NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Trois chiffres

>>> Preuve par 9

>>> Quatre chiffres

>>> Cinq chiffres

>>> Deux chiffres

>>> Bilan

>>> Nombres de Kaprekar

>>> Propriétés de ces nombres

>>> Anglais

>>> Table de nombres de Kaprakar

 

 

 

 

 

 

KAPREKAR 

 

Deux sujets sur cette page:

*    Procédé de calcul cyclique qui conduit au même résultat (impasse) ou à une boucle sans fin (cycle) >>>

*    Nombres de Kaprekar >>>

 

Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) est mathématicien indien. Ces découvertes datent de 1949.

Il est aussi le découvreur des auto-nombres et du procédé pour les tester. Et aussi, des nombres Demlo.

 

Voir Contemporains

 

 

 

Procédé ou Cycle de KAPREKAR

– Nombres à trois chiffres

 

Soit un nombre (ici 231).

 

Ordonner les chiffres pour former le nombre le plus grand (321) et le nombre le plus petit (123).

Soustraire le plus petit du plus grand (198).

Recommencer le procédé tant que l'on peut.

 

Ici, le procédé s'arrête du fait que la différence reproduit les mêmes chiffres (4, 5 et 9.

 

 

Autre exemple en partant de 546.

 

Nous retombons immanquablement sur le même nombre: 495.

Quelques exemples montrant la vitesse de convergence

 

Notez ce type de cas particulier (la conservation du zéro permet de conserver la propriété)

Merci à Jean-Cristophe R.

 

Par contre pour les nombres du type xxx ou x0x, le procédé s'arrête immédiatement sur 0.

 

 

 

 

Preuve par neuf

 

La preuve par neuf nous apprend que la somme des chiffres témoigne de la divisibilité d'un nombre par neuf: elle indique quel est le reste de la division par neuf.

Cette somme ne dépend pas de l'ordre des chiffres. Autrement-dit, tous les nombres qui ont la même somme de chiffres, étant divisés par 9, ont le même reste (R).

Soustraire deux tels nombres donne un nombre dont le reste de la division par 9 est nul (R – R = 0). Par exemple, le nombre 495 est divisible par 9 car 4 + 9 + 5 => 4 + 5 => 9 => 0

 

Toutes les différences Kaprekar sont divisibles par 9.

 

 

 

Procédé ou Cycle de KAPREKAR

– Nombres à quatre chiffres

 

Avec quatre chiffres, le procédé conduit systématiquement au nombre 6 174 en un maximum de sept itérations.

 

 

 

Procédé ou Cycle de KAPREKAR

– Nombres à cinq chiffres

 

En commençant avec le nombre 54321, nous retrouvons le nombre 98 622 qui occasionne une boucle sans fin.

 

 

 

 

Procédé ou Cycle de KAPREKAR

– Nombres à deux chiffres

 

Voici le tableau donnant tous les nombres de 10 à 99.

La "différence Kaprekar" est indiquée en noir; les valeurs négatives sont grisées.

En marron clair les cas de repdigits conduisant à une valeur nulle, évidemment.

En jaune, les différences égales à 9.

Les autres valeurs sont toutes des multiples de 9, dont la suite du procédé Kaprekar conduit à 9.

 

 

 

 

Procédé ou Cycle de KAPREKAR

– Bilan

 

2 chiffres

 

0 ou 9 en direct, ou

9 via un cycle portant sur les multiples de 9.

3 chiffres

 

0 ou

495 nombre limite (impasse).

4 chiffres

0 ou

6 174 nombre limite (impasse).

5 chiffres

0 ou

l'un des trois cycles suivants

99 954 – 95 553

98 532 – 97 443 – 96 642 – 97 731

98 622 – 97 533 – 96 543 – 97 641

 

Cette propriété du procédé Kaprekar est liée à notre système de numération en base 10. La démonstration n'est pas connue (de moi); je ne sais si elle existe.

 

Pour d'autres bases,  le phénomène de convergence en impasses ou en cycles est rare. Il marche, par exemple, pour les nombres à 4 chiffres en base 5, 10, 40, 160 et 640 et aucune autre inférieure à 1000

(Selon Mikio Kano, cité par François Le Lionnais ).

 

 

 


 

NOMBRES de KAPREKAR

 

Avec le carré: le nombre N à D chiffres est un nombre de Kaprekar si en partageant son carré en deux nombres de D chiffres, la somme de ces deux nombres est égale à N.

 

Généralisation à l'ordre k: si le nombre à la puissance k, partagé en k nombres de D chiffres,  leur somme est égale à N.

 

 

Anglais: N is a Kaprekar number if it has D digits, and if you take N2 and divide it into two pieces each D digits in size and add them together, you get N.

Voir Pépites

 

 

 

NOMBRES de KAPREKAR

 

Nombre tel que son carré, dont on ajoute les parties, redonne le nombre de départ.

 

                 297² = 88 209   &                088 + 209 = 297

  

Note: on ajoute des 0 à gauche si nécessaire pour satisfaire la définition demandant D chiffres pour chacun de nombres.

 

Lorsqu'on élève au carré un nombre de Kaprekar à n chiffres et qu'on ajoute les n chiffres de droite au n, ou n-1, de gauche, on retrouve le nombre d'origine.

 

Liste des nombres de Kaprekar

Suite en Tables

 

Les propriétés avec 999   se retrouvent avec 666 … et  333…

 

Curiosités avec repdigits

 

Voir Nombres à motifs / Somme des chiffres d'une puissance / Repdigits en 9

  

 

Propriétés des nombres de Kaprekar

 

Repdigit en 9

 

Tous les repdigits en 9 sont des nombres de Kaprekar.

 

                 99² = 9801                           &    98 + 1 = 99

                 999² = 99801                      &    998 + 1 = 999

                                                          

                 99…9² = 99…98 00…01   &    99...98 + 1 = 99…9

 

  Permutations cycliques

 

Si on élève au carré une permutation cyclique d'un nombre de Kaprekar

et qu'on additionne les " moitiés ", on obtient une permutation cyclique du nombre de départ.

Avec les autres puissances le procédé de troncature fonctionne encore. Avec la puissance n, il faut partager en n parts égales. Une addition supplémentaire est parfois nécessaire lorsque le nombre final est trop grand.

 

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

The Kaprekar routine is an algorithm discovered in 1949 by D. R. Kaprekar for 4-digit numbers, but which can be generalized to k-digit numbers.

 

The Kaprekar numbers:

*    Take a four-digit number with different digits.

*    (2) Form the largest and the smallest number from these four digits

*    (3) Find the difference of these digits.

You may have to repeat this procedure.

The end result is always 6174, but there are no more than seven steps.

 

A Kaprekar's famous discoveries is the Kaprekar constant, or 6,174. Although this number may seem ordinary on the surface, it is actually quite spectacular! Take any four digit number of your choice. Arrange the digits in descending order and subtract the digits arranged in ascending order. Keep doing this over and over and in no more than 7 tries, you will have 6,174.

 

 

Tables de nombres de Kaprakar d'ordre 2 à 5

 

 Voir TablesIndex

 

 

 

 

Suite

*    Autres séquences de ce type

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*    Retournés et premiers

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Site

*    OEIS A006886 – Kaprekar numbers

*    Listes de nombres de Kaprekar

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Kaprekar.htm