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	Sommaire de cette page >>> Exemple: le sol est mouillé >>> Exemple avec multiples de 5 >>> Implication – Définitions et formulations alternatives >>> Implications vraies ou fausses

FONCTION LOGIQUE "IMPLICATION"

Développements 

Deux exemples développés pas à pas pour comprendre le comportement un peu déroutant de l'implication logique.

Exemple: le sol est mouillé (exemple classique)

Affirmation:

S'il pleut alors le sol est mouillé.

P et Q sont des assertions (ou proposition d'où la lettre P)

Ici, le P rappelle aussi Pluie.

P: il pleut

Q: le sol est mouillé

Nouvelle assertion (implication)

De deux choses l'une: le sol est mouillé ou ne l'est pas. De même: il pleut ou il ne pleut pas.

S'il pleut, le sol est mouillé. Il pleut est une notion "incluse" dans celle de sol mouillé.

Il pleut	Le sol est mouillé	Cas	S'il pleut le sol est mouillé
VRAIE	VRAIE	1	VRAIE, chaque fois qu'il pleut, c'est inéluctable, le sol est mouillé.
VRAIE	FAUSSE	4	FAUSSE, il n'existe pas de cas où la pluie ne mouille pas le sol (cas 4, hors de l'univers des possibles).
FAUSSE	VRAIE	2	VRAIE, s'il ne pleut pas, il existe des cas où le sol est mouillé pour d'autres raisons que la pluie.
FAUSSE	FAUSSE	3	VRAIE, même s'il ne pleut pas, il existe des cas où le sol n'est pas mouillé.

Même type d'affirmations: si l'une est vraie l'autre l'est aussi:

P implique Q

P est incluse dans Q

Notez que ces affirmations sont aussi vraies:

Le sol est mouillé (Q) ou il ne pleut pas (non-P)

Il n'est pas vrai qu'il pleut et que le sol n'est pas mouillé (Loi de Morgan).

Exemple avec multiples de 5

Affirmation:

Tout nombre terminé par 0 est multiple de 5.

P: Nombres terminés par 5 (n₀)

Q: Nombres multiples de 5 (M₅)

Nouvelle assertion (implication)

Sur tout l'ensemble des nombres multiples de 5 (M₅),
une partie est terminée par 0 (n₀);
les autres par 5 (n₅).

Il n'existe pas de nombres non-terminés par 0 en dehors de M₅.

Ces nombres sont une partie de l'univers de tous les nombres entiers.

Il faut ajouter tous ceux terminés par 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 et 9.

n0 n terminé par 0	M5 n est multiple de 5	si n est terminé par 0 alors n est multiple de 5
VRAIE	VRAIE	VRAIE, tous les nombres terminés par 0 sont inclus dans l'ensemble des nombres multiples de 5.
VRAIE	FAUSSE	FAUSSE, il n'existe pas de nombres terminés par 0 qui ne soient pas multiples de 5.
FAUSSE	VRAIE	VRAIE, si le nombre n'est pas terminé par 0, il peut être multiple de 5; il est alors terminé par 5.
FAUSSE	FAUSSE	VRAIE, si le nombre n'est pas terminé par 0, il peut ne pas être multiple de 5, c'est VRAI; il est alors terminé par 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ou 9.

L'implication est toujours VRAIE sauf si n₀ vraie et si M₅ est fausse.

L'implication est toujours vraie si

n₀ est faux ou

M₅ est vraie.

Les deux dernières lignes prêtent souvent à discussion et en tout cas ne sont pas toujours faciles à admettre.

La cohérence logique de l'implication par rapport à la double implication (l'équivalence) impose ces conclusions (vraies) lorsque la première assertion est fausse.

Même type d'affirmations: si l'une est vraie l'autre l'est aussi:

P implique Q

Non-P ou Q

Non (P et non Q)

Implication
Définition L'implication est un opérateur binaire. Elle lie deux assertions entre elles P et Q La première définition est la plus classique La seconde permet de bien spécifier la table de vérité, notamment en évitant toute discussion lorsque l'assertion P est fausse.		On dit qu'une assertion P implique une assertion Q seulement si Q est vraie chaque fois que P est vraie. On note P Q la assertion qui prend les mêmes valeurs de vérité que le assertion
Même type d'assertions S'il pleut le sol est mouillé "Il pleut" est inclus dans "sol mouillé" Il ne pleut pas ou le sol est mouillé il n'est pas vrai qu'il pleut et le sol n'est pas mouillé Si le sol n'est pas mouillé, c'est qu'il ne pleut pas. Cette dernière assertion est la contraposée de l'assertion initiale.	Tables de vérité

Implications vraies ou fausses
L'implication est étrange! Il faut vraiment se référer à sa définition (sa table de vérité).
Assertion: s'il pleut, le sol est mouillé.	P: il pleut – Vrai Q: le sol est mouillé – Vrai Assertion vraie.
Les chiens ne font pas des chats ni les chats des chiens.	P: les chiens ne font pas des chats – Vrai Q: les chats ne font pas des chiens – Vrai Assertion vraie.
Soit les chiens sont des hommes, soit les chiens ont quatre pattes.	P: les chiens sont des hommes – Faux Q: les chiens ont quatre pattes – Vrai Assertion vraie.
Les chiens ne sont ni des hommes ni des animaux à quatre pattes.	P: les chiens ne se sont pas des hommes – Vrai Q: les chiens ne sont pas des animaux à quatre pattes – Faux Assertion fausse.
Si Hollande est hollandais alors 1 + 1 = 3.	P = Hollande est hollandais – Faux Q: 1 + 1 = 3 – Faux Assertion vraie.

Suite	Implication – Les 16 cas possibles de déductions Phrase Syllogismes Logique – Index
Voir	Énigme des quatre cartes de Wason Énigmes et paradoxes Fractales Intelligence artificielle Logique Outils de la logique Raisonnement
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