NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Arithmétique

 

 

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MODULAIRE

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Introduction

Théorie

Propriétés

Formulaire

Applications

Calculs

Carrés

Cubes

Jeux

Sun Zi

Mod 9, 10, 11

Carrés et Cubes

Parité

7 ^ 7 ^ 7

Log modulaire

1110 = 32 mod 71

Terminale S

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité par 5

>>> Carré

>>> Exemple de lise en bouche

>>> Intérêt du modulo

>>> Preuves Et Modulo

>>> Modulo & Fermat

>>> Calcul multi-modulo

 

 

 

  

Arithmétique modulaire

Applications 

Intérêt de cette arithmétique basée sur les restes aux problèmes de divisibilité. Autres applications.

 

 

Divisibilité par 5 – Exemple simple

Démontrer que si n est égal à 0 ou 5 mod 10 alors n est divisible par 5.

On se souvient que, par exemple:
73
 3 mod 10 veut dire:

C'est une manière d'écrire la division euclidienne en ignorant le quotient (ici 7 = k).

73 = 10 x 7 + 3

73 = 10 x k + 3

 

n égal 0 mod 10 est un raccourci pour dire:

n égal 5 mod 10 est un raccourci pour dire:

n = 10k        = 5 x 2k

n = 10k + 5 = 5 (2k + 1)

Que l'on soit dans le premier cas ou le second:

n est divisible par 5

Voir Divisibilité par 5

 

 

Carré – Exemple simple

Soit , prouver:

Les exemples du tableau semblent confirmer la propriété: un carré divisé par 4 produit un reste nul ou unité; jamais 2 ou 3.

Un nombre comme 1234 = 308 x 4 + 2 ne peut pas être un carré. 1236 = 309 x 4 pourrait l'être, mais ne l'est pas. En revanche, 1296 = 324 x 4 est un bon candidat et 1296 = 36².

 

n

mod4

0

0

0

1

1

1

2

4

0

3

9

1

4

16

0

5

25

1

 

 

Cas des nombres pairs

Alors n = 2k, le carré est divisible par 4.

Cas des nombres impairs

Alors n = 2k+1, le carré est un multiple de 4 plus 1.

Voir Carrés divisés par 2 et par 4 / Somme de carrés

 

 

 

Exemple pour mise en bouche

*    Voici un exemple tout simple qui va servir dans des démonstrations plus compliquées.

*    Est-ce que l'expression E = 3s² + q² est divisible par 3, sachant que q ne l'est pas?

*    Non, cette expression n'est pas divisible.

*    D'ailleurs, c'eût été la même chose sans les carrés!

 

3s²  0 mod 3

3s² + q²  q² mod 3

  mod 3

3s² + q²  q² mod 3

 

3s  0 mod 3

3s + q  q mod 3

q   mod 3

3s + q  q mod 3

 

 

 

 

INTÉRÊT DU MODULO

Démonstration de divisibilité

*    Démontrer que

2047 = 211 – 1 est divisible par 23

*    Commençons avec

25 = 32

*    Avec modulo 23

25 = 32  9    mod 23

*    En élevant au carré

210           mod 23

       81        mod 23

       12        mod 23

*    En multipliant par 2

2 . 210  2 . 12 mod 23

     211  1       mod 23

*    Enfin, en retirant 1

211 – 1 1- 1   mod 23

*    Résultat final

211 – 1  0      mod 23

Nombre parfait ?

*    210 (211 - 1) n'est donc pas un nombre parfait.

*    Car le deuxième terme n'est pas premier.

Voir Formule d'Euclide

 

 

 

PREUVES ET MODULO – Cas du modulo 8

*    Pour tout nombre impair  x

x   {1 , 3 , 5 , 7}      mod 8

*    Son carré

 {1² , 3² , 5² , 7²}  mod 8

*    Calculons

 {1 , 9 , 25 , 49}  mod 8

     {1 , 1 , 1 , 1}      mod 8

*    Ah! surprise

 1 mod 8

           avec x impair

Conclusion

 

Le carré d'un nombre impair est

un multiple de 8 plus 1

 

Exemple : 13² = 169 = 21 x 8 + 1

 

 

 

 

 

MODULO & FERMAT

 

CARRÉ en MODULO 2

*       Un nombre x divisé par 2 donne soit 0 soit 1 comme reste.

*       Son carré donne les mêmes restes au carré.

*       Il se trouve que ce sont les mêmes valeurs.

*       D'où la propriété:

 

x² et x ont mêmes restes lorsqu'ils sont divisés par 2.

x garde sa parité

lorsqu'il est élevé au carré.

 

Cas 1

Cas 2

x

 0

 1

 0² = 0

 1² = 1

x2  x mod 2

 

 

 

Exemple

42  4   mod 2

16 = 2 x 6 + 4

 

CUBES en MODULO 3

*       Même type de commentaire.

 

x3 et x ont mêmes restes lorsqu'ils sont divisés par 3.

Cas 1

Cas 2

Cas 3

x

 -1

 0

 1

x3

 (-1)3 = -1

 03 = 0

 13 = 1

x3  x mod 3

 

Exemple

43  4   mod 3

64 = 2 x 30 + 4

 

 

Puissance 4 en MODULO 4

*     Même type de commentaire.

 

x4 et x n'ont pas mêmes restes lorsqu'ils sont divisés par 4.

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Cas 4

x

x

 -1

 0

 1

x4

x4

 (-1)4

= 1

 04

= 0

 14

= 1

x4 n'est pas x mod 4

 

Puissance 5 en MODULO 5

*       Même type de commentaire.

 

x5 et x ont mêmes restes lorsqu'ils sont divisés par 5.

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Cas 4

Cas 5

x

 -2

 -1

 0

 1

 2

x5

 (-2)5 = -2

 (-1)5 = -1

 05 = 0

 15 = 1

 25 = 2

x5  x mod 5

 

Exemple

45  4   mod 5

1 024 = 5 x 204 + 4

 

PUISSANCE p en MODULO p

*     On aura compris que le truc: ça ne marche qu'avec les nombres premiers. Et on aura en effet, comme l'a trouvé Fermat:

 

Petit théorème de Fermat

 

xp º x mod p

p étant un nombre premier.

 

Ou, autre formulation:

x p et x ont mêmes restes lorsqu'ils sont

divisés par p.

 

Voir Démonstration / Fermat

 

 

 

 

 

Calcul multi-modulo

 

*    Outils nécessaires

*  Nombres premiers entre eux (ou étrangers),

*  Petit théorème de Fermat (PTF): xp-1  1 mod p (x et p étrangers),

*  Propriété (règle) des multi-modulos.

 

*    Montrez que 35 divise toujours 36n – 26n.


 

Voir  Divisibilité

 

 

 

 

Suite

*       Modulo et jeux

*       Petit théorème de Fermat – Calculs

Voir

*       Clé de divisibilité,
une application de la théorie du modulo

*       La division

Aussi

*       Calcul mental

*       Clé de divisibilité

*       Divisibilité par 11

*       Géométrie

*       Nombres Cycliques

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*       Preuve par 9 Débutant

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Diconombre

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Référence de cette page

*      Arithmétique modulaire et ses applications
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/ModAppli.htm