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FONCTIONS GÉNÉRATRICES des nombres entiers Une
simple division qui vous "crache" tous les nombres entiers dans
l'ordre et jusqu'à l'infini. Extraordinaire! L'arithmétique
ne peut pas y arriver. Mais l'algèbre, oui! Et la formule
est simple. |
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Observons ces
fractions. La
fraction produit un nombre décimal dont la partie entière reproduit la suite
des chiffres. Il
n'existe pas de fraction donnant exactement les 10 chiffres en séquence. Avec
cette méthode, il est possible d'approcher n'importe quelle suite de nombre,
mais la taille de la fraction grossit avec la longueur de la suite. |
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Quelle est la fraction
dont la période donne la suite des chiffres ? Cette
fraction donne exactement la suite des chiffres de 1 à 9 répétés à l'infini. Nous
avons trouvé une fraction qui donne une suite infinie des 10 chiffres. Avec
cette méthode, il est possible de trouver une fraction exacte pour toute
suite périodique (les pairs, les impairs, les carrés …), mais la taille de la
fraction grossit avec la longueur de la suite. |
Voir Nombres
périodiques |
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Existe-t-il
une méthode qui donne toute la suite des nombres dans l'ordre et jusqu'à
l'infini ? |
OUI ! Et, c'est une fraction toute simple. |
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La solution, la voici Divisez l'unité par (1 – x)² soit par 1 – 2x + x² Posons la division Miracle!
Le quotient engendre les nombres entiers successifs. |
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La fraction 1 / (1 – x)² est la fonction
génératrice de la suite des nombres entiers |
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x 1 / ( 1 – x ) 0 = 0 => 1 = 1 1/10 = 0,
1 => 100/81 = 1, 23456790123… 1/5 = 0,
2 => 25/16 = 1, 5625 3/10 = 0,
3 => 100/49 = 2, 04081632653… 2/5 = 0,
4 => 25/9 = 2, 777… 1/2 = 0,
5 => 4 = 4 3/5 = 0,
6 => 25/4 = 6, 25 7/10 = 0,
7 => 100/9 = 11, 111… 4/5 = 0,
8 => 25 = 25 9/10 = 0,
9 => 100 = 100 Notez
100/81 donne tous les chiffres sauf le 8 |
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