NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Procédé de Kaprekar

>>> Deux chiffres

>>> Implémentation sur tableur

>>> Trois chiffres

>>> Trois chiffres – Propriétés

>>> Preuve par 9

>>> Quatre chiffres

>>> Quatre chiffres – Arithmétique

>>> Cinq chiffres

>>> Bilan

>>> Programmation

>>> Procédé RATS (retourne et ajoute)

 

 

 

 

 

Algorithme, itération, procédé, opération ou

CYCLE de KAPREKAR

 

Deux sujets qui touchent à Kaprekar:

*    Nombres de Kaprekar:  Objet d'une page spéciale

 

*    Procédé de calcul cyclique qui finit toujours par le même résultat (impasse) ou par une boucle sans fin (cycle)
Algorithme souvent utilisé comme exercice de programmation sur Tableur ou logiciels: Maple, Scratch, Python ou encore Algobox …

 

Anglais: Kaprekar sequences and Kaprekar numbers / Kaprekar routine / Kaprekar function

 

Kaprekar

Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) est un mathématicien indien. Ses découvertes datent de 1949.

Il est aussi le découvreur des nombres Demlo, des auto-nombres et du procédé pour les tester.

 

Voir dans le DicoNombre: Nombre 495 &  Nombre 6174

 

 

Devinette  de Kaprekar

Trouvez la suite: 28, 38, 49, 62, 70, 77, 91, …

Solution

 

 

 

 

 

Procédé de Kaprekar

 

Procédé itératif qui consiste à ordonner les chiffres d'un nombre par ordre décroissant  (Max) et également par ordre croissant (Min) et à effectuer leur soustraction (D = Max – Min).

La différence (D) est soumise à nouveau à ce même procédé.

 

Exemple

Par ce procédé le nombre 14 devient 27, puis 45 puis 9 puis 0 et le procédé prend fin.

*      Le cycle de Kaprekar de 14 est: [14, 27, 45, 9, 0].

*      Le cycle de Kaprekar de 41 est le même.

*      La longueur du cycle est égale à 5.

*      Le nombre final est 0.

*      Observez que 14 devient 27 = 9(41); un multiple de 9.

 

Algorithme de Kaprekar réduit (AKR)

En boucle

Une manière de poursuivre le procédé de Kaprekar consiste à interpréter la soustraction de 54 – 45  comme 09 et non pas simplement 9.

 

Auquel cas, la soustraction devient 9009 et le cycle est relancé.

 

Tant et si bien qu'il finit par retomber sur le nombre 09. Ce qui constitue une boucle.

 

L'algorithme de Kaprekar est dit complet lorsqu'on conserve la quantité de chiffres en complétant avec les zéros nécessaire. Sinon il est réduit.

Algorithme de Kaprekar complet (AKC)

 

 

KAPREKAR à deux chiffres

 

Calcul de la différence

 

Un nombre à deux chiffres s'écrit: 10a + b

 

Comme 23 = 2 x 10 + 3
avec a = 2 (les dizaines) et
b = 3 (les unités).

 

Nombre max: 10a + b

a est plus grand que b.

On exclut les nombres de type aa qui donnent aa – aa = 0.

Nombre min: 10b +  a

Différence:  D =  10a + b – 10b – a = 9 (a – b)

Quels que soient a et b, les différences sont des multiples de 9.

Plages de variation: a peut prendre les valeurs de 1 à 9; et b de 0 à 9. 

Valeurs de D: { 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81}

 

 

Différences de Kaprekar

 

Pour tout nombre (tableau du haut), la différence de Kaprekar est l'un des cinq nombres du bas (bleus).

 et la suite boucle sur ces cinq nombres ou leur permutation.

 

Ex: 51 => 51 – 15 = 36 => 63

      

Seuls les nombres avec a > b sont dans le tableau. Sinon prendre le nombre permuté.

 

Ex: 68 => 86 – 68 = 18 => 81

  

Boucle sur les multiples de 9.

 

Propriétés

 

 

    Pour les nombres à deux chiffres non identiques (cad. hors repdigits):

           Le cycle de Kaprekar réduit se termine par 0.

