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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 01/05/2012 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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MODULO (congruence)

Une façon de compter qui s'intéresse aux restes.

Comme si on débitait une bille de bois en stères et que l'on s'intéressait uniquement aux chutes au-delà du mètre.

Exemple

C’est Gauss qui a inventé cette curieuse arithmétique, maintenant très utilisée en théorie des nombres.

Une opération juste est également juste dans son image modulo n.

MODULO ou arithmétique de l’horloge

Imaginons un monde où n’existeraient que les nombres de 1 à 12, comme sur une horloge.

Après 12, on retrouve 1, 2, 3 ... Le 12 se confond avec le 0

L’arithmétique serait particulière

On peut aussi bien dire qu'il est 14 h ou 2 h de l'après-midi.

14 modulo 12 est égal à 2.

Le signe signifie " congruence " :

1+ 3 est congru à 4
(c'est l'équivalent de "égal" dans ce monde des "modulo": 1 + 3 égal 4).

On peut aussi écrire :

7 + 7 = 2 (mod 12), lut 2 modulo 12

Évidemment le modulo n peut être quelconque.

Le résultat des opérations sera compris entre 0 et n – 1.

Dans le monde du modulo n, on peut effectuer l’addition, la soustraction et la multiplication comme d’habitude.

Si n est premier, on peut aussi diviser par tout nombre non nul. Le calcul du résultat est un peu plus complexe.

Exemples d'opérations en modulo 5

Addition		Soustraction
Normal	Modulo 5	Normal	Modulo 5
1 + 1 = 2 2 + 6 = 8 3 + 7 = 10	1 + 1 2 2 + 6 3 3 + 7 0	3 – 2 = 1 8 – 2 = 6 13 – 4 = 9	3 – 2 1 8 – 2 1 13 – 4 4
Le résultat de l'addition est juste également en modulo. Notez que 2 + 3 = 5 0 modulo 5.		La soustraction de pose pas de problème non plus. On note que –1 est équivalent à 4 en modulo 5.

Multiplication		Division
Normal	Modulo 5	Normal	Modulo 5
1 x 1 = 1 2 x 6 = 12 3 x 7 = 21	1 x 1 1 2 x 6 2 3 x 7 1	21 / 7 = 3 23 / 7 = 3,… +5 28 / 7 = 4 24 / 7 = 3,… +60 84 / 7 = 12	21 / 7 3 23 / 7 4 24 / 7 2
Pas plus complexe avec la multiplication		Ça se corse! Il faut trouver une division qui tombe juste, et cela, en ajoutant un multiple du modulo au dividende.

Suite	Modulo 9, 10, 11 Initiation au calcul Modulo des carrés et des cubes Modulo des cubes
Voir	Application à la factorisation Clé de divisibilité, une application de la théorie du modulo La division Nombres congruents Petit théorème de Fermat Résidus quadratiques
Aussi	Calcul mental – Index Clé de divisibilité Divisibilité par 11 Fractions et horloge Géométrie – Index Nombres Cycliques Nombres Rationnels Preuve – Glossaire Preuve par 9 Preuve par 9 – Débutant Théorie des nombres – Index
Diconombre	Nombre 105

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PREUVES ET MODULO – Cas du modulo 8

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