NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Syracuse – Débutant

 

Sommaire de cette page

>>> Cycle 3x + 1

>>> Hauteur et temps de vol

>>> Comportement de la conjecture

>>> Records

>>> Démonstration

>>> Historique

>>> Conjectures équivalentes

 

Syracuse – développement

Syracuse – Tables

Syracuse et nombre 27

Syracuse – Programmation

 

 

 

Le CYCLE 3x + 1

ou CONJECTURE de SYRACUSE

 

Il s'agit d'une séquence très simple d'opérations sur les nombres qui ramène toujours au même endroit. D'abord un amusement, cette étonnante propriété est devenue troublante pour les mathématiciens qui ne se lassent pas de l'explorer.

 

Parfois aussi appelé conjecture de Collatz ou suite de Collatz, du nom de celui qui l'a formulé pour la première fois en 1937.  Lothar Collatz (1910-1990), mathématicien allemand.

Voir Découverte Junior des cycles tels que celui de Syracuse / Conjectures

 

  

 

CYCLE

 

Approche

*    Il s'agit d'une itération sur un nombre de départ telle que

si le nombre est impair on le gonfle

s'il est pair on l'amorti

 

*    Au cours des itérations, le nombre va osciller en croissant et décroissant, parfois atteignant des hauteurs insoupçonnées, mais il finira toujours par se poser en finissant par la valeur 1. Incroyable!

 

Règle

 

5 se transforme en 3 x 5+ 1 = 16

     6 devient 6/2 = 3

 

Exemple départ avec 5

 

La procédure nous entraîne vers 1.

En poursuivant nous entrons dans une boucle avec le 4.

 

Exemple départ avec 13

 

Après quelques étapes, nous rencontrons le 5, objet de l'exemple précédent. Avec 13, la procédure conduit également vers le 1 et sa boucle en 4.

 

 

 

HAUTEUR ET TEMPS DE VOL

 

*    Départ: 5

*    Altitude ou hauteur du vol : 16

*    Durée du vol en altitude: 2

*    Durée du vol: 5

*    Fin de cycle: 1



 

 

 

 

 

 

 

 

Comportement de la série

 

Conjecture

 

Pour tout n, la fin de cycle est 1.

 

Pas encore démontrée, mais vérifiée jusqu'à n = 1016 .

 

 

Valeurs pour n de 10 à 30

 

*    Pour chaque nombre, la colonne donne la séquence complète qui s'arrête à 1.

*    En violet, les nouveautés. La suite vers le bas est déjà vue dans une séquence située à gauche.

 

 

 

Record de durée de vol pour n de 1 à 1 000 000

 

*    Par exemple, pour n = 18, la durée de vol (la quantité d'itérations) est égale à 20.
Résultat lisible aussi sur le tableau situé juste au-dessus en colonne 18.
Pour n = 27, c'est 111.
 

Voir Cas du nombre 27/ Suite en Tables

 

  

Démonstration

 

*    Il existe de nombreuses tentatives de démonstration de cette conjecture.

*    Par exemple, on a prouvé que:

 

 Il existe une constante C telle que, si n est assez grand, alors le nombre de valeurs inférieures à n qui atterrissent en 1 est supérieur à nC.

 

*    En partant de C = 0,05 en 1978,  on a atteint C = 0,81 en 1999.
Il faut aboutir à C = 1 pour démontrer la conjecture.

 

 

 

Historique

 

*    Origine diffuse: pas de correspondance ou de publication attestée.

*    Apparition vers les années 1950

*    On connaît ce sujet sous divers noms:

*       Problème 3N + 1, dénomination la plus courante; problème pouvant être remplacé par conjecture lorsqu'on signifie quelle se termine toujours par 1;

*       Problème de Collatz d'après Lothar Collatz qui pourrait en être à l'origine;

*       Problème de Kakutani;

*       Problème de Hasse;

*       Problème d'Ulam;

*       Problème de Syracuse du nom de l'université des États-Unis qui a étudié ce problème, suite à sa diffusion par un collègue de Collatz;

*       Suite de grêlons, nom parfois donné en littérature pour tous

*    De nombreux mathématiciens se sont cassés les dents sur un problème pourtant bien simple en apparence.

 

  

 

Conjectures équivalentes

 

*    Le vol se termine toujours par 1;

*    Tout nombre > 4 a une durée de vol en altitude finie;

*    La durée de tout vol est finie;

*    Tout vol a un nombre fini d'étapes paires;

*    Tout vol a un nombre fini d'étapes paires en altitude;

*    Tout vol a un nombre fini d'étapes impaires;

*    Tout vol a un nombre fini d'étapes impaires en altitude.
 

 

 

 

Retour

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Suite

*    Syracuse – Tables

*    Syracuse – Découverte junior

*    Fractales et cycles

*    Autres, voir en haut de page

Voir

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Diconombre

*    Nombre 9

*    Nombre 495

*    Nombre 6 174

*    Nombre 82 962 & 98 622

Livres

*      Dossier complet par Jean-Paul Delahaye - Pour la science - 247- mai 1998

*    Dites un chiffe – Malcom Lines – Champs Flammarion – 1999 – Ch.3

Site

*      L’arbre des suites de Syracuse et sa structure détaillée par Wilfrid P. – Découvrir cette suite sous une autre jour …

*      OEIS A006577 – Number of halving and tripling steps to reach 1 in '3x+1' problem

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Syracuse.htm