           Le cycle de Kaprekar complet boucle dès la première itération sur {09, 81, 63, 27 et 45}.

 

 

Du fait de la construction, N = ab et M = ba suivent le même cycle (comme 14 et 41).

 

Longueur du cycle

En Kaprekar complet, la boucle est atteinte dès la première itération.

 

En Kaprekar réduit, le plus petit nombre avec le cycle le plus long est 13 avec une longueur égale à 7:  [13 => 18 =>  63 =>  27 =>  45 =>  9 =>  0]
Nombres avec cette période maximale 7:
[13, 20, 24, 31, 35, 42, 46, 53, 57, 64, 68, 75, 79, 86, 90, 97]

 

 

 

Implémentation sur tableur

Algorithme

1.    Choisir un nombre N;

2.    Former Max, le nombre avec les chiffres de N croissants;

3.    Former Min, le nombre avec les chiffres de N décroissants;

4.    Calculer la différence D = Max – Min;

5.    Si D est un nombre déjà trouvé, alors FIN, sinon N prend la valeur D et aller en 2.

 

Réalisation sur tableur

 

Explications

Le nombre 13, par exemple, est placé en B3 (exemple).

Extraction du chiffre des UNITÉS

=MOD(B3;10) qui calcule le reste de la division par 10 de 13.

 

Autre possibilité

=CNUM(STXT(B3;2;1)) qui détecte le deuxième caractère de 13 (en B3) et le convertit en nombre.

Extraction du chiffre des DIZAINES

=(B3-D3)/10 qui calcule 13 moins ses unités et divise par 10.

 

Autre possibilité

=CNUM(STXT(B3;1;1)) qui détecte le premier caractère de 13 (en B3) et le convertit en nombre.

Grand

=GRANDE.VALEUR(C3:D3;1) qui choisit le plus grand chiffre parmi les dizaines et les unités.

Petit

=GRANDE.VALEUR(C3:D3;2) qui choisit le deuxième plus grand; donc ici le plus petit.

Max

=E3*10+F3 qui calcule la valeur du plus grand nombre.

Min

=F3*10+E3 qui calcule la valeur du plus petit nombre.

D

=G3-H3  qui calcule la différence Max – Min

Fin

=NB.SI(I$3:I3;9) qui compte combien de fois le nombre trouvé (D) se trouve dans ceux déjà trouvé. Cet indicateur servira de critère de fin.

Nouvelle ligne, en B4

=SI(J3=2;"FIN";SI(I3=9;90;I3))  Double condition:

1) si l'indicateur FIN vaut 2, inscrire FIN dans cette cellule, sinon

2) y placer la valeur trouvée pour D, sauf si cette valeur vaut 9, alors elle est remplacée par 90.

 

 

 

KAPREKAR à trois chiffres

 

Explications

Soit un nombre (ici 321).

 

Ordonner les chiffres pour former le nombre le plus grand (321) et le nombre le plus petit (123).

Soustraire le plus petit du plus grand (198).

Recommencer le procédé tant que l'on peut.

 

Ici, le procédé s'arrête du fait que la différence reproduit les mêmes chiffres, ceux de 459.

 

On aurait le même résultat avec les nombres formés par la permutation des trois chiffres: 123, 132, 213, 231, 312 et 321.

 

Observations

 Nombre 321, cycle de longueur 6:

[321, 198, 792, 693, 594, 495]

 

Tous les nombres, sauf le premier sont des multiples de 9.

 

Avec 124, on a: 124, 297, 693, 594, 495.

Avec 125, on a : 125, 396, 594, 495.

Il semble que le procédé conduit toujours à 495.

Exemples avec les nombres 123 puis 456

 

 

KAPREKAR à trois chiffres – Propriétés 

 

 

   Pour les nombres à trois chiffres non identiques (cad. hors repdigits):

            Le cycle de Kaprekar complet se termine par 495; et
            Le cycle de Kaprekar réduit se termine par 495, sauf

                                                pour 51 nombres qui finissent en 99, 0.

 

 

Longueur du cycle complet

La longueur est nulle et avec un fin en 0 pour les repdigits comme 111. D'où l'exclusion de ces nombres à chiffres identiques.

