|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
NOMBRES & triples/ double / quadruples / … avec chiffres identiques Nombres parasites et
pseudo-parasites On cherche les nombres N
tels qu'ils ont les mêmes chiffres que l'un
de leurs multiples. On se limite aux nombres ayant des chiffres non répétés.
Plus spectaculaire lorsque le produit est une
permutation circulaire du nombre initial. Encore mieux, mais rare, si le
multiplicande est l'unité du nombre. |
Anglais: Trebble
puzzle
|
Dans son livre Wonder of Numbers, Clifford Pickover appelle nombres PARASITES les nombres qui multipliés par leur
unité est égal au nombre initial permuté d'un cran (l'unité passe en–tête): 102 564 x 4 = 410 256 Il nomme PSEUDO-PARASITES
les nombres qui, multipliés par un nombre, est égal nombre initial permuté d'un cran: 128 205 x 4 = 512 820 Deux grands P: 1 014
492 753 623 188 405 797 x 7 = 7 101 449 275 362 318 840 579 PP: 1 304 347 826 086 956 521 739 x 7 = 9 130 434
782 608 695 652 173 |
|
|
||
|
De
1 à 5 chiffres (7 cas sans
répétition 15 cas avec
répétition) On
retrouve exactement les mêmes chiffres dans 1 035 et dans son triple 3 105. En admettant la répétition des chiffres, la liste s'allonge, notamment
avec ajout d'un 0 comme pour 1 035 et 10 035.
|
Tous les cas de 1 à 5 chiffres Sans répétition et avec répétition des chiffres
|
|
|
Avec 6 chiffres (44 cas / 104
avec répétition)
|
Avec 7 chiffres (96 cas / 452
avec répétitions)
|
|
|
Triple avec mêmes chiffres et répétition Les 104 cas à six chiffres
Les 10 cas les plus petits et les 10 cas les plus grands à sept
chiffres parmi 452 cas
Remarque: avec autorisation des répétitions, il existe des
motifs sans fin comme 1000 035 x 3 = 3 000 105 pour lequel on peut ajouter
autant de 0 que l'on veut. |
|
|
|||
|
Nombres et doubles Aucun
pour 1 à 5 chiffres. Ils sont
12 avec 6 chiffres. Ils sont
288 avec 7 chiffres (tableau des 10 plus petits et des 10 plus grands). On rappelle que les chiffres de N de doivent pas être répétés.
|
|
||
|
Nombres et quadruples Aucun
pour 1 à 3 chiffres. Ils
sont
Tous les 4N avec 4 et 5 chiffres
Remarque: avec M =
4N, la différence M – 4N = 3N, qui est divisible par 9.
Alors N est divisible par 3. Le tableau ci-contre ne donne que les cas de
divisibilité par 9. On a par exemple: 103 845 x 4 = 415 380 qui ne
figure par dans le tableau; nombres divisibles par 3 et non par 9. |
Les 4N divisibles par 9 à 6 et 7 chiffres
|
||
|
Nombres et quintuples Aucun pour
1 à 5 chiffres. Ils
sont
Nombres et sextuples Ils
sont 74 jusqu'à 7 chiffres. |
|
||
|
N jusqu'à 7 chiffres
12 septuples /
2 octuples / 9
nonuples |
|||
|
|
||
|
La
différence entre les deux nombres est égale à deux fois le nombre. L'exploration
se limite aux nombres inférieurs aux tiers de 99 999. |
M = 3N Nmax = 33 333 |
|
|
Un nombre
et la somme de ses chiffres (racine
numérique) est divisible par 9. C'est une conséquence liée à la preuve
par 9. |
500 – 5 = 495 = 9 x 55 123 – (1 + 2 + 3) = 117 = 9 x 13 |
|
|
Un nombre
et son triple ont la même racine numérique puisqu'ils ont les mêmes chiffres.
Leur différence (2N) est un multiple de 9. Le nombre N est lui-même un
multiple de 9. |
M – N = 2N = 9k N = 9k' |
|
|
Avec un
seul chiffre pour N |
Impossible |
|
|
Avec deux
chiffres pour N, N < 33 |
Candidats 18 x 3 = 54 27 x 3 = 81 36 trop grand |
|
Avec trois chiffres, N < 333
|
N |
M = 3N |
Commentaires |
|
1.. |
3.. (6, 15) |
Le 1 de N donne 3 pour M. Somme des deux chiffres initiaux = 6 ou 15 |
|
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. |
333 360, 369 390, 399, 405 426, 432 454, 468 486, 495 513, 522 540, 549, 558 576, 558 |
En parcourant tous les chiffres des
dizaines de N, de 1 à 9, on fixe le nombre des dizaines de M et également les
centaines en complétant la somme à 9 et en tenat compte d la retenue
éventuelle. Aucune configuration ne permet de retrouver
une valeur de N égale au tiers de M avec les mêmes chiffres. Remarque:
inutile de faire les calculs; l'inspection des chiffres des unités et des
dizaines suffit. |
|
2.. |
etc |
La même inspection avec 2 et 3 montre
qu'aucune configuration ne convient. |
Bilan
|
Cette
étude de la résolution montre que la recherche est limitée aux multiples de 9
et cela, d'ailleurs, quel que soit le facteur multiplicatif, sauf facteur en 4k où on cherchera avec les multiples de 3. Il
est possible de faire une recherche manuelle en étudiant les propriétés de
propagation des chiffres multipliés par 3, mais elle devient vite fastidieuse
(compte tenu de la grande quantité de solutions), même avec un peu plus
d'astuce. |
|
|
||
|
Cas du triple sans répétition des chiffres
|
Commentaires Initialisation et mise en place d'un compteur
d'occurrence. Boucle d'examen des valeurs de n de 9 à 3339 avec
un pas de 9. La limite 3339 est le multiple de 9 supérieur à 9999 / 3. Calcul de m, le triple de n. Conversion de n et m pour disposer des chiffres
de ces deux nombres, et mise sous forme d'ensembles {op(…)} de ces deux
listes. En utilisant les ensembles, on élimine les cas de répétition des
chiffres. Quantité de chiffres mémorisée en q. Suite que si m ne dépasse pas les q chiffres de n
(sécurité, car en principe inutile si on limite à 3339). La variable Bon est mise à 1 et elle passera à 0
dès qu'un chiffre de N ne sera pas présent dans M. Si le chiffre est présent (member), on le retire
de M (minus). Si la variable Bon s'est maintenue à 1 après
examen des q chiffres, alors les chiffres sont identiques et on affiche puis
on ajoute 1 au compteur. Fin de condition et de boucle. Demande
d'affichage du compteur. Résultat en bleu: deux cas de nombres triples
avec même chiffres non répétés. |
|
|
Cas du triple avec répétition des chiffres |
Même type de programme mais avec comparaison des liste M et N triées
du plus petit au plus grand. Voir Tri
à bulles |
|
Voir Programmation – Index
|
Suite |
|
|
Voisins |
|
|
Voir |
|
|
DicoNombre |
|
|
Livre |
|
|
Site |
|
|
Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/Chiffres/Triple.htm |
