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Édition du: 24/11/2021 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Itérations Division Rubriques	Itérations – Cycles
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	Division magique	De base en base	Powertrain

MULTIPLICATION ou DIVISION qui retourne Nombres tels que divisés par le chiffre de tête produit un quotient identique, le chiffre de tête passant en queue. Présentation avec la multiplication: 102 564 x 4 = 410 256.
	Sommaire de cette page >>> Approche – Division par 4 >>> Procédé – Division par 2 >>> Divisions par k de 2 à 9 >>> Programmation >>> Retournement avec diviseur quelconque >>> Retournement inverse	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Approche – Division par 4			haut
Division Soit le nombre 410 256 et sa division par 4. Le quotient reprend les mêmes chiffres avec une permutation circulaire plaçant le 4 de tête en queue.		Tête en queue
Observations En posant la division, on constate que les chiffres du quotient sont ceux qui sont abaissés lors de la division élémentaire suivante. Dit autrement et si nous ne connaissons pas ce nombre: On commence par poser le 4 au dividende (le nombre à diviser); Le quotient par 4 est 1. Ce 1 est accolé au reste (0) de la division. Ce qui donne 01. Puis, le même chiffre est remonté pour être accolé au chiffre du dividende qui devient 41. La division élémentaire suivante devient 01 / 4 = 0, reste 1. Le 0 est ajouté au dividende (410) et la division suivante est 10 / 4 = 2 reste 2; etc.	Division posée

http://villemin.gerard.free.fr/NombDico/N1000/N400000.htm#N410000

Procédé – Division par 2

haut

But

On se propose de trouver un nombre N commençant par 2 qui, divisé par 2 produit exactement les mêmes chiffres mais avec le 2 reporté en fin de nombre.

Procédé

Sur la ligne N, inscrire le 2.

Sur la ligne M, indiquer le quotient de 2 par 2, soit 1.

Le 1 est reporté sur la ligne N.

Répéter ces opérations en tenant compte des restes (R).

Arrêt lorsqu'on retrouve le chiffre initial en M.

Exemples

1 / 2 = 0 reste 1, le 0 est adjoint à N (=> 210); le reste est reporté en D sous la forme 10 (en rose)..

10 / 2 = 5, le 5 est adjoint à N (=> 2105).

5 / 2 = 2 reste 1, d’où le reste mentionnée en D sous la forme du 12. Etc.

Tableau de formation du nombre de gauche à droite

Bilan

=

Divisions par k de 2 à 9					haut
2	18	210526315789473684 105263157894736842	Avec 2, le nombre comporte 18 chiffres. Solution primitive unique.
		315789473684210526 157894736842105263	Il existe neuf solutions pour lesquelles le nombre transféré n'est pas le diviseur (ici 3 au lieu de 2). Ce sont: Primitive fois k/2 avec k de 1 à 9.
3	28	3103448275862068965517241379 1034482758620689655172413793
		2068965517241379310344827586 689655172413793103448275862		Avec chiffres différent du diviseur, toujours neuf solutions. Ici dans le rapport k / 3.
4	6	410256 102564	Voir solutions avec chiffres différents.
5	42	510204081632653061224489795918367346938775 102040816326530612244897959183673469387755
6	58	6101694915254237288135593220338983050847457627118644067796 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966
7	22	7101449275362318840579 1014492753623188405797
8	13	8101265822784 1012658227848
9	44	91011235955056179775280898876404494382022471 10112359550561797752808988764044943820224719

Programme		haut
	But Produire la liste ci-dessus. Commentaires Exploration avec n (ici uniquement 4). Initialisation des listes N et M. Boucle sans fin (ici limitée à 100). Calcul de q le quotient (iquo) et de la valeur de R, en fait la nouvelle valeur de n le nombre à diviser. Si ce nombre est égal à la valeur de départ k, arrêt de la recherche (break). Mise à jour des listes. En fin de traitement, calcul du nombre n en décimal à partir de la liste N. Impression: chiffre examiné, quantité de chiffres et nombre trouvé.

Voir Programmation – Index

Retournement avec diviseur quelconque				haut
But On se propose de trouver un nombre N commençant par C qui, divisé par K produit exactement les mêmes chiffres mais avec le C reporté en fin de nombre. Les neuf solutions sont en fait des multiples de la première. On retrouve la solution primitive avec k = 4. La première division est construite par le procédé décrit ci-dessus.	102564 / 4 = 25641 205128 / 4 = 51282 307692 / 4 = 76923 410256 / 4 = 102564	512820 / 4 = 128205 615384 / 4 = 153846 714285 / 5 = 142857	717948 / 4 = 179487 820512 / 4 = 205128 923076 / 4 = 230769
Création de cycle Le procédé produit parfois un cycle. sur le reste.	103448275862000… / 3 = 344827586206666,666…

Retournement inverse		haut
Même procédé que précédemment, mais cette fois, c'est le chiffre de queue qui passe en tête.	157 894 736 842 105 263 / 2 = 3157 894 736 842 105 26 857142 / 3 = 285714

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