La longueur maximale 7 est atteinte 51 fois et  dès le nombre 100.

 

 

Caractéristique des nombres à longueur max

Ce sont les nombres dont la différence est tout de suite égale à 99; les nombres de longueur 2 en Kaprekar réduit. Le passage en cycle complet les prolonge de 5 itérations.

Comment atteindre 99 dès le premier calcul? reprenons le calcul:
Max = 100a + 10b + c

Min = 100c + 10b + a

avec  (cf. nombre max).

 

D = Max – Min = 99a – 99c = 99(a – c) 

D = 99, ce que l'on cherche.

 

Rapprochement:

a – c = 1    et    b = a ou c (cf. inégalité).
=> Deux chiffres identiques et l'autre plus ou moins 1.

 

Les nombres de trois chiffres qui produisent une différence de Kaprekar égale à 99 comportent deux chiffres identiques et le troisième est leur voisin.

 

Liste des 51 nombres avec différence de Kaprekar en 99

100, 101, 110, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 223, 232, 233, 322, 323, 332, 334, 343, 344, 433, 434, 443, 445, 454, 455, 544, 545, 554, 556, 565, 566, 655, 656, 665, 667, 676, 677, 766, 767, 776, 778, 787, 788, 877, 878, 887, 889, 898, 899, 988, 989, 998.

 

 

Exemple de cycles de Kaprekar

[100, 990, 891, 792, 693, 594, 495]

[101, 990, 891, 792, 693, 594, 495]

[102, 198, 792, 693, 594, 495]

[103, 297, 693, 594, 495]

[104, 396, 594, 495]

[105, 495]

[106, 594, 495]

[107, 693, 594, 495]

[108, 792, 693, 594, 495]

[109, 891, 792, 693, 594, 495]

[110, 990, 891, 792, 693, 594, 495]

[111, 0]

[112, 990, 891, 792, 693, 594, 495]

[113, 198, 792, 693, 594, 495]

[114, 297, 693, 594, 495]

[115, 396, 594, 495]

[116, 495]

[990, 891, 792, 693, 594, 495]

[991, 792, 693, 594, 495]

[992, 693, 594, 495]

[993, 594, 495]

[994, 495]

[995, 396, 594, 495]

[996, 297, 693, 594, 495]

[997, 198, 792, 693, 594, 495]

[998, 990, 891, 792, 693, 594, 495]

[999, 0]

 

Voir Nombre 99

 

 Preuve par neuf

La preuve par neuf nous apprend que la somme des chiffres témoigne de la divisibilité d'un nombre par neuf: elle indique quel est le reste de la division par neuf.

Cette somme de chiffres ne dépend pas de l'ordre des chiffres. Autrement-dit, tous les nombres qui ont la même somme de chiffres, étant divisés par 9, ont le même reste (R).

Soustraire deux tels nombres donne un nombre dont le reste de la division par 9 est nul (R – R = 0). Par exemple, le nombre 495 est divisible par 9 car 4 + 9 + 5 => 4 + 5 => 9 => 0

 

Toutes les différences Kaprekar sont divisibles par 9.

Dès la première itération, on "joue" dans le monde des multiples de 9.

Voir Formes permutées

 

  

KAPREKAR à quatre chiffres

 

 

Nombre de Kaprekar

Avec quatre chiffres, le procédé conduit systématiquement au nombre 6 174.

Ce nombre est appelé le nombre de Kaprekar car ce mathématicien a inventé son algorithme avec quatre chiffres.

Attention, les nombres de Kaprekar sont aussi autre chose.

 

Longueur du cycle complet

Maximum 8 (7 itérations) pour 1004 et pour 1980 nombres.

 

Il y a 68 nombres dont le cycle réduit est en N, 999, 0. Ce sont les nombres ayant trois chiffres identiques et l'autre, un voisin.

