NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Jeux avec Chiffres

 

Débutants

Général

Chiffres identiques

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Jeux

 

Repdigit

Produit

 888

 999

Persistance

 Motifs itératifs

Triple

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres et leurs triples de mêmes chiffres

>>> Autres facteurs de 2 à 9

 

>>> Résolution – Idée d'accélération de la recherche

>>> Programmation

 

 

 

 

 

NOMBRES & TRIPLES

avec chiffres identiques

 

On cherche les nombres N tels qu'ils ont les mêmes chiffres que l'un de leurs multiples. On se limite aux nombres ayant des chiffres non répétés.

Anglais: Trebble puzzle

 

 

Nombres et leurs triples

 

De 1 à 5 chiffres

(7 cas sans répétition

15 cas avec répétition)

 

On retrouve exactement les mêmes chiffres dans 1 035 et dans son triple 3 105.

 

En admettant la répétition des chiffres, la liste s'allonge, notamment avec ajout d'un 0 comme pour 1 035 et 10 035.

 

attention.png  Pour toute la suite on se limite aux cas où les chiffres dans N sont uniques.

 

Tous les cas de 1 à 5 chiffres

Sans répétition et avec répétition des chiffres

Avec 6 chiffres

(44 cas / 104 avec répétition)

 

Avec 7 chiffres

(96 cas / 452 avec répétitions)

 

Triple avec mêmes chiffres et répétition

Les 104 cas à six chiffres

 

Les 10 cas les plus petits et les 10 cas les plus grands à sept chiffres

parmi 452 cas

Remarque: avec autorisation des répétitions, il existe des motifs sans fin comme 1000 035 x 3 = 3 000 105 pour lequel on peut ajouter autant de 0 que l'on veut.

 

 

Autres facteurs – De 2 à 9

 

Nombres et doubles

 

Aucun pour 1 à 5 chiffres.

Ils sont 12 avec 6 chiffres.

Ils sont 288 avec 7 chiffres (tableau des 10 plus petits et des 10 plus grands).

 

On rappelle que les chiffres de N de doivent pas être répétés.

 

     

 Nombres et quadruples

 

Aucun pour 1 à 3 chiffres.

Ils sont 

*           2 avec 4 chiffres,

*         16 avec 5 chiffres,

*         64 avec 6 chiffres et

*       118 avec 7 chiffres.

 

 

Tous les 4N avec 4 et 5 chiffres

 

Remarque: avec M = 4N, la différence M – 4N = 3N, qui est divisible par 9. Alors N est divisible par 3. Le tableau ci-contre ne donne que les cas de divisibilité par 9.

On a par exemple: 103 845 x 4 = 415 380 qui ne figure par dans le tableau; nombres divisibles par 3 et non par 9.

 

Les 4N divisibles par 9 à 6 et 7 chiffres

Nombres et quintuples

 

Aucun pour 1 à 5 chiffres.

Ils sont 

*         4 avec 6 chiffres et

*       96 avec 7 chiffres.

 

Nombres et sextuples

 

Ils sont  74 jusqu'à 7 chiffres.

 

N jusqu'à 7 chiffres

 

12 septuples    /     2 octuples    /    9 nonuples

 

 

 

 

Résolution – Idée

La différence entre les deux nombres est égale à deux fois le nombre.

 

L'exploration se limite aux nombres inférieurs aux tiers de 99 999.

 

M = 3N
M – N = 2N

 

 

Nmax = 33 333

 

Un nombre et la somme de ses chiffres (racine numérique) est divisible par 9. C'est une conséquence liée à la preuve par 9.

500 – 5 = 495 = 9 x 55

123 – (1 + 2 + 3) = 117 = 9 x 13

Un nombre et son triple ont la même racine numérique puisqu'ils ont les mêmes chiffres. Leur différence (2N) est un multiple de 9. Le nombre N est lui-même un multiple de 9.

M – N = 2N  = 9k

N = 9k'

Avec un seul chiffre pour N

Impossible

Avec deux chiffres pour N, N < 33
Examen du premier chiffre, compléter par le chiffre qui assure la divisibilité par 9.

Candidats

18 x 3 = 54

27 x 3 = 81

36 trop grand

 

Avec trois chiffres, N < 333

N

M = 3N

Commentaires

1..

3.. (6, 15)

Le 1 de N donne 3 pour M.

Somme des deux chiffres initiaux = 6 ou 15

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

333

360, 369

390, 399, 405

426, 432

454, 468

486, 495

513, 522

540, 549, 558

576, 558

En parcourant tous les chiffres des dizaines de N, de 1 à 9, on fixe le nombre des dizaines de M et également les centaines en complétant la somme à 9 et en tenat compte d la retenue éventuelle.

Aucune configuration ne permet de retrouver une valeur de N égale au tiers de M avec les mêmes chiffres.

 

Remarque: inutile de faire les calculs; l'inspection des chiffres des unités et des dizaines suffit. 

2..

etc

La même inspection avec 2 et 3 montre qu'aucune configuration ne convient.

 

Bilan

Cette étude de la résolution montre que la recherche est limitée aux multiples de 9 et cela, d'ailleurs, quel que soit le facteur multiplicatif, sauf facteur en 4k où on cherchera avec les multiples de 3.

Il est possible de faire une recherche manuelle en étudiant les propriétés de propagation des chiffres multipliés par 3, mais elle devient vite fastidieuse (compte tenu de la grande quantité de solutions), même avec un peu plus d'astuce.

 

 

 

Programmation avec Maple

Cas du triple sans répétition des chiffres

 

 

Commentaires

Initialisation et mise en place d'un compteur d'occurrence.

Boucle d'examen des valeurs de n de 9 à 3339 avec un pas de 9. La limite 3339 est le multiple de 9 supérieur à 9999 / 3.

Calcul de m, le triple de n.

Conversion de n et m pour disposer des chiffres de ces deux nombres, et mise sous forme d'ensembles {op(…)} de ces deux listes. En utilisant les ensembles, on élimine les cas de répétition des chiffres.

Quantité de chiffres mémorisée en q.

Suite que si m ne dépasse pas les q chiffres de n (sécurité, car en principe inutile si on limite à 3339).

La variable Bon est mise à 1 et elle passera à 0 dès qu'un chiffre de N ne sera pas présent dans M.

Si le chiffre est présent (member), on le retire de M (minus).

 

Si la variable Bon s'est maintenue à 1 après examen des q chiffres, alors les chiffres sont identiques et on affiche puis on ajoute 1 au compteur.

Fin de condition et de boucle. Demande d'affichage du compteur.

 

Résultat en bleu: deux cas de nombres triples avec même chiffres non répétés.

 

Cas du triple avec répétition des chiffres

 

Même type de programme mais avec comparaison des liste M et N triées du plus petit au plus grand. Voir Tri à bulles

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

Suite

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Livre

*    The master book of mathematical recreations – Fred Schuh – e-book consultable en partie.- On y trouve la recherche manuelle des nombres triples ayant mêmes chiffres

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