nombres divisibles par 5. Deux exemples (S1 et S2) sont indiqués.

 

Recherche des configurations critiques

*    Le tableau ci-contre montre le principe de la recherche.  Chaque ligne donne les valeurs modulo 5. (Lire les mêmes nombres sur les lignes non répétées).

*    Les configurations critiques comportent deux fois quatre nombres dont les valeurs modulo 5 sont identiques. Le cas des valeurs 0 ne sont pas reportées car non critiques (Le 0 étant neutre, il faut moins de nombres pour obtenir la somme 5 ou 10 …).

*    Sur chaque ligne, on lit la somme cherchée en ajoutant les nombres des cases en jaune.

*    Dans tous les cas neuf nombres sont suffisants.

*    Vous pouvez- développer tous les autres cas, avec 3/3/3 par exemple.

*    Avec 17 nombres (première approche), vous êtes sûr d'obtenir la somme désirée, même beaucoup de somme, mais 8 nombres sont superflus. 

 

 

 

Voir Cas  de 2, 3 ou 4  nombres

 

 

Forme polynomiale en 11

 

Théorème

P(n) = 11n – 6 est divisible par 5 pour tout n entier.

 

Démonstration

*    Point de départ

n = 1

P(1) = 11 – 6 = 5

Divisible par 5.

*    Hypothèse

11k – 6

11k

= 5 m

= 5 m + 6

*    Démontrer que sous cette hypothèse

11k+1 – 6

= 5 m'

*    En fonction de 11k

 

= 11 x 11k – 6

*    Valeur supposée de 11k

 

= 11 x (5m + 6) – 6

*    Développement

 

= 11 x 5m + 66 – 6

*    Réarrangement et calcul

 

= 5 x 11m + 60

*    Factorisation

 

= 5 (11m + 12)

= 5 m'

*    Induction

Propritée vraie pour k = 1

Propriétée rai pour k + 1  si vraie pour k

Alors, toujours vraie.    

Voir Démonstration par induction

 

 

Forme polynomiale en 3 et 2

 

Théorème

 

Démonstration

 

 

 

Divisible par 15

 

Le produit de cinq nombres impairs consécutifs est divisible par 15.

 

(n + 1) (n + 3) (n + 5) (n + 7) (n + 9) = 5K pour n pair

Parmi ces cinq nombres, il y en a toujours un divisible par 5 du fait de la présence de cinq facteurs (impairs)

Parmi ces nombres, il y en a toujours au moins un divisible par 3, au pire il est unique est c'est celui du centre.

 

Exemples

1 x 3 x 5 x 7 x 9 = 945 = 15 x 63

3 x 5 x 7 x 9 x 11 = 10 395 = 15 x 693

5 x 7 x 9 x 11 x 13 = 45 045 = 15 x 3 003

Etc.

 

 

 

 

Suite

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