 

Liste de ces 68 nombres

1000, 1011, 1101, 1110,  1112, 1121, 1211, 1222, 2111, 2122, 2212, 2221,  2223, 2232, 2322, 2333, 3222, 3233, 3323, 3332,  3334, 3343, 3433, 3444, 4333, 4344, 4434, 4443,  4445, 4454, 4544, 4555, 5444, 5455, 5545, 5554, 5556, 5565, 5655, 5666, 6555, 6566, 6656, 6665, 6667, 6676, 6766, 6777, 7666, 7677, 7767, 7776, 7778, 7787, 7877, 7888, 8777, 8788, 8878, 8887, 8889, 8898, 8988, 8999, 9888, 9899, 9989, 9998.

 

 

 

 

Exemple de cycles

[1000, 9990, 8991, 8082, 8532, 6174]

[1001, 1089, 9621, 8352, 6174]

[1002, 2088, 8532, 6174]

[1003, 3087, 8352, 6174]

[1004, 4086, 8172, 7443, 3996, 6264, 4176, 6174]

[1005, 5085, 7992, 7173, 6354, 3087, 8352, 6174]

[1006, 6084, 8172, 7443, 3996, 6264, 4176, 6174]

[1007, 7083, 8352, 6174]

[1008, 8082, 8532, 6174]

[1009, 9081, 9621, 8352, 6174]

[1010, 1089, 9621, 8352, 6174]

[1011, 9990, 8991, 8082, 8532, 6174]

[1012, 1998, 8082, 8532, 6174]

[1013, 2997, 7173, 6354, 3087, 8352, 6174]

[1014, 3996, 6264, 4176, 6174]

[1015, 4995, 5355, 1998, 8082, 8532, 6174]

[9990, 8991, 8082, 8532, 6174]

[9991, 7992, 7173, 6354, 3087, 8352, 6174]

[9992, 6993, 6264, 4176, 6174]

[9993, 5994, 5355, 1998, 8082, 8532, 6174]

[9994, 4995, 5355, 1998, 8082, 8532, 6174]

[9995, 3996, 6264, 4176, 6174]

[9996, 2997, 7173, 6354, 3087, 8352, 6174]

[9997, 1998, 8082, 8532, 6174]

[9998, 990, 891, 792, 693, 594, 495]

[9999, 0]

 

 

 

Kaprekar à 4 chiffres – Arithmétique

 

But

Montrer que dès la première opération, non seulement les nombres sont divisibles par 9, mais seuls 30 d'entre eux sont impliqués.

Comment trouver ces nombres et leur successeurs jusqu'au nombre de Kaprekar: 6 174 ?

 

Calcul de la différence

Nombre max: 1000a + 100b + 10c + d (a étant le plus grand chiffre)

Nombre min: 1000d + 100c + 10b + a

Différence:  D =   999 (a – d) + 90 (b – c)

Inégalité:  avec pas les mêmes quatre chiffres => a>1

Inégalité induite: 

Plages: a – c varie de 1 à 9 et b – c de 0 à 9.

On dresse le tableau des possibilités pour D selon les valeurs de ces différences:

 

Table des valeurs possible selon la formule trouvée (reportée en jaune)

 

Seules les valeurs satisfaisant les inégalités sont conservées

 

 

 

La valeur suivante selon le procédé de Kaprekar est calculée

 

Le graphe montre l'enchainement des valeurs et leurs successeurs trouvés ci-dessus

 

 

 

Graphe des 30 valeurs de Kaprekar pour les nombres à quatre chiffres =>

 

 

Procédé ou Cycle de KAPREKAR

– Nombres à cinq chiffres

 

En commençant avec le nombre 54 321, nous retrouvons le nombre 98 622 qui occasionne une boucle sans fin.

 

Exemples avec cinq chiffres

 

Voir Bilan ci-dessous

 

[10000, 99990, 89991, 80982, 95931, 85932, 74943, 62964, 71973, 83952, 74943]

[10001, 10989, 97911, 87912, 85932, 74943, 62964, 71973, 83952, 74943]

[10002, 20988, 95931, 85932, 74943, 62964, 71973, 83952, 7494]

[10003, 30987, 94941, 84942, 73953, 63954, 61974, 82962, 75933, 63954]

[10004, 40986, 93951, 85932, 74943, 62964, 71973, 83952, 74943]

