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KAPREKAR Deux sujets sur
cette page:
Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) est mathématicien indien. Ces
découvertes datent de 1949. |
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Nombres à trois chiffres |
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Soit un nombre
(ici 231). Ordonner les chiffres pour former le nombre le plus grand (321) et le
nombre le plus petit (123). Soustraire le plus petit du plus grand (198). Recommencer le
procédé tant que l'on peut. Ici, le
procédé s'arrête du fait que la différence reproduit les mêmes chiffres (4, 5
et 9. |
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Autre exemple en partant de 546. Nous retombons immanquablement sur le même nombre:
495. |
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Quelques
exemples montrant la vitesse de convergence
Notez ce cas particulier
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La preuve par neuf nous
apprend que la somme des chiffres témoigne de la divisibilité d'un nombre par
neuf: elle indique quel est le reste de la division par neuf. Cette somme ne dépend pas de l'ordre des
chiffres. Autrement-dit, tous les nombres qui ont la même somme de chiffres,
étant divisés par 9, ont le même reste (R). Soustraire deux tels nombres donne un nombre
dont le reste de la division par 9 est nul (R – R = 0). Par exemple, le
nombre 495 est divisible par 9 car 4 + 9 + 5 => 4 + 5 => 9 => 0 Toutes les différences Kaprekar sont
divisibles par 9. |
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Nombres à quatre chiffres |
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Avec quatre chiffres, le procédé conduit systématiquement au nombre 6
174 en un maximum de sept itérations.
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Nombres à cinq chiffres |
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En commençant avec le nombre 54321, nous retrouvons le nombre 98 622
qui occasionne une boucle sans fin.
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Nombres à deux chiffres |
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Voici le tableau donnant tous les nombres de 10 à 99. La "différence Kaprekar" est indiquée en noir; les valeurs
négatives sont grisées. En marron clair les cas de repdigits
conduisant à une valeur nulle, évidemment. En jaune, les différences égales à 9. Les autres valeurs sont toutes des multiples de 9,
dont la suite du procédé Kaprekar conduit à 9.
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Bilan |
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2 chiffres |
0 ou 9 en direct, ou 9
via un cycle portant sur les multiples de 9. |
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3 chiffres |
0 ou 495 nombre limite (impasse). |
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4 chiffres |
0 ou 6 174 nombre limite (impasse). |
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5 chiffres |
0 ou l'un des trois cycles suivants 99
954 – 95 553 98
532 – 97 443 – 96 642 – 97 731 98
622 – 97 533 – 96 543 – 97 641 |
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Cette propriété du procédé Kaprekar est
liée à notre système de numération en base 10. La démonstration n'est
pas connue (de moi); je ne sais si elle existe. Pour d'autres bases, le phénomène de convergence en impasses ou
en cycles est rare. Il marche, par exemple, pour les nombres à 4 chiffres en
base 5, 10, 40, 160 et 640 et aucune autre inférieure à 1000 (Selon Mikio Kano, cité par François Le
Lionnais ). |
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Nombre tel que son carré, dont on ajoute les parties, redonne le
nombre de départ. 297² = 88 209
& 88 + 209 = 297 Lorsqu'on élève au carré un nombre de Kaprekar à n chiffres et qu'on
ajoute les n chiffres de droite au n, ou n-1, de gauche, on retrouve le
nombre d'origine. Liste
des nombres de Kaprekar
Curiosités avec repdigits
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Voir Nombres
à motifs / Somme des
chiffres d'une puiisance
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Repdigit en 9 Tous les repdigits en 9 sont des nombres de Kaprekar. 99² = 9801 & 98 + 1 = 99 999² = 99801 & 998 + 1 = 999 … 99…9² = 99…98 00…01 &
99...98 + 1 = 99…9 Permutations cycliques Si on élève au carré une permutation cyclique d'un nombre de Kaprekar et qu'on additionne les " moitiés ", on obtient
une permutation cyclique du nombre de départ. Avec les autres puissances le procédé de troncature fonctionne encore.
Avec la puissance n, il faut partager en n parts égales. Une addition
supplémentaire est parfois nécessaire lorsque le nombre final est trop grand.
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The Kaprekar numbers:
You may have to repeat
this procedure. The end result is always
6174, but there are no more than seven steps. A Kaprekar's
famous discoveries is the Kaprekar constant, or
6,174. Although this number may seem ordinary on the surface, it is actually
quite spectacular! Take any four digit number of your choice. Arrange the
digits in descending order and subtract the digits arranged in ascending
order. Keep doing this over and over and in no more than 7 tries, you will
have 6,174. |
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Suite |
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Voir |
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Diconombre |
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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Kaprekar.htm |
