NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Itérations

 

Débutants

Général

BOUCLES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Itération

 

 

Syracuse

Cycle  89

Carrés

Cubes

Cycle-cube et 153

Cycle SP

Racines numériques

Kaprekar

Cycle de Keith

Suite Q d'Hofstadter

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Sommaire de cette page

>>> Itération avec 4

>>> Autres départs   

>>> Départ de 1 à 20

>>> Bilan

>>> Tous vers le 1, HEUREUX

>>> Records

>>> Avec les cubes

>>> Nombres heureux croissants

>>> Anglais

>>> Programmation

 

 

 

 

Racine additive carrée

Suite en boucle avec des carrés

Nombres heureux

 

Le cycle dit de Syracuse est bien curieux. Voici un autre cycle étrange, finissant toujours sur les mêmes chiffres 1 ou 4. Avec les carrés, ce sont des boucles qui apparaissent.

*    Si la suite boucle le nombre est malheureux (sad number)

*    Si la séquence se termine avec le 1, le nombre est heureux (happy number).

 

Bons sujets pour des travaux de découverte des nombres avec des élèves.

Notez que sans l'élévation au carré des chiffres, on a la racine numérique des nombres.

Anglais: happy and sad numbers, sometimes called friendly numbers

 

 

Itération avec 4

 

*    Prenons le nombre 4 que nous portons au carré. 

*    Chaque chiffre de ce carré est élevé au carré. Leur somme est notre nouveau nombre.

*    Recommençons l'opération sans fin.
 

Merci à Amine

 

*    Cette itération tourne en boucle en revenant au nombre 4.

*    Viennent se brancher sur cette boucle tous les nombres permutés de cette boucle. Par exemple 61 est équivalent à 16 et donne 37.

 

Boucle et son voisinage

*    La boucle en 4 est dans le rectangle jaune. à chaque nombre de la boucle est associé le (ou les) nombres(s) obtenu(s) par permutation des chiffres. On peut aussi y inclure des "0" à volonté.

*    Les nombres en bleu sont des exemples qui conduisent aux nombres dans la boucle.

 

 

Remarque

En prenant la somme des chiffres, et non pas celle de leur carré, nous aurions la racine numérique du nombre qui prend les valeurs de 0 à 9.

Voir Racine numérique / Preuve par neuf / Divisibilité par 3

 

 

Autres départs

 

*    Avec 123, l'itération atterrit au milieu de la boucle en 4 avec le nombre 89.


 

*    Avec 13, l'itération aboutit à 1 et y reste. 1² + 3² = 10 et 1² = 1.

 

 

 

Départ de 1 à 20

 

*    En tête de colonne le nombre de départ.

*    En rose les nombres appartenant à la boucle en 4 ou égaux à 1.

*    En jaune, les nombres déjà rencontrés dans les colonnes précédentes.

 

La même liste complète pour chaque nombre

Nombre, [somme des carrés des chiffres], quantité d'itérations

1, [1], 1

2, [4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 9

3, [9, 81, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 11

4, [16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 8

5, [25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 8

6, [36, 45, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 13

7, [49, 97, 130, 10, 1], 5

8, [64, 52, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 9

9, [81, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 10

10, [1], 1

11, [2], 1

12, [5, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 9

13, [10, 1], 2

14, [17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 10

15, [26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 10

16, [37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 7

17, [50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 9

18, [65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 9

19, [82, 68, 100, 1], 4

20, [4], 1

En ocre, les itérations qui se terminent par 1.

 

 

Bilan

La somme itérée des carrés des chiffres des nombres conduit

*    soit vers une boucle comprenant le nombre 4,

*    soit vers le 1 dont le carré vaut 1.

 

 

Tous vers le 1 – Nombres heureux

 

*    Une manière de montrer les nombres qui aboutissent à 1:

 

*    Les cases colorées sont tous les cas possibles à deux chiffres (en jaune la queue). Ils sont donc 20 inférieurs à 100. Le seul nombre lui-même carré est le nombre 49.

*    Les nombres en bleu sont des exemples à plus de deux chiffres (pas tous!).

 

Liste

1,   7,   10,   13,   19,   23,   28,   31,   32,   44,   49,   68,   70,   79,   82,   86,   91,   94,   97,   100,   103,   109,   129,   130,   133,   139,   167,   176,   188,   190,    192,   193,   203,   208,   219,   226,   230,   236,   239,   262,   263,   280,    291,   293,   301,   302,   310,   313,   319,   320,   326,   329,   331,   338,   356,   362,   365,   367,   368,   376,   379,   383,   386,   391,   392,   397,   404,   409,   440,   446,   464,   469,   478,   487,   490,   496,   536,   556,   563,   565,   566,   608,   617,   622,   623,   632,   635,   637,   638,   644,   649,   653,   655,   656,   665,   671,   673,   680,   683,   694,   700,   709,   716,   736,   739,   748,   761,   763,   784,   790,   793,   802,   806,   818,   820,   833,   836,   847,   860,   863,   874,   881,   888,   899,   901,   904,   907,   910,   912,   913,   921,   923,   931,   932,   937,   940,   946,   964,   970,   973,   989,   998,   1000,   1003,   1009, …

 

 

 

 

Records

 

Nombres atteignant une quantité d'itérations supérieures à celles trouvées jusqu'à là.

        1, [1], 1

        2, [4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 9

        3, [9, 81, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 11

        6, [36, 45, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 13

      88, [128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 14

    269, [121, 6, 36, 45, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 15

15999, [269, 121, 6, 36, 45, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 16

 

Aucun autre jusqu'à 1 million. Soit un record de 16 itérations pour 15 999.

 

Le plus grand avec chiffres non répétés: 986 543 210 (pannumérique)

 

 

Et les cubes?