[10005, 50985, 92961, 86922, 75933, 63954, 61974, 82962, 75933]

[10006, 60984, 93951, 85932, 74943, 62964, 71973, 83952, 74943]

[10007, 70983, 94941, 84942, 73953, 63954, 61974, 82962, 75933, 63954]

[10008, 80982, 95931, 85932, 74943, 62964, 71973, 83952, 74943]

[10009, 90981, 97911, 87912, 85932, 74943, 62964, 71973, 83952, 74943]

[10010, 10989, 97911, 87912, 85932, 74943, 62964, 71973, 83952, 74943]

 

Formule

 

Différence = 99 { 101 (a – e) + 10(b – d) } ; indépendant de c.

Les différences pour les nombres à cinq chiffres sont divisibles par 99

Rappel: un nombre est divisible par 99 s'il l'est par 9 et par 11

Ex: 86 922 => 8+6+2+2= 18 => divisible par 9 et 8+9+2-6-2 = 11 divisible par 11.

 

 

 

Algorithme de KAPREKAR – Bilan: impasse ou boucle

 

2 chiffres

 

9 pour Kaprekar complet.

0 pour Kaprekar réduit.

0 dans les 9 cas de repdigits (qui sont exclus pour la suite).

3 chiffres

 

495 pour Kaprekar complet.

495 sauf 51 cas avec 0 pour Kaprekar réduit.

4 chiffres

6 174 pour Kaprekar complet.

6 174 sauf 68 cas avec 0 pour Kaprekar réduit.

5 chiffres

0 ou

l'un des trois cycles suivants:

{99 954 – 95 553}

{98 532 – 97 443 – 96 642 – 97 731}

{98 622 – 97 533 – 96 543 – 97 641}

6 chiffres

549 945, 631 764

{420 876 – 851 742 – 750 843 – 840 852 – 860 832 – 862 632 – 642 654}

7 chiffres

{7509843 – 9529641 – 8719722 – 8649432 – 7519743 – 8429652 – 7619733 – 8439552}

8 chiffres

63 317 664, 97 508 421

{43208766 – 85317642 – 75308643 – 84308652 – 86308632 – 86326632 – 64326654}, {63317664}, {64308654 – 83208762 – 86526432}, {97508421}

9 chiffres

554 999 445, 864 197 532

{??}

10 chiffres

6 333 176 664, 9 753 086 421, 9 975 084 201

{??}

 

Ces propriétés – impasse ou boucle – du procédé Kaprekar sont liées à notre système de numération en base 10.

 

Pour d'autres bases,  le phénomène de convergence en impasses ou en cycles est rare. Il marche, par exemple, pour les nombres à 4 chiffres en base 5, 10, 40, 160 et 640 et aucune autre inférieure à 1000

(Selon Mikio Kano, cité par François Le Lionnais ).

 

 

 

Curiosité – Cas des nombres pannumériques

Tout nombre pannumérique donne toujours le même max et le même min, donc, la même différence.

Or la différence est, elle-même, pannumérique.

Le cycle boucle sur une seule itération

 

 

KAPREKAR – Programmation

Cas de Kaprekar  réduit

Modification pour obtenir le cycle complet

Commentaires

Mise en place d'une procédure: une fonction kaprekar qui pourra être appelée en précisant le nombre n à analyser.

Tant que (while) le nouveau nombre (N) n'est pas égal à l'ancien (Nmem), on boucle.

On range N dans la liste L.

On extrait les chiffres de N dans M, en les triant (sort) du plus petit au plus grand.

On reconstruit les deux nombres maximum et minimum pour les soustraire en P.

On conserve la trace de N en Nmem et on donne la nouvelle valeur P à n pour relancer l boucle.

On retourne la liste L des nombres de Kaprekar trouvés.

 

Notez la présence d'un garde-fou au cas où la quantité d'itérations viendrait à dépasser mille tours. Utile pour les nombres à plus de quatre chiffres.

Pour plus de quatre chiffres, une amélioration serait nécessaire si on voulait stopper en cas de boucles.

 

Appel de la fonction kaprekar pour n = 456 qui affiche la séquence en bleu.

