NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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  LOGIQUE

 

Débutants

Logique

Lois de la LOGIQUE

 

Glossaire

Logique

 

 

INDEX

 

Logique

 

Général

 

Inversion

ET

OU

Implication

Phrases

OU Exclusif

Équivalence

Logique – Cours

Multi-variable

Addition

Implication =>

Introduction

Développements

Exemples

 

Sommaire de cette page

>>> Logique formelle / raisonnement / intelligence artificielle

>>> Théorie des ensembles (mathématiques modernes)

>>> Logique / algèbre de Boole

>>> Réalisation / circuits logiques / ordinateurs

>>> Illustration électrique

 

 

 

 

 

 

Voir Pensées & humour

 

 

  FONCTION LOGIQUE "IMPLICATION"

 

 IMPLICATION

INCLUSION

Déduction

 

Si A alors B

Attention, pas si immédiat à assimiler!

La logique s'intéresse à la vérité logique et non à la vraisemblance du monde réel.

 Anglais : Conditional

 

 

Logique formelle – Raisonnement – Intelligence artificielle

Outil de déduction

 

Si  A alors B

 

Simple

*      Quand je suis gai, je ris.

 

Évolué

*      Si vous êtes en retard,  alors vous offrez l’apéritif.

 

Particulier

*      Il n’y a que les insectes qui ont six pattes.

*      Il n’y a que les imbéciles qui ne changent pas d’avis.

 

Quatre  types d'implications

Originale

Si P alors Q

Si c'est un triangle, alors il a trois côtés.

Si l'animal a six pattes, c'est un insecte.

S'il pleut, alors le sol est mouillé.

Réciproque

Si Q alors P

S'il a trois côtés, c'est un triangle.

Si c'est un insecte, l'animal a six pattes

Si le sol est mouillé, c'est qu'il pleut.

Contraposée

Si non-Q alors non-P

S'il n'a pas trois côtés, ce n'est pas un triangle.

S'ils n'a pas six pattes, l'animal n'est pas un insecte.

Si le sol n'est pas mouillé, c'est qu'il ne pleut pas.

La contraposée est la négation des deux conditions de la réciproque.

Équivalente

Si P alors Q ET si Q alors P

Si c'est un triangle, alors il a trois côtés et réciproquement.

Si l'animal a six pattes, c'est un insecte côtés et réciproquement.

MAIS avec s'il pleut, alors le sol est mouillé la réciproque n'est pas vraie.

Seule l'équivalence assure que réciproque et contraposées sont vraies.

 

 

THÉORIE DES ENSEMBLES

                      (Mathématiques modernes)

 

Inclusion

 

S = A  B

 

 

 

Diagramme de Venn

 

 

Voir Diagramme de Venn

 

 

 

LOGIQUE / ALGÈBRE DE BOOLE

 

IMPLICATION

 

S = A  B

 

 

Table de vérité

 

A

B

S = A  B

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 

*      N’est fausse que si A est vraie et B est fausse.

 

*      Notez

Toujours vraie si A est fausse.

Même si ça vous paraît étrange!

 

Fonctions

S = A => B

 

 

 

 

Diagramme de Karnaugh

 

 

Voir Diagramme de Karnaugh

 

 

 

 

RÉALISATION:

CIRCUITS LOGIQUES / ORDINATEURS

 

Circuit électrique:

    

 

*      Pas d’application.
Sinon l’interrupteur lui-même.
J’appuie sur le bouton, la lampe s’allume.

*      Mais une réflexion

 

À méditer

*      J’ouvre la porte du frigo : la lumière est allumée. Mais, je n’ai jamais vu si elle est éteinte, porte fermée !

 

Circuit électronique:

   

*      Pas de circuit particulier.
Mais on peut construire la fonction avec les portes logiques classiques.
Notamment:

*      Qui donne:

 

 

 

 

Illustration électrique de l'implication

 

 

*    Voici les quatre situations envisageables qui illustrent l'implication:

 

*      Interrupteur ouvert et ampoule éteinte, c'est normal.

*      Interrupteur fermé et ampoule allumée, c'est normal.

*      Interrupteur fermé et ampoule éteinte, ce n'est pas normal, mais possible (l'ampoule est grillée, la pile est déchargée …).

*      Par contre, il est clairement impossible que l'ampoule s'allume sans courant.

*    Ce dernier cas est finalement le plus seul qui permet de conclure. Plusieurs façons de le dire:

*      Si l'ampoule est allumée, c'est que surement l'interrupteur est fermé;

*      Si l'ampoule est allumée, alors l'interrupteur est fermé;

*      L'ampoule est allumée seulement si l'interrupteur est fermé;

*      Il faut que l'interrupteur soit fermé pour que la lampe soit allumée;

*      Plus subtil: si l'interrupteur est ouvert, l'ampoule est éteinte (le cas allumé est impossible).

 

Table de vérité

Voici comment il faut interpréter l'illustration électrique de l'implication

Vous notez qu'il s'agit bien d'une illustration et NON PAS d'un schéma électrique. Ne pas chercher comme pour le ET ou le OU un résultat sur une sortie électrique.

 

 

 Bilan

Une implication n'est fausse que si A est vraie et B est fausse.

 

Ainsi, si A et B sont vraies mais farfelues, l'implication est vraie!

Ex: "Le chien a quatre pattes donc les marguerites ont des pétales" est une implication vraie.

 

 

 

 

 

Suite

*    Implications – Développements

*    Implications – Cours

*    Phrase

*    LogiqueIndex

Voir

*    Énigme des quatre cartes de Wason

*    Énigmes et paradoxes

*    Fractales

*    Intelligence artificielle

*    Logique

*    Outils de la logique

*    Raisonnement

Site

*    Cours sur les ensembles et structures algébriquesLavau (.pdf)

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Logique/LoLoImpl.htm