NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Arithmétique

 

 

Débutants

Opérations

MODULAIRE

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Introduction

Mod 9, 10, 11

Applications

Jeux

Théorie

Propriétés

Carrés

Calculs

Parité

7 ^ 7 ^ 7

Cubes

Sun Zi

1110 = 32 mod 71

 

Sommaire de cette page

>>> Je connais déjà depuis la maternelle

>>> Modulo ou arithmétique de l'horloge

>>> Enroulement

>>> Si on ne comptait que jusqu'à 5 …

 

 

  

 

 

MODULO (congruence)

  

*      Une façon de compter qui s'intéresse aux restes.

*      Comme si on débitait une bille de bois en stères et que l'on s'intéressait uniquement aux chutes au-delà du mètre.

 

Exemple

 

*      C’est Gauss qui a inventé cette curieuse arithmétique, maintenant très utilisée en théorie des nombres.

 

*      Une opération juste est également juste dans son image modulo n.

*      Pour dire qu'un nombre premier, divisé par 6, donne toujours un reste de 1 ou 5, on dit simplement: P est égal à 1 ou 5 modulo 6, noté:  

 

 

 

Je connais ce domaine sans le savoir

 

Quand à l'école primaire vous avez fait connaissance avec les nombres pairs et impairs vous faisiez du calcul modulo 2 sans en connaître le nom.

*    un nombre pair est un nombre égal 0 modulo 2: divisé par 2 son reste est nul.

*    un nombre impair est un nombre égal 1 modulo 2: divisé par 2 son reste est égal à 1.

Modulo est un mot qui signifie que l'on met en rang par 3, 4, … n …

En fait, une généralisation des nombres pairs et impairs.

 

8 est pair    et 8 = 0 mod 2

9 est impair et 9 = 1 mod 2

 

 

MODULO ou arithmétique de l’horloge

 

Imaginons un monde où n’existeraient que les nombres de 1 à 12, comme sur une horloge.

Après 12, on retrouve 1, 2, 3 ...
Le 12 se confond avec le 0

 

L’arithmétique serait particulière

  

 

On peut aussi bien dire qu'il est 14 h ou 2 h de l'après-midi.

 

14 modulo 12 est égal à 2.

Voir Horloge / Fractions sur l'horloge / Affichage de l'heure (algorithme)

 

 

 

*    Le signe  signifie " congruence " :

1+ 3 est congru à 4
(c'est l'équivalent de "égal" dans ce monde des "modulo": 1 + 3 égal 4).

*    On peut aussi écrire :

7 + 7 = 2 (mod 12), lu 2 modulo 12

 

*    Évidemment le modulo n peut être quelconque.

Le résultat des opérations sera compris entre 0 et n – 1. 

 

*    Dans le monde du modulo n, on peut effectuer l’addition, la soustraction et la multiplication comme d’habitude.

Si n est premier, on peut aussi diviser par tout nombre non nul. Le calcul du résultat est un peu plus complexe.

 

 

Modulo enroulé

 

Imaginez un vélodrome avec un anneau de 250 m de long. Ce cycliste sait qu'en dix minutes il fait toujours un peu plus de vingt tours, mais il veut comparer ses records. Tous les jours, lorsque le chrono marque 10 minutes, il note de combien il dépasse: 55 m puis 78 m et aujourd'hui, c'est 105 m. Il vient de battre son record!

 

Ce cycliste fait un calcul en modulo sans le savoir.

 

 

En trigonométrie, seul l'angle sur le cercle compte. Le nombre tours que pourrait faire cet angle ne nous intéresse pas. Il peut tourner cent fois, mille fois … on s'en fiche!

 

On dit que l'angle est connu à 2k près; on aurait pu dire: modulo 2.

 

 

Si on ne comptait que jusqu'à 5 …

 

*    Tous les nombres seraient rangés dans seulement cinq compartiments (cinq classes)

 

 

Exemples d'opérations en modulo 5


 

Voir Preuve par 9

  

     En pratique

Notez que toutes les calculettes scientifiques, dont celle de votre ordinateur, possèdent la touche Mod.

 

 

                                                                                                             

 

Suite

*       Modulo 9, 10, 11

*       Congruence – Théorie

*       Initiation au calcul

*       Modulo des carrés et des cubes

*       Cubes et somme de cubes modulo 9

*       Modulo des cubes

*       Algorithme du modulo 10 (de Luhn)

Voir

*       Application à la factorisation

*       Clé de divisibilité, une application de la théorie du modulo

*       La division

*       Nombres congruents

*       Petit théorème de Fermat

*       Résidus quadratiques

Aussi

*       Calcul mentalIndex

*       Clé de divisibilité

*       Divisibilité par 11

*       Fractions et horloge

*       GéométrieIndex

*       Nombres Cycliques

*       Nombres Rationnels

*       PreuveGlossaire

*       Preuve par 9

*       Preuve par 9 – Débutant

*       Théorie des nombresIndex

DicoNombre

*       Nombre 105

Cette page

*      Introduction à l'arithmétique modulaire
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Modulo.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Renvois de liens

MODULO 10

MODULO 9

MODULO 11

INTÉRÊT DU MODULO Démonstration de divisibilité

PREUVES ET MODULO – Cas du modulo 8

MODULO & FERMAT

DESSINS MODULO

JEUX  - Les œufs

JEUX  - La somme