En partant de 12 (exemple), formation d'une boucle avec 153, un nombre narcissique.

En partant de 2 et en sept itérations, ça boucle sur 371, un autre narcissique.

 

Les 71 nombres heureux croissants

 

Chaque nombre et ses permutations sont des nombres heureux.

On indique le plus petit et le plus grand.

 

[1, 1], [13, 31], [23, 32], [236, 632], [356, 653], [12456, 65421], [3456, 6543], [123456, 654321], [7, 7], [1247, 7421], [12347, 74321], [1257, 7521], [1457, 7541], [2457, 7542], [13457, 75431], [23457, 75432], [167, 761], [367, 763], [24567, 76542], [234567, 765432], [28, 82], [12348, 84321], [1258, 8521], [12358, 85321], [2458, 8542], [68, 86], [368, 863], [23468, 86432], [123468, 864321], [2568, 8652], [12568, 86521], [123568, 865321], [478, 874], [1478, 8741], [2478, 8742], [13478, 87431], [1578, 8751], [234578, 875432], [1235678, 8765321], [45678, 87654], [2345678, 8765432], [19, 91], [129, 921], [139, 931], [239, 932], [49, 94], [2369, 9632], [469, 964], [34569, 96543], [79, 97], [379, 973], [124579, 975421], [1679, 9761], [13679, 97631], [134679, 976431], [15679, 97651], [145679, 976541], [24589, 98542], [3689, 9863], [235689, 986532], [245689, 986542], [12345689, 98654321], [3789, 9873], [123789, 987321], [34789, 98743], [5789, 9875], [145789, 987541], [245789, 987542], [6789, 9876], [36789, 98763], [3456789, 9876543]

 

Les plus grands nombres heureux croissants à k chiffres.

7, 97, 973, 9 876, 98 763, 987 542, 9 876 543, 98 654 321

Aucun n'est pannumérique (tous les chiffres une fois).

 

Le plus grand dans l'ordre croissant: 12 345 689

 

Voir Nombre 12 345 689 / Nombre 98 654 321

 

English corner

 

A number is said to be happy, for on finding the sum of the squares of its digits, and then the sum of the squares of the digits of that sum, and so on, the process ends in 1.

Numbers which do not end in 1 after the process are said to be sad.

 

Voir Anglais

 

 

Programmation (Maple)

102, [5, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 9

104, [17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 10

105, [26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 10

106, [37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 7

107, [50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4], 9

108, [65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4], 9

 

Commentaires

Un premier sous-programme (procédure ou fonction) calcule la somme des carrés des chiffres d'un nombre n.

Le nombre est converti en base 10 pour disposer des chiffres dans la liste N.

On ajoute le carré de chacun, du premier au dernier (nops(N)). La somme est disponible comme résultat de ce programme.

 

Le programme principal exécute une boucle de recherche sur les nombres de 100 à 110 par exemple.

Le premier résultat du calcul de la somme des carrés des chiffres (PAC) est placé dans la liste L. Un compteur témoigne de ce résultat (kt mis à 1).

Tant que l'itération ne donne ni 4 ni 1, on poursuit le travail.

Calcul de la nouvelle somme, incrémentation du compteur d'itérations et mise en liste de ce résultat.

Prudent, on évite une recherche qui dépasserait les 100 itérations (break).

 

Ici, on demande (par exemple) de ne sortir que les nombres avec plus de 5 itérations.

 

Variante de la procédure

 

Commentaires

Dans la déclaration de procédure, pour faire propre, on prend la précaution de dire que n est positif. Un nombre négatif induira le message "invalid".

Le calcul est basé sur la puissance de l'instruction irem: elle calcule le reste de la division de m par 10, lequel est ajouté à la somme s déjà calculée.

Cette instruction produit également le quotient en troisième paramètre ('m'), lequel devient la nouvelle valeur de m pour la prochaine itération.  

 

 

Calcul direct (programmation avancée)

Pour info

Voir les autres tels opérateurs

 

Commentaires

add: addition des nombres qui suivent.

 

op produit la suite des nombres à partit d'une liste.

 

convert n en base 10: transforme n en une liste de chiffres.

 

^~2 est un "element-wise Operators" qui est utilisé pour effectuer une opération sur tous les éléments qui précédent, ici le carré.

 

Recherche des nombres Heureux

 

But

Exploiter le programme de calcul direct pour établit la liste des nombres heureux et les tristes

 

Procédure Hx

Élimination d'entrée des cas n = 1 ou 4.

Calcul de la première somme, puis boucle pour la suite tant que la somme n'est ni 1 ni 4.

En sortie, évaluation binaire  de s: true or false.

 

Programme principal

Instruction selectremove qui trie les Hx true et les Hx false sur la suite des nombres de 1 à 20.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

Suite

*    Cycle narcissique avec des cubes

*    Voir haut de page

Voir

*    Calcul mentalIndex

*    Carrés (Nombres)

*    GéométrieIndex

*    GéométrieIndex

*    Impasse de Kaprekar 

*    JeuxIndex

*    Nombre Harshad

*    Récurrence

*    Nombres portés à une puissance, somme de leurs chiffres. 

*    Théorie des nombres

DicoNombre

*    Nombre 4

Sites

*    Nombres heureux – Wikipédia

*    Nombres heureux – Récréomath 

*    Happy numbers – Walter Schneider

*    Happy numbers – Wolfram MathWorld

*    OEIS A007770 – Happy numbers: numbers whose trajectory under iteration of sum of squares of digits map

*    Happy numbers – Table

*    Happy numbers – GeeksforGeeks – Python, Java et autres

*    Happy numbers – Rosetta code Programmation dans tous les langages.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/CycleCar.htm