 

Pour obtenir le programme pour le procédé complet (ajout de zéros), on reprend les dernières lignes comme indiqué.

Test si le nombre P est égal à 99, si oui on lui ajoute un zéro, sinon on le conserve tel quel pour le placer dans N.

Programme pour copier-coller dans Maple

kaprekar := proc (n) local N, Nmem, M, q, Mmax, Mmin, P, L, kt; N := n; Nmem := 0; L := []; kt := 0; while N <> Nmem do L := [op(L), N]; kt := kt+1; M := sort(convert(N, base, 10)); q := nops(M); Mmax := add(M[i]*10^(i-1), i = 1 .. q); Mmin := add(M[q-i+1]*10^(i-1), i = 1 .. q); P := Mmax-Mmin; Nmem := N; N := P; if 1000 < kt then L = [tropgrand]; N := Nmem end if end do; return L end proc:

kaprekar(456): lprint(%):

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 RATS: Retourne Ajoute et Trie la Séquence

Avec Kaprekar on retranche; avec RATS, on ajoute et on trie les chiffres du résultat.

Exemple:

758 + 857 = 1615

qui devient 1156, en ordonnant les chiffres par ordre croissant.

Le but est de donner la liste de tels résultats selon le nombre utilisé pour débuter.

1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345, 6677, 13444, 55778 …

 

Exemple de calculs:

16 + 61 = 77 puis 77 + 77 = 154 => 145 …

 

Séquence débutant par 1

Les 31 premières valeurs

 

Observez le basculement entre deux valeurs qui enflent d'un 3 ou d'un 6 à chaque itération.

 

On aura la même séquence en commençant par 2, 4, 8 …

Avec 5 qui donne 10 puis 1, on aussi cette séquence.

 

Séquence débutant par 3

 

Certaines séquences tourner ne boucle, comme celle commençant par 3.

Celle-ci compte 14 valeurs dont 8 pour le cycle débutant par 444.

 

On aura la même séquence en commençant par 3, 6, 12…

 

Séquence débutant par 7

 

Elle rejoint la séquence 1

Voir OEIS A004000 - RATS: Reverse Add Then Sort the digits applied to previous term, starting with 1.

OEIS A066710 - RATS: Reverse Add Then Sort the digits applied to previous term, starting with 3.

 

 

ENGLISH CORNER

 

The Kaprekar routine is an algorithm discovered in 1949 by D. R. Kaprekar for 4-digit numbers, but which can be generalized to k-digit numbers.

 

The Kaprekar numbers:

*    Take a four-digit number with different digits.

*    (2) Form the largest and the smallest number from these four digits

*    (3) Find the difference of these digits.

You may have to repeat this procedure.

The end result is always 6174, but there are no more than seven steps.

 

A Kaprekar's famous discoverie is the Kaprekar constant, or 6,174. Although this number may seem ordinary on the surface, it is actually quite spectacular! Take any four digit number of your choice. Arrange the digits in descending order and subtract the digits arranged in ascending order. Keep doing this over and over and in no more than 7 tries, you will have 6,174.

 

 

Devinette – Solution

Trouvez la suite: 28, 38, 49, 62, 70, 77, 91, …

Chaque nombre est égal au précédent plus la somme de ses chiffres: 28 + 2 + 8 = 38, …77 + 7 + 7 = 91

Le suivant est donc: 91 + 9 + 1 = 101.

Retour / Voir Jeux et énigmesIndex

 

 Merci à Pascal R.

 

 

 

Suite

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Diconombre

*    Nombre 9

*    Nombre 495

*    Nombre 6 174

*    Nombre 82 962 & 98 622

Sites

*      Algorithme de Kaprekar – Graphe pour tous les nombres de 4 chiffres

*      OEIS A151949 – Image of n under the Kaprekar map

*      OEIS A099009 – Fixed points of the Kaprekar mapping

*      OEIS A099010 – Numbers belonging to cycles of length greater than 1.

*      Listes de nombres de Kaprekar – Robert Munafo

*    Kaprekar Routine – Wolfram MathWorld

*    Mysterious number 6174 – Yutaka Nishhiyama

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Kaprekar.htm